134_最短路径问题

八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 知识链接如图所示，从如图所示，从A地到地到B地有三条路可供选择，地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短1.两点之间2.两点在一条直线异侧已知已知：如如图，图，A，B在直线在直线L的两侧，在的两侧，在L 上求上求 一点一点P，使得使得PA+PB最小。最小。P3.两平行线之间这是两根互相平行的水管，由于工程需要，现这是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用一根水管把它们接通。这是设计草图，在要用一根水管把它们接通。这是设计草图，你认为选用哪根水管最节省材料，为什么？你认为选用哪根水管最节省材料，为什么？问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，饮马，然后到然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？路线全程最短？探索探索1：将军饮马问题：将军饮马问题ABL精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称知识回答了这个问题这个问题后来被称为为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ABLlABCC转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：分析：ABL（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把）我们能否把A、B两点转化到直线两点转化到直线l 的异侧呢？的异侧呢？（3）利用什么知识可以实现转化目标？）利用什么知识可以实现转化目标？分析：分析：lABClABC思考思考你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABC思考思考你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCC证明：证明：在在ABC中中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短如图：牧马人某一天要从如图：牧马人某一天要从A低出发，先到草地低出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，处，请你帮他确定这一天的最短路线。请你帮他确定这一天的最短路线。AB新知应用新知应用ABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现要在河两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥上造一座桥MN.桥造在何处才能使从桥造在何处才能使从A到到B的的路径路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）直线，桥要与河垂直）BA探索探索2：造桥选址问题：造桥选址问题分析分析：lABCaBAbMNA 如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？如图，小河边有两个村庄如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自要在河边建一自来水厂向村庄来水厂向村庄A与村庄与村庄B供水。供水。(1)若要使厂部到若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择村庄的距离相等，则应选择在哪建厂？在哪建厂？（2）若要使厂部到）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在村的水管最省料，应建在什么地方？什么地方？A村村B村村当堂检测当堂检测如图，荆州古城河在如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，处直角转弯，河宽相同，从从A处到达处到达B处，须经两座桥：处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使的，怎样架桥可使ADDEEB的路程最短？的路程最短？能力提升课堂小结AB线段公理：两点之间，线段最短.最短路径问题垂线段性质：垂线段最短.BAl光有知识是不够的，光有知识是不够的，还应当应用；还应当应用；光有愿望是不够的，光有愿望是不够的，还应当行动！还应当行动！教师寄语教师寄语 你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识.如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于P、Q两点上，先找出P点关于BC的对称点P，连接PQ交BC于M点，则P处的球经BC反弹后，会击中Q处的球.请回答：如果使P球先碰撞台边BC反弹碰撞台边AD后，再击中Q球，该如何撞击呢?（画出图形）作业作业ACDBPQA村村B村村