等差数列的前n项求和公式

等差数列的前n项求和公式 复习复习1、等差数列的通项公式2、等差数列的性质数列a中m+n=p+q，则am+an=ap+aq若a1为首项，d为公差，则an=a1+(n-1)d 当p=q时，m+n=2p，则am+an=2ap，称ap为等差中项 分析：高斯是如何很快的解出其结果的呢？问题：问题：123100？引入引入首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是：高斯的问题，可以看成是求等差数列高斯的问题，可以看成是求等差数列 1 1，2 2，3 3，n n，的前的前100100项的和，求项的和，求:1+2+3+4+n=?:1+2+3+4+n=?如果令如果令 Sn=1+2 +3 +.+（n-2）+（n-1）+n颠倒顺序得颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+.+3 +2 +1则 将两式相加将两式相加 2S 2Sn n=（1+n1+n）+（2+n-12+n-1）+.+.+（n+1n+1）推导推导下面下面对等差等差数列前列前n项公式公式进行推行推导设等差数列设等差数列 a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+a2+a1 (2)由由(1)+(2)得得 2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+.由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2)得得 2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即即 Sn=n(a1+an)/2 如果代入等差数列的通项公式如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，S Sn n也可也可以用首项以用首项a a1 1和公差和公差d d表示，即表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是或例题例题例例1 1 等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？例例2 2 已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1220.求等差数列的前n项和的公式例例3 3 求集合M=m|m=7n,n是正整数,且m100的元素个数,并求这些元素的和.解解：将题中的等差数列记为an，Sn代表该数列的前n项和，则有a1=10,d=6(10)=4设数列的前n项和为54，即Sn=54根据等差数列的前n项求和公式代入Sn=54，a1=10，d=4整理得，n26n27=0解得n1=9,n2=3(舍去)因此，等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.解解:由题，等差数列的前10项和S10=310，前20项和S20=1220根据等差数列的前n项求和公式得解得 a1=4，d=6因此，等差数列的前n项和的公式是将此结果代入上面的求和公式，得Sn=4n+n(n-1)3=3n2+n解解:根据题意，由7n100 得 n1007由于满足它的正整数n共有14个,所以集合M中的元素共有14个.即7,14,21,91,98这是一个等差数列,各项的和是因此，集合M中的元素共有14个,它们的和为735.=735由于 Sn=n(a1+an)/2 整理可得 Sn=d/2n2+(a1-d/2)，其中a1、d均为已知数若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn将等差数列的前将等差数列的前n项和公式写成上项和公式写成上述形式述形式,有利于求其前有利于求其前n项和的极值项和的极值:nsnnsna10,极小值极小值 a10,d0,S0,S11110,0,则求使则求使a an n00的的n n的最小值的最小值总结总结 1.推导等差数列前推导等差数列前 n项和公式的方法项和公式的方法-倒序相加法倒序相加法2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想.-方程、函数思想方程、函数思想3.公式中五个量公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个-知三求二知三求二A A组组2 2、4 4、5 5谢谢观赏谢谢观赏