高三球的内接与外接课件

20172017高三球的内接与外接高三球的内接与外接课件课件解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题将空间问题转化为平面问题.球的内接正（长）方体的对角线等于球直径。球的内接正（长）方体的对角线等于球直径。一、直接法一、直接法ABCDD1C1A1OB1对角面对角面设棱长为设棱长为1 1变式变式1：一个正方体的各顶点均在同一球的球一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为面上，若该正方体的表面积为24，则该球的，则该球的体积为体积为 .例例1、若棱长为若棱长为3的正方体的顶点都在同的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为一球面上，则该球的表面积为.变式变式2：一个长方体的各顶点均在同一球面一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为，则此球的表面积为.变式变式3：已知各顶点都在一个球面上的正四已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为棱柱高为4，体积为，体积为16，则这个球的表面积，则这个球的表面积为（为（）A.B.C.D.C甲图乙图丙图例例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()A.1:2:3 B.C.D.球的外切正方球的外切正方体的棱长等于体的棱长等于球直径。球直径。正方形的对角线正方形的对角线等于球的直径。等于球的直径。球的内接正方体的对球的内接正方体的对角线等于球直径。角线等于球直径。AACBPO O二、构造法二、构造法例例1、（2012辽宁辽宁16）已知正三棱锥）已知正三棱锥P-ABC，点，点P,A,B,C都在半径为都在半径为的球面上，若的球面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离的距离为为。1、构造正方体、构造正方体变式题变式题、已知球、已知球O的面上四点的面上四点A、B、C、D，则球则球O的体积为的体积为。构造边长为根号构造边长为根号3的正方体即可的正方体即可。例例5、求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 P ABC 的外的外接球的表面积。接球的表面积。求正多面体外接球的半径求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径变式题：变式题：一个四面体的所有棱长都为一个四面体的所有棱长都为，四，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A.B.C.D.A2、构造长方体、构造长方体思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应构造熟悉的几何体并与球有密切的关图形内进行计算，所以应构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联系，便于将球的条件与之相联2、构造长方体、构造长方体思路分析：正四棱柱也是长方体思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积由长方体的体积16及高及高4可以可以求出长方体的求出长方体的底面边长为底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.例（福建高考题）例（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是则其外接球的表面积是.思路分析：思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.2、构造长方体、构造长方体变式变式点点A、B、C、D在同一个球面上，在同一个球面上，则，则B、C两点间的球面距离是两点间的球面距离是_，变式、变式、(2013郑州质检郑州质检)在三棱锥在三棱锥中，中，,则该三棱则该三棱锥的内接球的表面积为锥的内接球的表面积为。三、确定球心位置法三、确定球心位置法 球与三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.三、确定球心位置法三、确定球心位置法 三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.球与旋转体切接问题球与旋转体切接问题画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找两几何体元素画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找两几何体元素之间的关系之间的关系例例求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系四、构造直角三角形四、构造直角三角形例、正四面体的棱长为例、正四面体的棱长为a，则其内切球，则其内切球和外接球的半径是多少？和外接球的半径是多少？解：如图解：如图1所示，设点所示，设点o是内切球的球心，正四面体是内切球的球心，正四面体棱长为棱长为a由图形的对称性知，点由图形的对称性知，点o也是外接球的球也是外接球的球心设内切球半径为心设内切球半径为r，外接球半径为，外接球半径为R正四面体的表面积正四面体的表面积正四面体的体积正四面体的体积 在在 中，中，即即 ，得，得五、寻求轴截面圆半径法五、寻求轴截面圆半径法 例例1 1、正四棱锥、正四棱锥S-ABCDS-ABCD的底面边长和各侧棱长都为的底面边长和各侧棱长都为 ，点，点S,A,B,C,DS,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为都在同一球面上，则此球的体积为 .解解 设正四棱锥的底面中心为设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为，外接球的球心为O O，如图，如图3 3所示所示.由球的截面的性质，由球的截面的性质，可得可得又又 ，球心球心O O必在必在 所在的直线上所在的直线上.的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径圆的半径就是外接球的半径.在在 中，由中，由 是外接圆的半径，也是外接球的半径是外接圆的半径，也是外接球的半径.故故解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要时首先要找准切点，通过作截面来解决找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则如果外切的是多面体，则作截面时主要作截面时主要抓住多面体过球心的对角面抓住多面体过球心的对角面来作；来作；把把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题问题 解决这类问题的关键是抓住内接的特点，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径点的距离等于球的半径发挥空间想象力，借助于数形结合进行转发挥空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解化，问题即可得解 如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解论直接求解,此时结论的记忆必须准确此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合。高考题往往与三视图相结合。例例 在棱在棱长为1 1的正方体内有两个球相外切且又分的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切与正方体内切（1 1）求两球半径之和；）求两球半径之和；（2 2）球）球的半径为多少时，两球体积之和最小的半径为多少时，两球体积之和最小思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，一般作思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，一般作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察，得如图的截面图，在图中，观察R与与r和和棱长间的关系即可棱长间的关系即可结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！26