流体力学教学资料[1]课件

第五章 可压缩流体的一元流动 第一节 可压缩气体一元定常流的基本公式当气体流动的速度或者物体在气体中的运动速度接近或者超过声速时，流动的物理特征会有本质性的改变，而气体的压缩性质则在其中起着关键性的作用。在这种情况下研究气体的流动就必须考虑其压缩性的影响，采用可压缩流体的模型。在可压缩气体运动时，其压强、温度和密度等参数同时发生变化，流体宏观运动的机械能与反映流体分子热运动水平的内能相互转换，但是其总能量却保持守恒，因此，可压缩气体的运动还遵循能量守恒（热力学第一）定律。流体力学教学资料11状态方程完全气体近似对于工程中常见的低密度或中等密度气体是有效的，空气通常可以被当成完全气体。R -气体常数,对于空气2连续性方程对于一元定常流动,积分形式的连续性方程为uA=C3运动方程质量力与流体的密度成正比。由于气体的密度很小，所以在一般的气体动力学问题中都可以不考虑质量力的影响流体力学教学资料1对于一元定常流动,理想流体的运动方程为：4热力学常数单位质量气体的温度升高1 K所需的热量称为比热容比热容。如果假设气体体积不变，在加热过程中仅压强发生变化，此时的比热容称为等容比热容等容比热容，记为 Cv，其表达式为：式中q为热量。下标“v”表示加热过程中体积为常数。流体力学教学资料1如果假设压强不变，加热过程中仅体积发生变化，此时的比热容称为等压比热容等压比热容，记为 Cp，表达式为：下标“p”表示加热过程中压强为常数。对于完全气体，Cv和Cp都是常数，两者之比称为比热比热容比容比或者绝热指数绝热指数。5热力学第一定律热力学第一定律也是能量守恒定律。该定律指出，当热能与其他形式的能量进行转换时，能量的总量保持恒定。对于平衡态的热力学系统（特定质点组成的气体团），能量守恒关系可以被表示为：流体力学教学资料1加入系统的热能=系统内能的增加+系统对外界所作的功式中q是单位质量气体所获得的热能热能，e为单位质量气体的内能内能，1/是单位质量气体的体积，pd(1/)是单位质量流体在变形过程中对外界所作的功。内能e可被表示为：流体力学教学资料1定义单位质量气体的焓焓h为内能e与压强势能p/之和:焓的值描述了气体做功的能力。利用状态方程以及内能的表达式，不难得到:由热力学第一定律:流体力学教学资料1在绝热流动的条件下q=0，上式积分得到能量方程的表达式:这就是一元定常绝热流动的能量方程一元定常绝热流动的能量方程，它的物理意义是：在绝热流动中，单位质量气体的压强势能、内能和动能之和保持不变。这个结论对于有粘性摩擦和无粘性摩擦的绝热流动都是正确的。流体力学教学资料1应用表达式:并引用状态方程，还可以把能量方程表示为:流体力学教学资料1例 贮气罐内的空气温度为T0=27。罐内空气经一管道绝 热地流出到温度为T=17 的大气中，求管道出口的气 流速度u。解:流动是绝热的，其参数变化满足绝热能量方程。罐内气体速度近似为零，因此对于管道的出口截面和进口截面，能量表示为：其中T0=273+27=300K是罐内气体的温度，T=273+17=290K是出口温度。对于空气流体力学教学资料16等熵关系式定义单位质量气体的熵熵S的增量为：q不是状态的函数，它与热力学过程有关，因此q不是全微分。绝热过程的熵变化不能简单地由 q/T直接积分给出结果。流体力学教学资料1熵值不发生变化的热力学过程称为等熵过程等熵过程流体力学教学资料1等熵过程等熵关系式绝热，无摩擦气体流动是等熵过程流体力学教学资料1利用状态方程，等熵关系式可以得到气体等熵流动 状态 1-2 的关系等熵关系式流体力学教学资料1利用状态方程带入得到：还可以得到：流体力学教学资料1气体在绝热的可逆过程中不发生熵的变化。例如，当管壁与管内气体之间通过热传导传递的热量不足以对流动造成显著影响时，可以认为流动是绝热的；又当气体的粘性效应可以忽略，没有运动机械能转换为热能，则流动过程又是可逆的。同时满足绝热绝热和可逆可逆两个条件的流动就是等熵等熵流动。气体等熵流动 状态 1-2 的关系流体力学教学资料1求得例：已知流体力学教学资料1例：大容器出流，求出口速度，压强，密度已知：求 ：出口速度，压强，密度流体力学教学资料1能量方程部分热能转化为机械能流体力学教学资料1等熵气流公式流体力学教学资料1驻点例：在物体上游某处，已知求：驻点的压强，温度，密度等熵流动能量方程动能转化为热能和压强能流体力学教学资料1 第二节 微弱扰动波的传播 声速分析小扰动在可压缩流体中的传播，并引进两个在可压缩流体流动问题中非常重要的物理参数：声速声速和马赫数马赫数。1声波及声速声音声音实际上是发声器的振动在空气中所引起的微弱扰动微弱扰动，声音的传播就是微弱扰动以波的形式在空气中的传播。声(音)波 -微弱的压力(密度)扰动波。声(音)速 -声(音)波在流体中的传播速度。声速是微弱压力(密度)扰动波的传播速度，不是流体质点本身的运动速度。流体力学教学资料1在静止流体中，扰动波向各个方向的传播速度相同，从而形成圆球形的波面波面。假设在无限长的等截面管道中充满静止的可压缩气体，其压强、密度和温度分别为 p、T。管右端有一个活塞，此活塞突然以一个微小速度u向左运动。cp1up2yxcc-up11T1p2=p1+dp2=1+dT2=T1+dT流体力学教学资料1cp1up2yxcC-up11T1p2=p1+dp2=1+dT2=T1+dT连续性方程动量守恒方程略去小量比较两式得到流体力学教学资料1略去小量后 当流体压缩性小时，声速大；当流体压缩性大时，声速小，所以声速的大小也直接反映了流体的可压缩程度。如果流体是不可压缩的，则 ，此时声速趋向于无穷大。这说明，在研究声波的传播时是不能忽略流体压缩性的。流体力学教学资料1 牛顿(1687)年认为声音在空气中传播是等温过程，所得到的计算值比自己的实测值小17%左右。拉普拉斯1816年提出声音的传播是等熵过程，从而导出了正确的声速计算公式。在等熵条件下流体力学教学资料1例如，在 10C 的空气中，声速为 337 m/s；在 30C 的空气中，声速为 349 m/s。对于空气 ，能量方程还可以用音速表示为能量方程流体力学教学资料1气体质点的速度 u 与当地声速 c 的比值为马赫数马赫数，记为 Ma2声波及声速音速是小扰动在气流中的传播速度c与气流的实际速度u不同。“马赫数”为纪念奥地利物理学家马赫(E.Mach)而命名，它是一个无量纲的参数。它的值是判断压缩性对流动影响大小的重要指标，因此它在气体动力学中是一个非常重要参数。根据马赫数的大小,可压缩流动可以被分为三种类型:亚音速流动跨音速流动超音速流动流体力学教学资料1点扰动产生的扰动波在无界静止的可压缩流体中传播时，其波面是球面。可以分四种情况讨论以速度u行进的点扰动源的影响区域。u=0，扰动源不动。这时，点扰动所发出的扰动波的波面是一族同心的球面，扰动可以传遍整个流场空间。图中的圆点分别表示四个不同时刻（间隔时间t）扰动源到达的位置，扰动源在每一个位置都会发出一个球面波。以前各个时刻发出的球面波半径分别为3ct、2ct、ct。0流体力学教学资料1扰动源一边运动，一边发生压强小扰动，如飞机，汽车。u c，扰动源以超声速向右移动。此时受扰区限制在一个圆锥面内，扰动波只在此圆锥内传播，这个圆锥也称为马赫赫锥。马赫锥的顶点就是扰动源的位置，它的母线称为马赫线马赫线或马赫波马赫波，它的半顶角又称为马赫角马赫角。马赫角：流体力学教学资料1马赫锥外面的气体不受扰动的影响，故马赫锥外部区域称为寂静区。亚声速流和超声速流的基本差别之一是，在亚声速流动中，微弱扰动可以传遍整个流场空间，而在超声速流动中，扰动只能在马赫锥内部传播。流体力学教学资料1例例 子弹在15C的大气中飞行，已测得其头部马赫角为40，求子弹的飞行速度。解解流体力学教学资料1对于定常一维流动，运动方程可以写为 流体力学教学资料1 在等熵流动中，气流速度的相对变化所引起的密 度相对变化量与 Ma 2 成正比。当马赫数很小时，速度的相对变化只能引起很小 的密度相对变化，当马赫数很大时，则会引起很 大的密度相对变化。气流的压缩性与马赫数的大小密切相联。流体力学教学资料1 第三节 一元等熵流动的基本关系可压缩气体作一元等熵流动时，其能量方程描述了气流速度u与温度T之间的关系，当速度变大，温度则会随之变小。压强p和密度也会随速度发生改变。能量方程可以用某一个参考状态的函数值表示。一般选取滞止状态、临界状态和最大速度状态作为参考状态1滞止状态滞止状态是流体速度为零的热力学状态。滞止状态的参数值用下标“0”表示，如滞止压强、滞止密度、滞止温度和滞止声速分别被表示为p0、0、T0和c0。滞止状态临界状态最大速度状态流体力学教学资料1能量方程由于 cpT0 就是总能量，所以T0也称为总温。滞止状态与一般状态的关系流体力学教学资料1对于等熵流动绝热流动的总温不变，滞止压强与滞止密度之比不变，但是滞止压强和滞止密度是可以同时变化的。只有在等熵流动中，滞止压强和滞止密度才保持不变。流体力学教学资料1低速气流,近似不可压缩气体可压缩气体气体的压缩性与气流速度有关，速度越大，越容易压缩马赫数不但表示气流速度大小，还表示气流的压缩性流体力学教学资料1例例 一维等熵空气气流某点流动参数为：u=150 m/s，T=288 K,p=1.3105 Pa，求此气流的滞止参数p0、0、T0 和 c0。解解 空气 ，所以流体力学教学资料12临界状态当气流速度u等于当地声速c，即Ma=1时，气流处于临界状态。临界状态下的参数又称为临界参数临界参数，以下标“*”号表示，如临界压强、临界密度、临界温度和临界声速分别被表示为 p*、*、T*、u*和c*。能量方程u*=c*临界状态与滞止状态的关系流体力学教学资料1绝热指数是个常数，临界参数与相应的滞止参数之间有确定的比值，所以流体的总能量不仅可以用滞止参数表示也可以用临界参数表示。定义流体流动速度与临界临界声速之比为速度系数速度系数，记为。或者 流体力学教学资料1或者 流体力学教学资料1对于亚声速流动：，；对于声速流动：，；对于超声速流动：，。当 Ma ，Ma流体力学教学资料1流体力学教学资料1例例 空气在管道中作绝热无摩擦流动，已知某截面上流 动参数为T=333 K，p=207 kPa，u=152 m/s，求 临界参数 T*、p*、*。解解 绝热无摩擦流动就是等熵流动。先求马赫数，再求 T*、p*、*。对于空气，。流体力学教学资料1流体力学教学资料13最大速度状态最大速度状态最大速度状态是温度降至绝对零度，气流速度达到最大值时一种极限状态。最大速度记为umax。当气流达到这一极限状态时，气体的焓全部转化为动能。能量方程流体力学教学资料1不考虑质量力，伯努利方程为现在考虑流体的压缩性，分析不同马赫数情况下它的误差。伯努利方程是在忽略压缩性的前提下推导的。流体力学教学资料1在马赫数较低时，,可将上式展开为无穷级数，忽略流体压缩性则相当于忽略括号中-部分。当 Ma 0.2，采用不可压缩伯努利方程计算压强所产生的相对误差小于约 1%。例例 当 Ma=0.2流体力学教学资料1 马赫数确实可以被作为判断气体压缩性大小的 指标，对于 Ma 0.2 的低速气流，通常可以忽 略气体的压缩性。流体力学教学资料1例：一维等熵气流，某状态 1状态 2求：能量方程流体力学教学资料1 第四节 一元等熵气流在变截面管道中的流动管道截面积的变化、管壁粘性摩擦及壁面的热交换都会对可压缩流动发生影响。首先考虑截面积变化的影响，忽略摩擦效应和热交换两个因素。1管道截面积变化对流动的影响一元等熵气流在管道中做定常运动时，截面积的变化必然引起截面上平均速度的变化，同时截面上的压强、密度和温度也随之发生改变。取x轴与管道中心轴线相重合，它的正方向与流动方向相同。管道截面积和速度、压强、密度、温度等气流参数都是x的函数。xVA(x)流体力学教学资料1连续性方程：a管道截面积变化对速度的影响xVA(x)声速计算公式：流体力学教学资料1密度的相对变化：运动方程：流体力学教学资料1该式描述了气流速度随通道截面积变化的规律。下面按照不同的马赫数范围分别讨论。(1)亚声速流动 Ma 1 du 和 dA 符号相同，当 A 增大，则 u 增大；当 A 减小，则 u 减小。流体力学教学资料1(3)声速流动 Ma =1必有 dA=0声速流动只有可能出现在管截面积的极小处。流体力学教学资料1超声速气流与亚声速气流在物理上有着本质的区别，它们在变截面管道中的速度变化规律完全相反。亚声速气流在收缩管中作加速运动，但其极限值是 声速，在扩散管中作减速运动。这与不可压缩流体 管道流动的变化趋势相同。超声速气流在收缩管中作减速运动，在扩散管中作 加速运动。这与不可压缩流体管道流动的变化趋势 相反。声速流动只有可能出现在管截面积的极小处(喉部)。如果要把亚声速气流加速到超声速，只能采用缩放 管；在收缩段亚声速气流加速，并在管喉部达到声 速，随后，气流进入扩散段后继续加速，从而达到 超声速。流体力学教学资料1b管道截面积变化对密度、压强和温度的影响流体力学教学资料1dp、d 和 dT 都与 du 的符号向反。Vp、Tu流体力学教学资料1c管道截面积与气流马赫数之间的关系变截面管道中的任意两个截面，由连续性方程：由等熵关系式：流体力学教学资料1以上，下标“1”和“2”分别代表变截面管道流中（不同截面上）的任意两个状态。通常在关系式中使用一个指定的参考状态，而另一个状态可以是任意的。现在把临界状态作为参考状态,设Ma1=1，于是A1=A*；再设任意状态Ma2=Ma，A2=A。于是：流体力学教学资料1A/A*Ma当Ma=1时，A=A*;当Ma1时，扩散管Ma随A增大而增大，收缩管Ma随A减小而减小。对于任意一个面积比A/A*，有两个马赫数Ma与之对应，一个是亚声速，另一个是超声速。对于任意的Ma总是有A/A*1。这也说明，如果管道流中存在着临界状态，它必然出现在管道截面积为最小处。流体力学教学资料12喷管的质量流量考虑气体由高压容器经喷管的出流。通常容器的截面积都远大于喷管截面积，因此容器内的气体运动可以被忽略，于是可以认为，容器内的气体处于滞止状态。设T0为容器内的气体温度，也就是滞止温度，u和T为喷管任意一截面上的气流速度和压强。由能量方程得到出口速度流体力学教学资料1质量流量：质量流量是压强比的函数。流体力学教学资料1求质量流量的极大值：出口截面上气流为临界状态时喷管流量达到最大。3收缩喷管设收缩喷管出口截面的面积和压强分别为Ae和pe，质量流量：滞止压强p0不变，质量流量Qm随着出口截面压强pe的减小而增大，但是其增长是有限度的，在dQm/dpe=0时达到最大值。流体力学教学资料1收缩管中的亚声速气流沿流动方向速度逐渐增大，压强逐渐减小，所以速度和压强在出口截面(也就是最小截面)上分别达到最大和最小值，极限最大和最小值就是声速和临界压强。背压 pb -出口外的环境压强 对于不可压缩流体，对于可压缩流体，当 pb p*时，pe=pb，出口截面上的流速小于音速；当 pb p*/p0，出口截面流动还未达到临界状态，所以流体压强等于背压，即 pe=pb。流体力学教学资料1容器内气体密度 出口截面流体速度为流体力学教学资料1当 pb=100 kPa，pb/p0=0.5 p*/p0，出口截面流动已达到临界状态，所以流体压强等于临界压强，即 pb=p*。流体力学教学资料1例例 空气在收缩喷管做等熵流动，已知某截面流体压强、温度和马赫数分别为 p1=400 kPa、T1=280 K 和 Ma1=0.52，截面积为 A1=10 cm2，出口背压为pb=200kPa。求喷管出口截面上的气流马赫数及质量流 量。解解 为判断背压是否小于临界压强，先由截面 A1的流动 参数求滞止参数。流体力学教学资料1出口截面上已达到了临界状态，所以马赫数为 Ma=1。由截面 A1 的流动参数算出质量流量：流体力学教学资料14缩放喷管缩放喷管又称为拉伐尔喷管拉伐尔喷管，用于将亚声速气流加速为超声速气流，它由收缩段、喉部及扩散段三部分组成x55设入口截面压强为 p0。当背压等于 p0，没有流动，压强曲 线为曲线 1。稍微减小背压，出现亚声速流动，压强及马赫数沿曲线 2 变化。再减小背压，气流速度增大，在喉 部达到声速。进入扩散段后仍然为 亚声速，流动减速，压强上升，在 出口截面上压强上升为背压。压强 和马赫数沿曲线 3 变化。流体力学教学资料1 继续减小背压，扩散段中出现超声 速流动，亦出现强烈的压缩波(即激 波)。压强和马赫数沿曲线 4 变化。气流通过激波时，压强和马赫数沿 曲线 5突然上升和下降，成为声速。在出口截面上压强达到背压。再减小背压，激波向管口移动，移出 管口后，又在管口外形成斜激波，并 斜激波也最终消失。在收缩段为亚 声速，在扩散段流动为超声速，管 内不出现激波，而且出口截面压强 刚好等于背压，压强和马赫数沿图 中曲线 4变化。这是一种理想的流 动状态，也称为设计工况。x55流体力学教学资料1 进一步减小背压，管中的流动状态不 会被改变，压强和马赫数仍然沿曲线 4 变化，但是出口截面压强却大于背 压，气体流出管口后还要经历一个 膨胀过程，使压强最终下降到背压。x55流体力学教学资料1解解 管内为亚声速流，出口压强等于背压：利用喉部和出口的质量流量相等的条件确定喉部面积A1，所以首先要计算出口截面的参数。例例 空气在缩放管内流动，气流的滞止参数为p0=106 Pa ，T0=350 K，出口截面积 Ae=10 cm2，背压为 pb=9.3105 Pa。如果要求喉部的马赫数达到Ma1 =0.6，试求喉部面积A1。流体力学教学资料1确定喷管喉部气流参数及喉部截面积：流体力学教学资料1解解 首先确定出口截面上气流各参数和出口截面积：要求喷管在设计工况下工作，出口截面上气流压强等于背压，即例例 过热蒸气在喷管中做等熵流动，气体物理参数为 ，。已知气流滞止压强和滞 止温度分别为 p0=28105 Pa 和 T0=773 K，出口外 背压为 pb=7105 Pa。若要求质量流量为Qm=8.5 kg/s，确定其余气流参数和管道参数。流体力学教学资料1确定喷管喉部气流参数及喉部截面积：流体力学教学资料1 第五节 有摩擦和热交换的一元流动针对一元管道流动讨论壁面摩擦和热交换对可压缩气流的影响，将首先推导可压缩气体有摩擦和热交换的一元定常运动的基本方程，然后分别讨论绝热有摩擦一元气流的特性和有热交换无摩擦一元气流的特性。1有摩擦和热交换的一元定常运动基本方程在有摩擦一元定常管道流动中取控制体，设管道在该处的横截面积为A=D2/4，D为管径，壁面摩擦切应力为w，控制体的长度为dx。对于控制体，列出一元定常运动的动量方程：uuxDdxAuwwp流体力学教学资料1一元定常运动的动量方程：或uuxDdxAuwwp流体力学教学资料1有摩擦的运动方程无热量交换能量方程：有热量交换能量方程：流体力学教学资料1状态方程：流体力学教学资料1 绝热(q=0)，无摩擦(=0)：绝热(q=0)，等截面(dA=0)：等截面(dA=0)，无摩擦(=0)：流体力学教学资料12等截面管道中的绝热有摩擦流动 工程上也把等截面管道中绝热有摩擦的流动称为范诺范诺（Fanno）流动。把 du/u 用马赫数表示：亚音速：Ma 1，du 与 dx 反号，沿流动方向减速，最小为 Ma=1。流体力学教学资料1积分或者Ma1 -入口(x=0)马赫数，Ma2 -管内(x=l)马赫数流体力学教学资料1设出口截面为音速(临界状态)时的管长为 lm，(进口马赫数 Ma1=Ma，出口马赫数 Ma2=1)亚音速流动：当 l lm，在入口产生壅塞；超音速流动：当 l lm，在入口外产生激波，并在 激波后变为亚音速，进入管后为亚 音速，在出口达到音速。流体力学教学资料1等截面绝热有摩擦管流任意两个截面的参数关系推导如下：连续性条件得密度关系：由状态方程得压强关系：流体力学教学资料13等截面管道中的有热交换无摩擦流动 工程上把等截面管道中有热交换的流动称为瑞利瑞利（Rayleigh）流动。亚音速：Ma 1，q 与 du 反号，对加热流，沿流动方向减速。流体力学教学资料1有热交换的等截面无摩擦管流任意两个截面的参数关系推导如下：连续性方程是u=C，用于运动方程dp+udu=0积分得：温度比和密度比：于是有等截面加热管两个状态的压强比：流体力学教学资料1任意两个截面上的滞止温度之比为：流体力学教学资料1