复变函数2.3初等多值解析函数

第三节第三节 初等多值解析函数初等多值解析函数2.3.1 根式函数根式函数2.3.2 对数函数对数函数2.3.3 一般幂函数与一般指数函数一般幂函数与一般指数函数2.3.4 具有多个有限支点的情形具有多个有限支点的情形2.3.5 反三角函数和反双曲函数反三角函数和反双曲函数2.3.6 小结与思考小结与思考1定义定义2.8(单叶函数）单叶函数）设函数设函数f(z)在区域在区域D内有定义内有定义,且对且对D内任意不内任意不同的两点同的两点z1及及z2都有都有f(z1)f(z2),则称函数则称函数 f(z)在在D内内是是单叶的单叶的.并且称区域并且称区域D为为f(z)的的单叶性区域单叶性区域.显然显然,区域区域D到区域到区域G的单叶满变换的单叶满变换w=f(z)就是就是D 到到G的一一变换的一一变换.f(z)=z2不是不是C上的单叶函数上的单叶函数.f(z)=z3是是C上的单叶函数上的单叶函数2幂函数的变换性质及其单叶性区域幂函数的变换性质及其单叶性区域设有幂函数设有幂函数:w=zn 令令z=rei,w=ei ,则：则：w=zn ei =rnein=rn,=n 于是得到幂函数有如下的变换性质：于是得到幂函数有如下的变换性质：z平面平面w平面平面射线射线 =0射线射线 =n 0圆周圆周r=r0圆周圆周=r0n3xozyuowvW=znz平面平面w平面平面射线射线 =0射线射线 =n 0圆周圆周r=r0圆周圆周=r0n 0n 0角域角域0 0射线射线0 n 0)xozy)4从原点起沿负实轴剪开的从原点起沿负实轴剪开的w平面平面G0z平面平面w平面平面W=zn角域角域 0 0角域角域0 1)单叶性区域是顶点单叶性区域是顶点在原点，张度不超过在原点，张度不超过2/n的的角形区域角形区域的角形域的角形域,但张角变成为原来的但张角变成为原来的 n 倍倍.是幂函数的单叶性区域的一种分法是幂函数的单叶性区域的一种分法 总之：总之：把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点6根式函数根式函数定义定义 若若z=wn,则称则称w为为z的的n次根式函数，记为：次根式函数，记为：i.e.根式函数根式函数 为幂函数为幂函数z=wn 的反函数的反函数.(1)根式函数的多值性根式函数的多值性.7(2)分出根式函数的单值解析分支分出根式函数的单值解析分支.1)产生多值的原因产生多值的原因.产生多值的原因是产生多值的原因是:当当z取定后，其辐角不固定，可取定后，其辐角不固定，可以连续改变以连续改变2 的整数倍，对应的函数值连续改变到的整数倍，对应的函数值连续改变到下一个值下一个值8 2)解决的办法解决的办法.限制限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量的辐角的变换，使其辐角的该变量argz2 理论上的的做法：理论上的的做法：从原点从原点O起到点起到点任意引一条射线将任意引一条射线将z平面割破，该平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边构成以此割线为边界的区域，记为界的区域，记为G)上，上，argz2，从而可将其转化，从而可将其转化为单值函数来研究为单值函数来研究 常用的做法：常用的做法：从原点起沿着负实轴将从原点起沿着负实轴将z平平面割破：面割破：zxozyG9 结论：结论：从从原点起沿着负实轴原点起沿着负实轴将将z平面割破平面割破,即可将根式函数即可将根式函数:分成如下的分成如下的n个单值函数：个单值函数：定义域为定义域为 wk在在Gk上解析上解析,且且10 xozyG13 xozyG0-T0T1T2 uwvoxozyG23 5 112.3.2 对数函数对数函数1.定义定义说明：说明：w=Lnz是指数函数是指数函数ew=z的反函数的反函数Lnz一般不能写成一般不能写成lnz2.计算公式及多值性说明：计算公式及多值性说明：12由于由于Argz的多值性导致的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数是一个具有无穷多值的多值函数规定：规定：为对数函数为对数函数Lnz的主值的主值于是：于是：z的的主主辐辐角角13特殊地特殊地,14例例4 解解注意注意:在实对数函数中在实对数函数中,零和负数无对数零和负数无对数,这一点这一点 在复对数函数中不再成立在复对数函数中不再成立.15例例5解解16例例6解解17182.性质性质19证证(3)证毕证毕20(3)(4)错了错了例：例：错了，同志错了，同志哥！哥！决不会相决不会相等！等！原因原因Bernoulli悖论悖论 Lnz是集合是集合记号，应该记号，应该理解为两个理解为两个集合相加集合相加A=0,1A+A=0,1,22A=0,2A+A 2A213.分出分出w=Lnz的单值解析分支的单值解析分支从原点起沿着负实轴将从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将平面割破，就可将对数函数对数函数w=Lnz分成如下分成如下n个单值解析分支：个单值解析分支：定义域为定义域为 wk在在Gk上解析上解析,且且222.3.3 一般幂函数与一般指函数一般幂函数与一般指函数1.一般幂函数一般幂函数称为称为z的一般幂数函数的一般幂数函数2.一般指数函数一般指数函数称为称为z的一般指数函数的一般指数函数都是多值函数，适当割破都是多值函数，适当割破z平面，平面，都可转化为单值函数都可转化为单值函数23注意注意:1.一般幂函数一般幂函数称为称为z的一般幂数函数的一般幂数函数2425特殊情况特殊情况:2627例例7 7解解答案答案课堂练习课堂练习28例例8 8解解292.幂函数的解析性幂函数的解析性它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的,30它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的,312.3.4 反三角函数和反双曲函数反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义反三角函数的定义两端取对数得两端取对数得32 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤重复以上步骤,可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义反双曲函数的定义33例例1414解解342.3.6 小结与思考小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性质本性质,又有一些与后者不同的特性又有一些与后者不同的特性.如如:1.分成单值解析分支的方法分成单值解析分支的方法2.负数无对数的结论不再成立负数无对数的结论不再成立35