近世代数主要知识点

近世代数主要知识点近世代数主要知识点第一章 基本概念n n集合集合 n n映射映射n n代数运算代数运算n n结合律结合律n n交换律交换律n n分配律分配律n n一一映射一一映射n n同态同态n n同构、自同构同构、自同构n n等价关系与集合分类等价关系与集合分类第二章 群论n n群的定义群的定义n n单位元、逆元、消去律单位元、逆元、消去律n n有限群的另一定义有限群的另一定义n n群的同态群的同态n n变换群变换群n n置换群置换群n n循环群循环群n n子群子群n n子群的陪集子群的陪集n n不变子群、商群不变子群、商群n n同态与不变子群同态与不变子群第三章 环和域n n加群、环的定义加群、环的定义n n交换律、单位元、零因子、整环交换律、单位元、零因子、整环n n除环、域除环、域n n无零因子环的特征无零因子环的特征n n子环、环的同态子环、环的同态n n多项式环多项式环n n理想理想n n剩余类环、同态与理想剩余类环、同态与理想n n最大理想最大理想集合的定义n n若干个固定事物的全体叫做一若干个固定事物的全体叫做一个集合个集合 简称集简称集n n元组成一个集合的事物叫做这元组成一个集合的事物叫做这个集合的元素个集合的元素 有时简称元有时简称元n n一个没有元素的集合叫做空集一个没有元素的集合叫做空集合合n n集合的积集合的积 令令A1 A2A1 A2，AnAn是是n n个集合，有一切从个集合，有一切从A1 A1 A2A2，AnAn里里顺顺序取出的序取出的元素元素组组（a1 a1，a2a2，a3a3，anan）（）（aiai AiAi）所做成的集合叫做集合）所做成的集合叫做集合 的积的积n n子集子集 若集合若集合b b的每一个元的每一个元素都属于集合素都属于集合a a，我们说，我们说，b b是是a a的子集的子集n n交集交集 集合集合a a和集合和集合b b的所有共的所有共同元所组成的集合就叫做同元所组成的集合就叫做a a和和b b的交集的交集n n并集并集 由至少属于集合由至少属于集合a a和和b b之一之一的一切元素组成的集合就叫做的一切元素组成的集合就叫做a a和和b b的并集的并集映射映射n n映射的定义映射的定义 假如通过一个法则假如通过一个法则，对于任何一个，对于任何一个A1A1A2A2AnAn的元都能得到一个唯一的的元都能得到一个唯一的DD的元的元d d，那么这个法则叫做集合，那么这个法则叫做集合A1A1A2A2AnAn到集合到集合DD的一个映射的一个映射 像像 逆象，逆象，n n映射的相同映射的相同 效果相同就行效果相同就行 代数运算n n定义一个定义一个ABAB到到DD的映射叫做一个的映射叫做一个ABAB到到DD的代数运算的代数运算n n代数运算是一种特殊的映射代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用数运算我们用。来表示来表示n n二元运算二元运算 假如假如。是一个是一个AAAA到到A A的代数运算，我们说集合的代数运算，我们说集合A A是闭是闭的的 二元运算二元运算分配律分配律n n第一分配律第一分配律 b b（a+ba+b）=（b ba)+a)+(b(bn na a）n n第二分配律第二分配律 （a1+a2a1+a2）b=b=（a1a1b b）+（a2a2b b）同态同态n n同态映射同态映射 一个一个A A到到 的映射的映射l l，叫做一个代数运算，叫做一个代数运算 和和 来来说，说，A A到到 的同的同态态映射，假如，在映射，假如，在 之下不管之下不管a a和和b b是是A A的哪的哪两个元，只要两个元，只要a aa a，b bb b 就有就有a a b b a a bb n n假如运算假如运算1 1和和11来来说说，有一个，有一个A A到到AA的的满满射的同射的同态态映射存在，映射存在，同同态满态满射射n n同构映射同构映射 一一映射的同一一映射的同态态映射就是一个同构映射映射就是一个同构映射 n n自同构自同构等价关系与等价类n n集合的等价关系集合的等价关系 假如满足以下规律假如满足以下规律反射律；反射律；a aa a，不管，不管a a是是A A的哪个元。的哪个元。，对称律对称律:a:ab bbba a ，推移律：，推移律：a ab b，b bc=ac=ac c同余关系同余关系群的定义群的定义n n群的第一定义群的第一定义一个不空集合一个不空集合GG对于乘法的代数运对于乘法的代数运算来说做成一个群，假如算来说做成一个群，假如GG对于这个乘法来说是闭的对于这个乘法来说是闭的结合律成立：结合律成立：a a（bcbc）=（abab）c c对于对于GG的任意的三个元的任意的三个元a a，b b，c c都对；都对；对于对于GG的任意两个元的任意两个元a a，b b来说，来说，方程方程ax=b ax=b 和和ya=bya=b都在都在GG里有里有解解n n群的第二定义群的第二定义 G G对乘法是闭的对乘法是闭的 结合律成立：结合律成立：a a（bcbc）=(a(ab)cb)c对于对于GG里的任意元都对里的任意元都对 G G里至少存在一个左单位里至少存在一个左单位元元e e，能让，能让ea=a ea=a 对对GG中的中的任意任意a a都成立都成立 对于对于GG的每个元的每个元a a，在，在GG里里至少存在一个左逆元至少存在一个左逆元a a 能能让让aa=e aa=e 单位元、逆元、消去律单位元、逆元、消去律n n单位元单位元 一个群的唯一的能使一个群的唯一的能使ea=ae=aea=ae=a的元的元e e叫做群的单位元叫做群的单位元n n逆元逆元 一个群的每一个元一个群的每一个元a a来说，在群里存在一个而且只存在一个元来说，在群里存在一个而且只存在一个元aa，能使，能使aa=aa=eaa=aa=en n消去律消去律 若若 ax=ax ax=ax，那么，那么x=xx=x 若若 ya=ya ya=ya，那么，那么y=yy=y群的同态n n定理定理 假定假定GG与与GG对于它们的乘法来说同对于它们的乘法来说同 态，那么态，那么GG也是一个也是一个群群n n注意注意 假如假如GG和和GG同态，那么不一定是群同态，那么不一定是群n n定理定理2 2 假定假定GG和和GG是两个群。在是两个群。在GG到到GG的一个同态映射下，的一个同态映射下，GG的单的单位元位元e e的象是的象是GG的单位元，的单位元，GG的元的元a a的逆元的逆元aa的象是的象是a a的象的逆元的象的逆元n n在一个同构映射下，两个单位元互相对应，相互对应的元的逆元相互在一个同构映射下，两个单位元互相对应，相互对应的元的逆元相互对应。对应。变换群n n定理定理1 1 假定假定GG是集合是集合A A的若干个变换所做成的集合，并且的若干个变换所做成的集合，并且GG包含恒等包含恒等变换变换，若是对乘法（，若是对乘法（：a aa a，：a aa a 那么那么a a（a a）)来）来说做成一个群，那么说做成一个群，那么GG只包含只包含A A的一一变换。的一一变换。n n变换群变换群 一个集合的若干个一一变换对于以上规定的乘法做成的一个一个集合的若干个一一变换对于以上规定的乘法做成的一个群叫做群叫做A A的一个变换群的一个变换群n n定理定理2 2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群一个集合的所有一一变换做成一个变换群n n定理定理3 3 任何一个群都同一个变换群同构任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定证明，假定GG是一个群，是一个群，GG的元是的元是a a，b b，c c 我们在我们在GG里任意取出一里任意取出一个元个元x x来，那么来，那么 x x：g ggx=ggx=g x x是集合的一个变换。因为给了是集合的一个变换。因为给了GG的任的任意元意元g g，我们能够得到一个唯一的，我们能够得到一个唯一的GG的元的元g g x x。这样由。这样由GG的每个元的每个元x x，可以得到可以得到GG的一个变换的一个变换 x x。我们把所有这样的来的。我们把所有这样的来的GG的变换放在一起，的变换放在一起，做成一个集合做成一个集合G=aG=a，bb，c c 那么那么x xxx是是GG到到GG的满射，但的满射，但消去律消去律xy=gxgyxy=gxgy告诉我们若告诉我们若xyxy，那么，那么x yx y，所以，所以x xxx是一是一一映射。在进一步看，是同构映射一映射。在进一步看，是同构映射 所以任何群和一个变换群同构所以任何群和一个变换群同构 置换群n n一个有限集合的一一变换叫做置换一个有限集合的一一变换叫做置换n n一个有限集合的若干个置换群做成的一个群叫做置换群。一个有限集合的若干个置换群做成的一个群叫做置换群。n n定义定义 一个包含一个包含n n个元的集合的全体置换做成的群叫做对称群个元的集合的全体置换做成的群叫做对称群 s sn nn n定理定理 1 n 1 n次对称群次对称群snsn的阶是的阶是n n！n n定义定义 sn sn的一个把的一个把a ai i1 1变到变到a ai2i2而使得其余的元，假而使得其余的元，假如还有的话，不变的置换，叫做一个如还有的话，不变的置换，叫做一个k-k-循环置换循环置换n n定理定理2 2 每一个每一个n n个元的置换个元的置换 都可以写成若干个互相没有共同数字的都可以写成若干个互相没有共同数字的循环置换的乘积。循环置换的乘积。n n定理定理3 3 每个有限群都与一个置换群同构每个有限群都与一个置换群同构 循环群n n定义定义 若一个群若一个群GG的每一个元都是的每一个元都是GG的某个固定元的某个固定元a a的乘方，的乘方，我们就把我们就把GG叫做循环群，我们也可以说，叫做循环群，我们也可以说，GG是由元是由元a a生成的，生成的，并且用符号并且用符号G=G=（a a）来表示。）来表示。a a叫做叫做GG的一个生成元的一个生成元n n定理定理 假定假定GG是一个由元是一个由元a a所生成的循环群。那么所生成的循环群。那么GG的构造的构造完全可以由完全可以由a a的阶来决定的阶来决定a a的阶若是无限，那么的阶若是无限，那么GG与整数加群同构与整数加群同构a a的阶若是一个有限整数的阶若是一个有限整数n n，那么，那么GG与与n n的剩余类加群同构的剩余类加群同构子群n n定义定义 一个群的一个子集一个群的一个子集H H叫做叫做GG的一个子群，假如的一个子群，假如H H对于对于GG的乘法来说做成一个群的乘法来说做成一个群n n做成子群的必要条件做成子群的必要条件;,a,a，b b H=abH=ab H Ha a H=a H=a H Hn n定理定理 做成子群的充分必要条件做成子群的充分必要条件a a，b b H=H=ab ab H Hn n一个群的不空有限子集一个群的不空有限子集H H作成作成GG的一个子群的充分必要条的一个子群的充分必要条件是：件是：a a，b b abab H H子群的陪集ab 当且仅当ab H时 是一种等价关系ab当且仅当baH是也是等价关系等价关系的类是右陪集Ha第一种情况由所决定的类是左陪集第二种情况一个右陪集的个数和左陪集的个数相等它们或者都是无限大或者都是有限并且相等子群的陪集续n n指数指数 一个群的子群的右陪集的个数叫做一个群的子群的右陪集的个数叫做H H在在GG里的指数里的指数n n假定假定H H是一个有限群是一个有限群GG的子群，那么的子群，那么H H的阶的阶n n和它在和它在GG里的里的指数指数j j都能整除都能整除G G 的阶的阶N N 并且并且N=njN=njn n一个有限群的任一元一个有限群的任一元a a的阶的阶n n都能整除都能整除GG的阶的阶不变子群、商群n n定义定义 一个群一个群GG是一个子群是一个子群N N叫做一个不变子群，假如对于叫做一个不变子群，假如对于GG的每个元的每个元a a来说，都有来说，都有Na=aN Na=aN 一个不变子群的一个左一个不变子群的一个左(右右)陪集叫做陪集叫做N N的一个陪集的一个陪集n n一个群一个群GG的一个子群是一个不变子群的充要条件是：的一个子群是一个不变子群的充要条件是：aNa=N aNa=N 对于任意元对于任意元a a都成立都成立n n充要条件充要条件 a a GG，n n N=anaN=ana N Nn n商群商群 一个不变子群一个不变子群N N的陪集所做成的群叫做一个商群的陪集所做成的群叫做一个商群 G/N G/N 有限群时有限群时 G G的阶的阶/N/N的阶的阶=G/N=G/N的阶的阶同态、不变子群n n一个群一个群GG同他的每一个商群同他的每一个商群G/NG/N同态同态n n同态映射的核同态映射的核 ：假定：假定&是一个群是一个群GG到另一个群到另一个群GG的一个同的一个同态映射。态映射。GG的单位元的单位元ee在在&之下的所有逆象所做成的之下的所有逆象所做成的GG的的子集就叫做同态映射的核子集就叫做同态映射的核 。n n定理定理 假定假定 G G 与与GG是两个群，并且是两个群，并且GG与与GG同态，那么这个同态，那么这个同态映射的核同态映射的核N N是是GG的一个不变子群，且的一个不变子群，且G/NG/N GG加群、环的定义n n加群加群 一个交换群叫做一个加群一个交换群叫做一个加群n n环环 一个集合叫做一个环一个集合叫做一个环 1 R1 R是加群是加群 对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群群2 R2 R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的3 3 这个乘法适合结合律：这个乘法适合结合律：a a（bcbc）=（abab）c c不管不管a a，b b，c c 是是R R的哪三个元的哪三个元4 4两个分配律都成立两个分配律都成立 a a（b+cb+c）=ab+acab+ac5 5 （b+cb+c）a=a=ba+caba+ca交换律、单位元、零因子、整环n n交换环交换环 一个环一个环 假如假如 ab=ba ab=ba不管不管a ba b是环的哪两个是环的哪两个元元n n单位元单位元 ea=ae=a ea=ae=a 一个环未必有单位元一个环未必有单位元n n零因子零因子 若环里若环里a0a0，b0b0但但 ab=0 ab=0 那么那么 a a是左零因子是左零因子 b b 右零因子右零因子n n整环整环 一个环叫做整环一个环叫做整环 如果如果 1.1.乘法适合交换律：乘法适合交换律：ab=baab=ba2 2.R.R有单位元有单位元1 1：1a=a1=a1a=a1=a3 3 R R没有零因子没有零因子abab=0=a=0=0=a=0或或b=0b=0除环、域n n除环除环 1 1，R R至少包含一个而不等于零的元至少包含一个而不等于零的元 2 2，R R有单位有单位元元 3 3，R R的每一个不等于零的元有一个逆元的每一个不等于零的元有一个逆元n n域域 一个交换除环叫做一个域一个交换除环叫做一个域n n在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的的阶都一样的n n一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征n n整环整环 除环除环 域域 的特征或是无限大的特征或是无限大 或是一个素数或是一个素数子环、环的同态n n一个非空子集作成子环的充要条件是，a，bS=a-bS abSn n一个除环的子集作成子除环的充要条件是 1，包含一个不等于零的元 2，a，bS=a-bS a，bS b0=ab S多项式环理想n n一个环的非空子集一个环的非空子集 叫做理想子环叫做理想子环 理想理想 n nra ra 既有单位元又是交换环既有单位元又是交换环 生成理想生成理想 主理想主理想 ra+na ra+na 是交换环时是交换环时