第一章 集合与充要条件

第一章第一章 集合与充要条件集合与充要条件中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导1理解集合、元素及其关系，理解空集的概念理解集合、元素及其关系，理解空集的概念考试要求考试要求2掌握集合的表示法及子集、真子集、相等之间的关系掌握集合的表示法及子集、真子集、相等之间的关系3理解交集、并集和补集等运算理解交集、并集和补集等运算4了解充要条件的含义了解充要条件的含义中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导知识解读知识解读知识解读知识解读实操演练实操演练实操演练实操演练巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习第一节集合及其概念第一节集合及其概念中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导一、集合的有关概念一、集合的有关概念一、集合的有关概念一、集合的有关概念（一）含义（一）含义（一）含义（一）含义把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合集合知识解读知识解读构成集合的每个对象叫做构成集合的每个对象叫做集合的元素集合的元素一般用大写字母一般用大写字母 表示集合，表示集合，用小写字母用小写字母 表示元素表示元素集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导（二）元素与集合的关系（二）元素与集合的关系（二）元素与集合的关系（二）元素与集合的关系若若是集合是集合的元素，就说的元素，就说属于属于，记作，记作若若不是集合不是集合的元素，就说的元素，就说不属于不属于，记作，记作.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导（三）表示法（三）表示法（三）表示法（三）表示法把集合的元素一一列把集合的元素一一列举出来，并用逗号隔开写在大括号内，出来，并用逗号隔开写在大括号内，这种表示集合的方种表示集合的方法叫做法叫做列列举法法一般形式一般形式为.把集合中的元素的共同特性描述出来，写在大括号内，把集合中的元素的共同特性描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫种表示集合的方法叫做做描述法描述法一般形式一般形式为或或.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导（四）特殊的集合（四）特殊的集合（四）特殊的集合（四）特殊的集合不含有任何元素的集合叫做不含有任何元素的集合叫做空集空集，用，用表示表示只含有一个元素的集合叫做只含有一个元素的集合叫做单元素集元素集记为.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导（五）常见数集（五）常见数集（五）常见数集（五）常见数集全体自然数的集合叫做全体自然数的集合叫做自然数集自然数集，常用，常用表示表示全体整数的集合叫做全体整数的集合叫做整数集整数集，常用，常用表示表示全体有理数的集合叫做全体有理数的集合叫做有理数集有理数集，常用，常用表示表示全体实数的集合叫做全体实数的集合叫做实数集实数集，常用，常用表示表示有时用有时用表示正实数集，用表示正实数集，用表示负实数集，表示负实数集，或或表示非零自然数集表示非零自然数集中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导（六）分类（六）分类（六）分类（六）分类含有有限个元素的集合叫做含有有限个元素的集合叫做有限集有限集.含有无限个元素的集合叫做含有无限个元素的集合叫做无限集无限集.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导二、集合与集合的关系二、集合与集合的关系二、集合与集合的关系二、集合与集合的关系（一）子集（一）子集（一）子集（一）子集如果集合如果集合的任一个元素都是集合的任一个元素都是集合中的元素，那么集合中的元素，那么集合叫做集合叫做集合的的子子集集记作记作或或，读作，读作“真包含于真包含于”或或“真包含真包含”由子集的定义可知：由子集的定义可知：；，.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导（二）真子集（二）真子集（二）真子集（二）真子集如如果果集集合合 是是集集合合 的的子子集集，并并且且 中中至至少少有有一一个个元元素素不不属属于于 ，那那么么集集合合 叫做集合叫做集合 的的真子集真子集记作记作 或或 由真子集的定义可知：由真子集的定义可知：；，中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导（三）集合的相等（三）集合的相等（三）集合的相等（三）集合的相等如果两个集合如果两个集合、的元素完全相同，那么就说这两个的元素完全相同，那么就说这两个集合相等集合相等记作记作，读作，读作“等于等于”性质：性质：含有含有个元素的集合个元素的集合的所有子集个数的所有子集个数为，真子集个数，真子集个数为.如：集合如：集合的子集个数的子集个数为，真子集个数，真子集个数为，非空真子集个数，非空真子集个数为 评析析中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导演示用适当的方法表示下列集合演示用适当的方法表示下列集合演示用适当的方法表示下列集合演示用适当的方法表示下列集合.（1）大于）大于且小于且小于的自然数集；的自然数集；（2）绝对值大于）绝对值大于的数；的数；（3）全体奇数构成的集合；）全体奇数构成的集合；（4）方程组）方程组的解集的解集实操演练实操演练中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导解解（1）；）；（2）；）；（3）；）；（4）.有限集常用列有限集常用列举法表示，无法表示，无限集常用描述法表示，用描述法限集常用描述法表示，用描述法表示集合表示集合过程中需要注意程中需要注意书写格写格式式问题解解题方法方法中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导练习练习用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合.（1 1）绝）绝对值不大于对值不大于的整数的全体；的整数的全体；（2）不等式）不等式的解集；的解集；（3）矩形全体构成的集合；）矩形全体构成的集合；（4）方程）方程的解集的解集.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导演示用适当的符号填空演示用适当的符号填空演示用适当的符号填空演示用适当的符号填空.（1）；（2）；）；（3）；）；（4）；）；（5）；）；（6）.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导分析分析（1）因为）因为为元素，为元素，为集合，所以应填为集合，所以应填；（3）因为）因为为元素，为元素，为空集，所以应填为为空集，所以应填为；（4）因为，所以；）因为，所以；（2）因为）因为、均为集合，且均为集合，且的元素都在的元素都在内，内，且且中的元素中的元素不在不在内，所以应填内，所以应填中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导（6）因为方程）因为方程的实数解为的实数解为，故故.集合集合的元素都在的元素都在内，的元素内，的元素不在不在内，所以应内，所以应.（5）因为方程）因为方程无实数根，故；无实数根，故；中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导判断元素与集合或集合与集合的关系的常判断元素与集合或集合与集合的关系的常规方法是首先分清是方法是首先分清是元素与元素与集合集合关系关系还是是集合与集合集合与集合关系关系如果是元素与集合关系，如果是元素与集合关系，则关关键看元素是否在集合内或看元素是否在集合内或满足集合的足集合的特性特性【如演示如演示1（1）（）（4）】；如果是集合与集合关系，如果是集合与集合关系，则根据子集、真子集与相等的概念来判断根据子集、真子集与相等的概念来判断【如演示如演示1（2）（）（3）（）（5）（）（6）】.解解题方法方法中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导练习练习用适当的符号填空用适当的符号填空用适当的符号填空用适当的符号填空.（1 1）；（2）；）；（3）；）；（4）；）；（5）；（6）中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导演示演示演示演示写出集合写出集合写出集合写出集合 的所有子集和真子集的所有子集和真子集的所有子集和真子集的所有子集和真子集.由子集与真子集的概念可知，除空集外，集合由子集与真子集的概念可知，除空集外，集合的子集、真子的子集、真子集与非空真子集的元素必需是集与非空真子集的元素必需是，据此按，据此按规律写出所有的子集、真律写出所有的子集、真子集与非空真子集子集与非空真子集分析分析中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导集合集合的所有子集为：的所有子集为：，；集合的所有真子集为：集合的所有真子集为：，；集合的所有非空真子集为：集合的所有非空真子集为：解解，.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导写出有限集合的子集与真子集的常写出有限集合的子集与真子集的常规方法是已知有限集合的部分或全部元方法是已知有限集合的部分或全部元素素组成的新集合即成的新集合即为此有限集合的所有子集，但写出子集的此有限集合的所有子集，但写出子集的过程中，程中，应从空从空集开始，分集开始，分别有有规律地律地选取一个元素、二个元素取一个元素、二个元素直到本身直到本身为止止上述所有子集，除了本身其余的集合即上述所有子集，除了本身其余的集合即为有限集合的真子集，再除掉空有限集合的真子集，再除掉空集，余下的即集，余下的即为非空真子集非空真子集解解题方法方法中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导练习练习已知：已知：已知：已知：，写出满足条件的所有集合，写出满足条件的所有集合，写出满足条件的所有集合，写出满足条件的所有集合.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导1.用适当的方法表示下列集合用适当的方法表示下列集合.（1）大于等于）大于等于且小于且小于的整数集；的整数集；（2）绝对值不小于的数；）绝对值不小于的数；（3）全体偶数构成的集合；）全体偶数构成的集合；（4）直角平面坐标中第一象限的点集）直角平面坐标中第一象限的点集2.用适当的符号用适当的符号填空填空.（1）；（2）；巩固练习巩固练习中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导（3）；（4）；（5）；（6）.3.写出集合满足写出集合满足的集合的集合.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导第二节集合的基本运算第二节集合的基本运算知识解读知识解读知识解读知识解读实操演练实操演练实操演练实操演练巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导一、交集一、交集一、交集一、交集对于对于 、两个给定的集合，由既属于两个给定的集合，由既属于 又属于的所有公共元素所构成的集又属于的所有公共元素所构成的集合，叫做合，叫做 、的的交集交集，记作，即，记作，即 .知识解读知识解读由交集的定义可知：由交集的定义可知：；若若 ，则，则 中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导二、并集二、并集二、并集二、并集对于对于 、两个给定的集合，两个给定的集合，把它们所有的元素合并在一起构成的集合把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做，叫做、的的并集并集，记作，即，记作，即 .由交集的定义可知：由交集的定义可知：；若若 ，则，则 中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导三、补集三、补集三、补集三、补集在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某一给定集合的子集，那在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为这些集合的么称这个给定的集合为这些集合的全集全集，通常用，通常用 表示表示如果如果 是全集是全集 的一个子集，由的一个子集，由 中的所有不属于中的所有不属于 的元素构成的集合，的元素构成的集合，叫做叫做 在在 中的补集，记作，即中的补集，记作，即 由补集的定义可知：由补集的定义可知：；，中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导为了集合运算了集合运算简便，常用公式便，常用公式：；.评析析中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导演示演示设全集设全集，求求，.由交集、并集和由交集、并集和补集的概集的概念来求念来求分析分析实操演练实操演练中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导解解因为因为，所以，所以，又因，又因，所以，所以，或或中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导求数集的求数集的交集交集的常的常规方法是求两个集合的公共元素；方法是求两个集合的公共元素；求数集的求数集的并集并集的常的常规方法是求两个集合的所有元素，重方法是求两个集合的所有元素，重复的元素只写一次；复的元素只写一次；求一个集合的求一个集合的补集集的常的常规方法是全集中除了方法是全集中除了该集合元素集合元素所剩余的元素所剩余的元素.解解题方法方法中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导练习练习设全集，设全集，设全集，设全集，求；求；求；求；.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导演示演示演示演示设全集求设全集求设全集求设全集求，.借助数借助数轴可求得集合的交、并、可求得集合的交、并、补集集分析分析中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导解解图图图图图图图图，（如图所示），（如图所示），（如图所示），（如图所示），（如图所示），（如图所示），（如图所示），（如图所示）中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导 常利用数常利用数轴求不等式的解集的交集、并集与求不等式的解集的交集、并集与补集集不等式解集的不等式解集的交集交集就是数就是数轴上表示两个集合的两条上表示两个集合的两条线重叠覆盖的区重叠覆盖的区间部分；部分；不等式解集的不等式解集的并集并集就是数就是数轴上表示两个集合的所有上表示两个集合的所有直直线覆盖的区覆盖的区间部分；部分；不等式解集的不等式解集的补集集就是数就是数轴上无上无线覆盖的区覆盖的区间部分部分.解解题方法方法在写出交集、并集与在写出交集、并集与补集的集的过程中需要注意程中需要注意端点端点是否包括是否包括注意注意中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导练习练习设全集设全集设全集设全集 ，求求求求，及，及，及，及.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导演示演示演示演示已知全集已知全集已知全集已知全集，由由补集的性集的性质可得可得，故，故且且，即可求出，即可求出值分析分析，求，求，求，求.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导解解首先根据首先根据补集的性集的性质（）及集合相等的概念）及集合相等的概念建立方程或方程建立方程或方程组，然后解，然后解这个方程或方程个方程或方程组，便可确定集合，便可确定集合中未知的元素中未知的元素.解解题方法方法，解得解得.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导练习练习已知全集，已知全集，已知全集，已知全集，求求求求.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导演示演示演示演示4 4已知集合，已知集合，已知集合，已知集合，求求求求.解解中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导求二元一次方程的交集的常求二元一次方程的交集的常规方法是求由二元一次方程构成方法是求由二元一次方程构成的方程的方程组的解集的解集解解题方法方法中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导练习练习4 4已知全集已知全集已知全集已知全集，求求求求.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导1.设全集设全集，求求，.2.已知全集，设已知全集，设，求求，.3.已知全集已知全集，设，设，求，求，.巩固练习巩固练习4.已知全集已知全集，求求.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导5.已知集合已知集合，求求.6.如右如右图所示，所示，用交集、并集、补集表示图中的阴影部分用交集、并集、补集表示图中的阴影部分.7.设，方程设，方程，且，且，求求.第题中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导第三节充要条件第三节充要条件知识解读知识解读知识解读知识解读实操演练实操演练实操演练实操演练巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导一、充分条件与必要条件一、充分条件与必要条件一、充分条件与必要条件一、充分条件与必要条件如果条件如果条件成立能推出结论成立能推出结论成立，就说条件成立，就说条件是结论是结论的的充分条件充分条件，记作，记作，读作，读作“推出推出”知识解读知识解读如果结论如果结论成立能推出条件成立能推出条件成立，就说条件成立，就说条件是结论是结论的的必要条件必要条件，记，记作作，读作，读作“推出推出”.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导二、充要条件二、充要条件二、充要条件二、充要条件如果，且，那么就说是的充分且必要条件，简称如果，且，那么就说是的充分且必要条件，简称充充要条件要条件，记作，记作如果如果是是的充要条件，那么的充要条件，那么也是也是的充要条件；的充要条件；评析析是是的充要条件，又常常的充要条件，又常常说成成当且当且仅当当，或，或与与等价等价.以上三句表以上三句表示的是同一个意示的是同一个意义.如果如果，那么，那么.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导演示演示演示演示 用充分条件、必要条件、充要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件填空.（1）是是的的；（2）是是的的；（3）是）是的的；（4）是）是的的；（5）两个三角形的三组对边成比例是两个三角形全等的）两个三角形的三组对边成比例是两个三角形全等的；实操演练实操演练中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导答案答案（1）由条件由条件“”成立能推出成立能推出“”成立，并且由结论成立，并且由结论“”成立也能推出成立也能推出“”，所以应填，所以应填充要条件充要条件；（2）等价于等价于或或，等价于等价于且且，由，由条件条件“”成立不能推出结论成立不能推出结论“”，而由结论，而由结论“”成立能推出条件成立能推出条件“”成立，所以应填成立，所以应填必要条件必要条件；（3）由条件由条件“”成立能推出结论成立能推出结论“”，但由结论，但由结论“”成立成立不能推出条件不能推出条件“”成立，所以应填成立，所以应填充分条件充分条件；中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导（4）由条件由条件“”成立能推出结论成立能推出结论“”成立，而成立，而等价于等价于或或，由结论，由结论“”成立不能推出条件成立不能推出条件“”成立，所以应填成立，所以应填充充分条件分条件；（5）根据三角形全等的判定定理与性质定理可知，由条件根据三角形全等的判定定理与性质定理可知，由条件“两个三角形的三组两个三角形的三组对应边成比例对应边成比例”不能推出结论不能推出结论“两个三角形全等两个三角形全等”成立，但由结论成立，但由结论“两个三角形两个三角形全等全等”成立能推出条件成立能推出条件“两个三角形的三组对应边成比例两个三角形的三组对应边成比例”，所以填，所以填必要条件必要条件中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导如果由条件如果由条件成立能推出成立能推出结论成立，但由成立，但由结论成立不能推出条件成立不能推出条件成立，那么条件成立，那么条件就是就是结论的的充分条件充分条件；如果由如果由结论成立能推出条件成立能推出条件成立，但由条件成立，但由条件成立不能推出成立不能推出结论成立，那么条件成立，那么条件就是就是结论的的必要条件必要条件；如果由条件如果由条件成立能推出成立能推出结论成立，且由成立，且由结论成立能推出条件成立能推出条件成立，那么条件成立，那么条件就是就是结论的的充要条件充要条件解解题方法方法中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导练习练习 用充分条件、必要条件、充要条件或既非充分也非必要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件或既非充分也非必要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件或既非充分也非必要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件或既非充分也非必要条件填空.（1）是是的的；（2）是是的的；（3）方程）方程是有实数解是判别式是有实数解是判别式的的；（4）是）是的的；（5）有一内角为直角的平行四边形是矩形的）有一内角为直角的平行四边形是矩形的；中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导演示演示演示演示 已知已知已知已知 是是是是 的必要条件，的必要条件，的必要条件，的必要条件，是是是是 的充要条件，的充要条件，的充要条件，的充要条件，是是是是 的充的充的充的充分条件，求分条件，求分条件，求分条件，求 与与与与 的关系的关系的关系的关系.根据已知可得根据已知可得解解 ，.即即是是的充分条件，的充分条件，是是的必要条件的必要条件中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导 根据已知条件及充分条件、必要条件与充要条件的概念，并采用根据已知条件及充分条件、必要条件与充要条件的概念，并采用递推的方式可推的方式可判断两个命判断两个命题的关系的关系解解题方法方法中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导练习练习 已知已知已知已知 是是是是 的充分条件，的充分条件，的充分条件，的充分条件，是是是是 的必要条件，的必要条件，的必要条件，的必要条件，是是是是 的充的充的充的充要条件，求要条件，求要条件，求要条件，求 与与与与 的关系的关系的关系的关系.中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导1.用充分条件、必要条件、充要条件填空用充分条件、必要条件、充要条件填空.（1）是是的的；（2）是是的的；（4）且是）且是的的；（3）是是的的；巩固练习巩固练习中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导（5）两个三角形的两组对角相等是两个三角形全等的）两个三角形的两组对角相等是两个三角形全等的；（6）是直线是直线和直线和直线垂垂直的直的；2.已知已知是是的必要条件，的必要条件，是是的充要条件，的充要条件，是是的充分条件，求的充分条件，求与与的关系；的关系；中中职毕业升学考升学考试数学复数学复习指指导结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！62