柱体锥体台体的表面积和体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题提出问题提出问题 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和们的表面积就是各个面的面积的和 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积图形求面积的方法，求立体图形的表面积引入新课引入新课 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？积？h棱柱的展开图棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？棱锥的展开图棱锥的展开图正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图棱锥的展开图侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图棱锥的展开图侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和h 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCAS分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成BC=a，四面体四面体S-ABC 的表面积为的表面积为 交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积的面积,过点过点S作作 ,典型例题典型例题圆柱的表面积圆柱的表面积O圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形r为底面半径为底面半径,l为母线长为母线长圆锥的表面积圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形Or为底面半径为底面半径,l为母线长为母线长圆台的表面积圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么 OO圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环r,r为上为上,下底面半径下底面半径,l为母线长为母线长三者之间关系三者之间关系OOOO圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？rr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小例例2 2如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm,20cm,盆底直径为盆底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm,1.5 cm,盆壁长盆壁长15cm.15cm.那么那么花盆的表面积约是多少平方厘米（花盆的表面积约是多少平方厘米（取取3.14,3.14,结果精确结果精确到到1 1 ）？）？解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 典型例题典型例题课堂练习课堂练习n 1 1、一个三棱柱的底面是正三角形，边长为一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4 4，侧棱与底面垂直，侧棱长侧棱与底面垂直，侧棱长10,10,求其表面积求其表面积.n2 2、一个圆台，上、下底面半径分别为一个圆台，上、下底面半径分别为1010、2020，母线与底面的夹角为母线与底面的夹角为6060，求圆台的表面，求圆台的表面积积.n变式：求切割之前的圆锥的表面积变式：求切割之前的圆锥的表面积n3 3、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为积为 ，求这个圆锥的表面积，求这个圆锥的表面积 n4 4、直角三角形，两直角边的长为直角三角形，两直角边的长为3,4，绕，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和知识小结知识小结展开图展开图 圆台圆台圆柱圆柱圆锥圆锥 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式的体积公式,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：（S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）柱体体积柱体体积一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是：其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高圆锥的体积公式：圆锥的体积公式：（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 圆锥体积圆锥体积探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系棱锥体积棱锥体积三棱锥与同底等高的三棱柱的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的底面面积乘高的 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的 即棱锥的体积：即棱锥的体积：锥体体积锥体体积台体体积台体体积 由于圆台由于圆台(棱台棱台)是由圆锥是由圆锥(棱棱锥锥)截成的，因此可以利用两个锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台体的体积差得到圆台(棱台棱台)的的体积公式体积公式(过程略过程略)根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式 其中其中 ，分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高台体体积台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高台体体积台体体积上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小 例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，已知底面是正六边形，边长为边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这，问这堆螺帽大约有多少个（堆螺帽大约有多少个（取取3.14）？）？解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个典型例题典型例题.圆柱的柱的侧面展开面展开图如下左如下左图所示，求此所示，求此圆柱柱的体的体积。侧面展开图侧面展开图直直观观图图1直观图直观图2根据题目要求根据题目要求,和相关条件和相关条件,求值求值.已知正四棱台两底面的边长已知正四棱台两底面的边长,和棱台体积和棱台体积,求棱台求棱台的高的高.柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和知识小结知识小结展开图展开图 圆台圆台圆柱圆柱圆锥圆锥柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积锥体锥体台体台体柱体柱体知识小结知识小结1.3.2 球的表面积和体积球的体积球的体积1.球的体积是球的体积是 ,则此球的表面积是则此球的表面积是_.2.两个球的表面积之比为两个球的表面积之比为1:9,则此两球的体积之则此两球的体积之比为比为_.3.棱长为棱长为1的正方体其外接球的表面积为的正方体其外接球的表面积为_,体积为体积为_.