向量法解立体几何

空间空间“综合综合”问题问题复习引入复习引入如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的所成的角的余弦值余弦值(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【课后作业】【课后作业】zxyF1 1F2 2F3 3ACBO500kg例例1、如如图图,一一块块均均匀匀的的正正三三角角形形面面的的钢钢板板的的质质量量为为 ，在在它它的的顶顶点点处处分分别别受受力力 、，每每个个力力与与同同它它相相邻邻的的三三角角形形的的两两边边之之间间的的夹夹角角都都是是 ，且且 .这这块块钢钢板板在在这这些些力力的的作作用用下下将将会会怎怎样样运运动动？这这三三个个力力最最小小为多大时，才能提起这块钢板？为多大时，才能提起这块钢板？F1 1F3 3F2 2F1 1F2 2F3 3ACBO500kgF1 1F3 3F2 2例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形，侧棱形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，的中点，作作EFPB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF FABCDP PE EF FXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，为坐标原点，设设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EGABCDP PE EF FXYZG(2)求证：求证：PB平面平面EFDABCDP PE EF FXYZ(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF FXYZ当当E,F在公垂线同一侧时取负号在公垂线同一侧时取负号当当d等于等于0是即为是即为“余弦定理余弦定理”=（或（或），），abCDABCD为为a,b的公垂线的公垂线则则A，B分别在直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线，是异面直线，n为为a a的的法向量法向量异面直线间的距离异面直线间的距离 即即 间的距离可转化为向量间的距离可转化为向量 在在n上的射影长，上的射影长，zxyABCC1即即取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B1xyzABCDE2、如图，四面体、如图，四面体DABC中，中，AB，BC，BD两两垂直，两两垂直，且且AB=BC=2，点，点E是是AC中点；异面直线中点；异面直线AD与与BE所成所成角为角为 ，且，且 ，求四面体，求四面体DABC的体积。的体积。3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面且平面ABCD与平面与平面ABEF互相垂直。活动弹子互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线分别在正方形对角线AC和和BF上移动，且上移动，且CM和和BN的的长度保持相等，记长度保持相等，记CM=BN=（1）求）求MN的长；的长；（2）a 为何值时？为何值时？MN的长最小？的长最小？（3）当）当MN的长最小时，的长最小时，求面求面MNA与面与面MNB所成所成二面角的余弦值。二面角的余弦值。ABCDEFMN 4、如图、如图6，在棱长为，在棱长为 的正方体的正方体 中，中，分别是棱分别是棱AB,BC上的动点，且上的动点，且 。（1）求证：）求证：；（2）当三棱锥）当三棱锥 的体积取最大值时，求二的体积取最大值时，求二面角面角 的正切值。的正切值。OCBAOAB CEF图图6OCBAOAB CEF图图65、如图，平行六面体、如图，平行六面体 中，底面中，底面ABCD是边长是边长为为a的正方形，侧棱的正方形，侧棱 的长为的长为b,且且求求（1）的长；的长；（2）直线）直线 与与AC夹角的余弦值。夹角的余弦值。ABCD