课题学习最短路径问题

第十三章第十三章 轴对称轴对称 课题学习课题学习 最短最短 路径问题路径问题1课堂讲解课堂讲解运用运用“垂线段最短垂线段最短”解决最短路径问题解决最短路径问题运用运用“两点之间线段最短两点之间线段最短”解决最短路解决最短路径问题径问题2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 如如图，要在燃气管道，要在燃气管道 l上修建一个上修建一个泵站，分站，分别向向A、B两两镇供气，供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的站修在管道的什么地方，可使所用的输气管气管线最短？你能解答最短？你能解答这个个问题吗？知知1 1导导1知识点知识点运用运用“垂线段最短垂线段最短”解决最短路径问题解决最短路径问题【例例1】体育体育课上，老上，老师测量小明跳量小明跳远成成绩的依据是的依据是()A过直直线上一点且垂直于上一点且垂直于这条直条直线的直的直线有且有且 只有一条只有一条B两点之两点之间，线段最短段最短C垂垂线段最短段最短D两点确定一条直两点确定一条直线C知知1 1练练 如如图，l为河岸河岸(视为直直线)，要想开一条沟将河里，要想开一条沟将河里的水从的水从 A处引到田地里去，引到田地里去，则应从河从河边 l 的何的何处开口才能使水沟最短，找出开口开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并的位置并说明明理由理由.1（来自（来自典中点典中点）知知2 2导导2知识点知识点运用运用“两点之间线段最短两点之间线段最短”解决最短路径问题解决最短路径问题 如如图，牧，牧马人从人从A地出地出发，到一条笔直的，到一条笔直的河河边饮马，然，然 后到后到B地地.牧牧马人到河人到河边的什么地方的什么地方饮马，可使所走的路径最短？，可使所走的路径最短？问问 题（一）题（一）知知2 2导导 如果把河如果把河边l近似地看成一条直近似地看成一条直线（图13.42)，C为直直线l上的一个上的一个动点，那么，上面的点，那么，上面的问题可以可以转化化为：当点：当点C在在l的什么位置的什么位置时，AC与与CB的和最小的和最小.由由这个个问题，我，我们可以可以联想到下面的想到下面的问题：知知2 2导导 如如图13.43,点点A,B分分别是直是直线l异异侧的两个点，的两个点，如何在如何在l上找到一个点，使得上找到一个点，使得这个点到点个点到点A、点、点B的的距离的和最短？距离的和最短？ABl 利用已利用已经学学过的知的知识，可以很容易地解决上面，可以很容易地解决上面的的问题，即，即:连接接AB，与直，与直线l相交于一点，根据相交于一点，根据“两点之两点之间，线段最短段最短”，可知，可知这个交点即个交点即为所求所求.图知知2 2导导 现在，要解决的在，要解决的问题是：点是：点A,B分分别是直是直线l同同侧的两个点，如何在的两个点，如何在l 上找到一个点，使得上找到一个点，使得这个点到个点到点点A、点、点B的距离的和最短？的距离的和最短？如果我如果我们能把点能把点B移到移到l的另一的另一侧 B 处，同，同时对直直线l上的任一点上的任一点C,都保持都保持CB与与C B的的长度相等，度相等，就可以把就可以把问题转化化为“图13.43”的情况，从而的情况，从而 使使新新问题得到解决得到解决.你能利用你能利用轴对称的有关知称的有关知识，找到，找到符合条件的点符合条件的点B吗？知知2 2导导 如如图13.44,作出点作出点B关于关于l的的对称点称点B，利用，利用轴对称的性称的性质，可以得，可以得 到到C B=CB.这样，问题就就转化化为：当点：当点C在在 l 的什么位置的什么位置时，AC与与CB的和最小？的和最小？知知2 2导导 如如图13.45,在在连接接A，B两点的两点的线中，中，线段段A B最最短短.因此，因此，线段段 A B与直与直线l的交点的交点C的位置即的位置即为所求所求.为了了证明点明点C的位置即的位置即为所求，我所求，我们不妨在直不妨在直线上另上另外任取一点外任取一点C(图 13.45)，连接接 AC,BC,BC，证明明 AC+CBAC+CB.你能完成你能完成这个个 证明明吗？归归 纳纳1.如如图13.41，点，点A，B分分别是直是直线 l 异异侧的两个点，的两个点，连接接AB，与直，与直线 l 相交于点相交于点P，根据，根据“两点之两点之间，线段最短段最短”，可知点，可知点P为直直线l上到点上到点A、点、点B的距的距 离之和最短的点离之和最短的点图13.41知知2 2导导归归 纳纳2.如如图13.42，点，点A，B是直是直线l同同侧的两个点，作点的两个点，作点 A关于直关于直线l的的对称点称点A，连接接AB交交l于点于点P，则PA PBPAPBAB.由由“两点之两点之间，线段最短段最短”可知，点可知，点P为直直线l上到点上到点A、点、点B的距离之和最短的距离之和最短 的点的点图13.42知知2 2导导归归 纳纳3在解决最短路径在解决最短路径问题时，我，我们通常利用通常利用轴对称、称、平移等平移等变换把把问题转化化为容易解决的容易解决的问题，从而，从而 作出最短路径作出最短路径 知知2 2导导某供某供电部部门准准备在在输电主干主干线l上上连接一个分支接一个分支线路，分支点路，分支点为M，同，同时向新落成的向新落成的A，B两个两个居民小区送居民小区送电(1)如果居民小区如果居民小区A，B在主干在主干线l的两旁，如的两旁，如图 13.43，那么分支点，那么分支点M在什么地方在什么地方时总线路路 最短？最短？知知2 2讲讲 【例例2】图13.43（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲 (2)如果居民小区如果居民小区A，B在主干在主干线l的同旁，如的同旁，如图13.44，那么分支点那么分支点M在什么地方在什么地方时总线路最短？路最短？图13.44（来自（来自点拨点拨）(1)连接接AB，与，与l的交点即的交点即 为所求分支点所求分支点M；(2)作点作点B关于关于l的的对称点称点B1，连接接AB1交交l于点于点M，点，点 M即即为分支点分支点导引引：(1)如如图13.43，连接接AB，与，与l的交点即的交点即为所求分支所求分支 点点M.(2)如如图13.44，作点，作点B关于关于l的的对称点称点B1，连接接AB1 交交l于点于点M，点，点M即即为所求分支点所求分支点知知2 2讲讲 解解：（来自（来自点拨点拨）图13.43 图13.44总总 结结 解决解决“一一线两点两点”型最短路径型最短路径问题的方法：的方法：当当两点在直两点在直线异异侧时，连接两点，与直接两点，与直线的交点即的交点即为所所求作的点；当两点在直求作的点；当两点在直线同同侧时，作其中某一点关于，作其中某一点关于直直线的的对称点，称点，对称点与另一点的称点与另一点的连线与直与直线的交点的交点即即为所求作的点所求作的点知知2 2讲讲 知知2 2练练 如如图，A处是一名游泳者的位置，他要先游到岸是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上的点上的点P处喝水，再游到喝水，再游到B处，但要使游泳的路程，但要使游泳的路程最短最短试在在图中画出点中画出点P的位置的位置1（来自（来自点拨点拨）知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点）(2015黔南州黔南州)如如图，直，直线l外不重合的两点外不重合的两点A、B，在直，在直线l上求作一点上求作一点C，使得，使得ACBC的的长度最短，作法度最短，作法为：作作点点B关于直关于直线l的的对称点称点B；连接接AB与直与直线l相交于点相交于点C，则点点C为所求作的点在解决所求作的点在解决这个个问题时没有运用到的没有运用到的知知识或方法是或方法是()A转化思想化思想B三角形的两三角形的两边之和大于第三之和大于第三边C两点之两点之间，线段最短段最短D三角形的一个外角大于与它不相三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角的任意一个内角2知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点）如如图，直，直线l表示一条河，表示一条河，P，Q两地相距两地相距10 km，P，Q两地到两地到l的距离分的距离分别为2 km，8 km，欲在，欲在l上的某点上的某点M处修建一个水修建一个水泵站，向站，向P，Q两地供水，两地供水，现有如下四种有如下四种铺设方案，方案，图中中实线表示表示铺设的管道，的管道，则铺设的管道最的管道最短的是短的是()3知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点）如如图，在平面直角坐，在平面直角坐标系中，点系中，点A(2，4)，B(4，2)，在，在x轴上取一点上取一点P，使点，使点P到点到点A和点和点B的距离之和最小，的距离之和最小，则点点P的坐的坐标是是()A(2，0)B(4，0)C(2，0)D(0，0)4知知2 2讲讲 (造造桥选址址问题）如）如图13.46,A和和B两地在一条两地在一条河的两岸，河的两岸，现要在河上造一座要在河上造一座桥MN.桥造在何造在何处可可使从使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假最短？（假 定河的两岸是平定河的两岸是平行的直行的直线，桥要与河垂直要与河垂直.）问问 题（二）题（二）我我们可以把河的两岸看成两条平行可以把河的两岸看成两条平行线a和和b(图13.47)，N为直直线b上的一个上的一个动点，点，MN垂直于直垂直于直线b,交直交直线a于点于点M，这样，上面的，上面的问题可以可以转化化为下面下面的的问题：当点：当点N在直在直线b的什么位置的什么位置时，AM+MN+NB最小？最小？知知2 2讲讲知知2 2讲讲 由于河岸由于河岸宽度是固定的，因此当度是固定的，因此当AM+NB最小最小时，AM+MN+NB最小最小.这样，问题就就进一步一步转化化为：当点：当点N在直在直线b的的什么位置什么位置时，AM+NB最小？能否通最小？能否通过图形的形的变化（化（轴对称、称、平移等），把平移等），把“图13.47”的情况的情况转化化 为“图13.43”的情况？的情况？如如图13.48,将将AM沿与河岸垂直的方向平移，点沿与河岸垂直的方向平移，点M移移动到到点点N,点点A 移移动到点到点A，则AA=MN，AM+NB=AN+NB.这样，问题就就转化化为：当点当点N在直在直线b的什么位置的什么位置时，AN+NB最小最小？知知2 2讲讲 如如图，在，在连接接A，B两点的两点的线中，中，线段段A B最短最短.因此因此线段段AB与直与直线b的交点的交点N的位置即的位置即为所求，即在点所求，即在点N处造造桥MN，所得路径，所得路径AMNB是最短是最短的的.知知2 2讲讲 为了了证明点明点N的位置即的位置即为所求，我所求，我们不妨在直不妨在直线b上另外任意取一点上另外任意取一点 N,过点点N作作N M a,垂足垂足为M 连接接A M ，A N，NB,证明明AM+MN+NB A M+M N+NB,你能完成你能完成这个个证明明吗？归归 纳纳 在解决最短路径在解决最短路径问题时，我，我们通常利用通常利用轴对称、称、平移等平移等变化把已知化把已知问 题转化化为容易解决的容易解决的问题，从，从而作出最短路径的而作出最短路径的选择.如如图13.45，牧，牧马营地在点地在点P处，每天牧，每天牧马人要人要赶着赶着马群先到草地群先到草地a上吃草，再到河上吃草，再到河边b饮水，最水，最后回到后回到营地地请你你设计一条放牧路一条放牧路线，使其所走，使其所走的的总路程最短路程最短知知2 2讲讲 【例例3】（来自（来自点拨点拨）图13.45要使其所走的要使其所走的总路程最短，可路程最短，可联想到想到“两点之两点之间，线段最短段最短”，因此需将三条，因此需将三条线段段转化到一条化到一条线段段上，上，为此作点此作点P关于直关于直线a的的对称点称点P1，作点，作点P关关于直于直线b的的对称点称点P2，连接接P1P2，分，分别交直交直线a，b于点于点A，B，连接接PA，PB，即得放牧所走的最，即得放牧所走的最短路短路线知知2 2讲讲 （来自（来自点拨点拨）导引引：如如图13.45，作点，作点P关于直关于直线a的的对称点称点P1，关于，关于直直线b的的对称点称点P2，连接接P1P2，分，分别交直交直线a，b于于点点A，B，连接接PA，PB.由由轴对称的性称的性质知，知，PAP1A，PBP2B，所以先到点，所以先到点A处吃草，再到点吃草，再到点B处饮水，最后回到水，最后回到营地，按地，按这样的路的路线放牧所走放牧所走的的总路程最短路程最短知知2 2讲讲 解解：（来自（来自点拨点拨）总总 结结 解决解决“两两线一点一点”型最短路径型最短路径问题，要作，要作两次两次轴对称，从而构造出最短路径称，从而构造出最短路径知知2 2讲讲 知知2 2练练 （来自（来自点拨点拨）1为庆祝教祝教师节，阳光中学八年，阳光中学八年级(2)班班举行了一次文行了一次文艺晚晚会，桌子会，桌子摆成两条成两条线(如如图中的中的OA，OB，AOB90)，桌子，桌子OA上上摆满了苹果，桌子了苹果，桌子OB上上摆满了橘子，坐在了橘子，坐在C处的小的小华想先拿苹果再拿橘子，然后回到座位想先拿苹果再拿橘子，然后回到座位C处请你帮助小你帮助小华设计一条行走路一条行走路线，使小，使小华所走路程最短所走路程最短(要求：作出路要求：作出路线图，并用字母表示出所走路，并用字母表示出所走路线)知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点）2茅坪民族中学八茅坪民族中学八(2)班班举行文行文艺晚会，桌子晚会，桌子摆成如成如图所示两直排所示两直排(图中的中的AO，BO)，AO桌面上桌面上摆满了了橘子，橘子，OB桌面上桌面上摆满了糖果，站在了糖果，站在C处的学生小的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，座位上，请你帮你帮助他助他设计一条行走路一条行走路线，使其所走的，使其所走的总路程最短路程最短1.最短路径问题的类型最短路径问题的类型：(1)两点一线型的线段和最小两点一线型的线段和最小 值问题；值问题；(2)两线一点型线段和最小值问题；两线一点型线段和最小值问题；(3)两点两点 两线型的线段和最小值问题；两线型的线段和最小值问题；(4)造桥选址问题造桥选址问题2.解决最短路径问题的方法解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用识，化折为直，利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”或或 “垂线段最短垂线段最短”来求线段和的最小值来求线段和的最小值1.请你完成教材你完成教材P91P93复复习题13T15.2.补充：充：请完成完成典中点典中点剩余部分剩余部分习题.必做：必做：