整式的乘法与因式分解

整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解课前预习课前预习1.102103的结果是（）A.104B.105C.106D.1082.计算：(1)x5x;(2)10103106;(3)-b2b3;(4)y3mym+2.3.x6=x4+2=x4;y2=y5.4.若xm=3,xn=2，则xm+n=.B B原式=x6原式=1010原式=-b5原式=y4m+2x2y36 6课堂精讲知识点.同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，因此，我们有即同底数幂相乘，底数不变，指数相加注意：注意：(1)三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用，即(m，n，p都是正整数)(2)不要忽视指数为l的因数(3)底数不一定只是一个数或一个字母(4)注意法则的逆用，即郝是正整数）【例】化简：（1）an+2an+1an（2）a4an1+2an+1a2（3）（xy）2（yx）5解析：本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；（2）先根据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即可；（3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可解：（1）原式=an+2+n+1+n=a3n+3；（2）原式=a4+n1+2an+1+2=an+3+2an+3=3an+3；（3）原式=（xy）2（xy）5=（xy）7课堂精讲变式拓展1.下列各式中，正确的是（）Aa4a2=a8Ba4a2=a6Ca4a2=a16Da4a2=a2B2.计算：（1）（6）763；（2）（ab）（ba）4（3）an+1a3+ana4；（4）a2（a）3a+a4（a）2原式=6763=610；原式=（ab）（ab）4=（ab）5原式=an+1a3+ana4=an+4+an+4=2an+4原式=a2（a）3a+a4（a）2=a6+a6=0随堂检测1.计算（m）2m3的结果是（）Am5Bm5Cm6Dm62.在等式x2x5（）=x11中，括号里的代数式应为（）Ax2Bx3Cx4Dx53.下列运算错误的是（）Ax2x4=x6B（b）2（b）4=b6Cxx3x5=x9D（a+1）2（a+1）3=（a+1）5BB4.xm+nxmn=x10，则m=5.已知：2x=4，2y=8，求2x+y6.计算：（1）255525253；5解：2x=4，2y=8，2x+y=2x2y=48=32解：255525253=525525253=5555=0（2）（mn）2（nm）2（nm）4（3）（x-y）（y-x）2（x-y）3-（y-x）6解：原式=（nm）2（nm）2（nm）4=（nm）8解：（x-y）（y-x）2（x-y）3-（y-x）6=（x-y）（x-y）2（x-y）3-（x-y）6=（x-y）6-（x-y）6=014.1.2幂的乘方课前预习课前预习1.(103)4=();(x2)5=()2.(xm)n=();(a3)na2=()3.(-32)2=();(-x2)3=()4.(32)5等于（）A.310B.37C.152D.655.(x3)2(x2)3等于（）A.x10B.x25C.x12D.x361012x10 xnma3n+234-x6A AC C课堂精讲知识点.幂的乘方（1）幂的乘方的意义幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如(a5)3是三个a5相乘，读作n的五次幂的三次方，(am)n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方.（2）幂的乘方法则一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，因此，我们有即幂的乘方，底数不变，指数相乘提示：(1)此法则可推广为(m，n，p都是正整数)(2)此法则可以逆用：(m，n都是正整数)【例【例1】（x4）2等于（）AX6BX8CX16D2x4解析：解析：根据幂的乘方等于底数不变指数相乘，可得答案解：解：原式=x42=x8，答案：答案：B【例【例2】计算：x2（x4）9解析：首先计算幂的乘方，然后计算同底数的幂的乘法即可求解解：原式=x2x36=x38课堂精讲变式拓展1.（2015青浦区一模）下列各式中与（-a2）3相等的是（）Aa5Ba6C-a5D-a62.计算：（1）（x2）3（x3）5；（2）（a2）3（a3）4.D（x2）3（x3）5=（x6）（x15）=x21（a2）3（a3）4=（a6）a12=a18随堂检测1.计算（a3）2的结果是（）Aa6Ba6Ca8Da82.（2015黄浦区二模）计算：（a2）2=.3.93=3m，则m=4.计算：（a5）5（a）25.计算：（-x6）2（-x2）3x5Aa46解：原式=a25a2=a27解：原式=（-1）2x62（-1）3x23x5=-x12+6+5=-x2314.1.3积的乘方课前预习课前预习1.(ab)2=;(ab)3=.2.(a2b)3=;(2a2b)2=;(-3xy2)2=.3.下列计算中正确的是（）A.(xy)3=xy3B.(2xy)3=6x3y3C.(-3x2)3=27x5D.(a2b)n=a2nbn4.如果(ambn)3=a9b12，那么m,n的值等于（）A.m=9,n=4B.m=3,n=4C.m=4,n=3D.m=9,n=6a2b2a3b3a6b34a4b29x2y4D D课堂精讲知识点.积的乘方（1）积的乘方的意义积的乘方是指底数是乘积形式的乘方如(ab)3，(ab)n等（ab）3=（ab）（ab）（ab）（积的乘方的意义）=（aaa）(bbb)（乘法交换律、结合律）=a3b3（2）积的乘方法则.一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘注意：注意：(1)三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质例如(abc)n=anbncn（n为正整数）(2)此法则可以逆用：anbn=(ab)n(n为正整数)【例1】（2015滨海县一模）计算（2x2y）3的结果是（）A8x6y3B6x6y3C8x5y3D6x5y3解析：解析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行运算即可解：解：（2x2y）3=8x6y3答案：答案：A【例2】计算：（1）a3（b3）2+（2ab2）3（2）（2）（a2b3）23a2解析：解析：本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解答本题的关键解：（解：（1）原式=a3b68a3b6=7a3b6（2）（a2b3）23a2=a12b18a2=a14b18课堂精讲变式拓展1.计算：(1)(a2b)5;(2)(-pq)3;(3)(-a2b3)2.2.下列计算正确的是（）A.(ab3)2=a2b6B.(3xy)2=6x2y2C.(-2a3)2=-4a6D.(-x2yz)3=-x6yz3原式=a10b原式=-p3q3原式=a4b6A随堂检测1.计算（3a3）2的结果是（）A.3a6B.3a6C.9a6D.9a62.若（ambn）2=a8b6，那么m22n的值是（）A10B52C20D323.化简：（a2b3）3=4.计算：（2x）3（3xy2）25.计算：（2m2n2）23m3n3DAa6b9原式=8x39x2y4=72x5y4原式=4m4n43m3n3，=12m43n4+3，=12mn114.1.4 整式的乘法课前预习课前预习1.(-5x)(2x)2=.（）A.-10 x3B.-20 x3C.-10 x3-5xD.10 x32.下列计算正确的是（）A.3x22x3=6x6B.2x3x5=6x5C.3a25a4=15a6D.4x55x4=9x93.计算(-3x)(2x2-5x-1)的结果是（）A.-6x2-15x2-3xB.-6x3+15x2+3xC.-6x2+15x2D.-6x3+15x2-14.(1)(x+2)(x-3)=;(2)(3a-2b)(2a+5b)=.B BC CB Bx2-x-66a2+11ab-10b2课堂精讲知识点1.单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，注意：注意：(1)积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值(2)相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算(3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式丢掉(4)单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用(5)单项式乘单项式的结果仍然是单项式【例1】计算：解析：(1)直接运用单项式乘法法则，把系数、相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.(2)三个单项式相乘，仍然按照系数、相同字母、不同字母三部分分别相乘.(3)含有乘方运算，应先算乘方，再运用单项式乘法法则计算.课堂精讲变式拓展1.计算：(1)(2x2y)3(-4xy2);(2)(4105)(2104)2;(3)9x2y(-2xy3)(-3xz3);(4)(9m2n)(m2n2)(-m3n3).原式=8x6y3(-4xy2)=-32x7y5.原式=(4105)(4108)=161013=1.61014.原式=54x4y4z3.原式=-6m7n6课堂精讲知识点2.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，用式子表示为注意：注意：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式(2)单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项(3)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号(4)对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项时，必须合并，从而得到最简结果.【例2】计算：变式拓展2.计算：(1)(-2a2)ab+b2;(2)x2y-6xyxy2;(3)-x2y(-6x3y7+5x4y4-8x6y2);(4)3ab(6a2b4-3ab+ab2).原式=-a3b-2a2b2原式=x3y3-3x2y3原式=3x5y8-x6y5+4x8y3.原式=18a3b5-9a2b2+a2b3课堂精讲知识点3.多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加用式子表示为注意：注意：(1)运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏为此，相乘时，要按一定的顺序进行例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n(a+b+c)，再用单项式乘多项式的法则展开，即（m+n）(a+b+c)=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积【例3】计算:(1)(x-2)(x-5);(2)(x+2y)(5a+3b-2c);(3)(3a+b)(a-2b)(2a+b).解析：(1)可用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab进行计算;(2)直接运用多项式乘以多项式的法则进行计算;(3)是三个多项式相乘，可以先把其中的两个多项式相乘，把积化简后，再和第三个多项式相乘，注意最后要合并同类项.解：(1)(x-2)(x-5)=x2+(-2)+(-5)x+(-2)(-5)=x2-7x+10;(2)(x+2y)(5a+3b-2c)=x5a+x3b-x2c+2y5a+2y3b-2y2c=5ax+3bx-2cx+10ay+6by-4cy;(3)(3a+b)(a-2b)(2a+b)=(3aa-3a2b+ba-b2b)(2a+b)=(3a2-6ab+ab-2b2)(2a+b)=(3a2-5ab-2b2)(2a+b)=3a22a+3a2b-5ab2a-5abb-2b22a-2b2b=6a3+3a2b-10a2b-5ab2-4ab2-2b3=6a3-7a2b-9ab2-2b3.变式拓展3.计算：(1)(a-2b)(5a+3b);(2)(x+y)(x2-xy+y2);原式=a5a+a3b+（-2b）5a+(-2b)3b=5a2+3ab-10ab-6b2=5a2-7ab-6b2.原式=xx2+x(-xy)+xy2+yx2+y(-xy)+yy2=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.(3)(5x+2y)(3x-2y);(4)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b).原式=5x3x+5x(-2y)+2y3x+2y(-2y)=15x2-10 xy+6xy-4y2=15x2-4xy-4y2.原式=(a2-2ab+ab-2b2)-(a2-ab+2ab-2b2)=a2-ab-2b2-a2-ab+2b2=-2ab.随堂检测1.计算y2（xy3）2的结果是（）Ax3y10Bx2y8Cx3y8Dx4y122.下列计算正确的是（）Ax（x2x1）=x3x1Bab（a+b）=a2+b2C3x（x22x1）=3x36x23xD2x（x2x1）=2x32x2+2x3.计算：（3x1）（2x+1）=BC6x2+x14.计算：（ax2）（2a2x）35.计算：（2a2）（3ab25ab3）原式=ax2（2）3a6x3，=ax2（8）a6x3，=2a7x5原式=6a3b2+10a3b36.计算：（1）（ab2a）（a2b2）；（2）（2m1）（3m2）原式=a3b3+a3b2原式=6m24m3m+2=6m27m+214.1.5 同底数幂的除法课前预习课前预习1.下列计算，结果正确的是()A.x2x=x2B.a3a3=a3-3=0C.(-x)5x3=(-x)2=x2D.(-a)3a2=-a2.108104102=,(-5)755=.D D102-25课堂精讲知识点1.零底数幂的除法法则同底数幂的除法法则：一般地，我们有aman=am-n(aO，m，n都是正整数，并且mn)即同底数幂相除，底数不变，指数相减注意：(1)底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为O，若a为O，则除数为O，除法就没有意义了(2)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：amanap=am-n-p(aO，m，n，p都是正整数，且mn+p)(3)应用这一法则时，必须明确底数是什么，指数是什么，然后按同底数幂的除法法则进行计算(4)同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算【例1】计算：(1)a8a5;(2)(-x)6(-x)3;(3)b2m+2b2m-1;(4)(abc)5(-abc)2.解析：同底数幂相除，直接运用法则计算，底数是互为相反数的应先化为同底，再计算.解：(1)a8a5=a8-5=a3.(2)(-x)6(-x)3=(-x)3=-x3.(3)b2m+2b2m-1=b2m+2-2m+1=b3.(4)(abc)5(-abc)2=(abc)5(abc)2=(abc)3=a3b3c3.课堂精讲变式拓展1.计算：(1)x8x7;(2)(-x4)(-x);(3)a11a11;(4)(-)6()2.原式=x原式=-x3原式=1原式=()4课堂精讲知识点2.零指数次幂(1)零指数幂性质规定的原因.计算：amam.一方面：根据除法的意义，可知amam=1;另一方面：依照同底数幂的除法，又可得amam=am-m=a0.于是规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1.(2)零指数幂的性质.任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a0=1(a0).【例2】若(2a-l)0=1，则()A.a-B.a=0C.aDaO解析：解析：a0=1成立的条件是aO，2a-lO，即a答案：答案：C2.80=;(-5)0=.3.如果(x-3)0=1，则x的取值范围是()A.x3B.x3C.x=3D.x311D随堂检测1.下列各式计算正确的是（）A（a5）2=a7B2x2=C4a32a2=8a6Da8a2=a62.（2015嵊州市一模）下列计算正确的是（）A6a5a=1B.（a2）3=a5Ca6a3=a2Da2a3=a53下列运算正确的是（）A.(2x-3)0=1B.0=0C.(a2-1)0=1D.(m2+1)0=14.计算：（）5（）2=DDD5.若(x-5)0=1，则x的取值范围是6.已知xa=32，xb=4，求xabx5解：xa=32，xb=4，xab=xaxb=324=814.1.6 整式的除法课前预习1.填空：(1)8x34x=;(2)6a2b2ab=;(3)12a3b2x43ab2=.2.计算：-5a5b3c15a4b3的结果是（）A.3acB.-3acC.acD.-ac3.根据(a+b)x=ax+bx，可得出(ax+bx)x=,用同样的方法，计算(4xy2+2x2y)2xy=.2x2x23a4a2x4D Da+b2y+x课堂精讲知识点1.单项式除以单项式单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，注意：注意：(1)法则包括三个方面：系数相除；同底数幂相除；只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式(2)计算结果是否正确，可由单项式乘法验证【例1】计算：(1)12x5y3z(3x4y);(3)(1.2107)(5104).解析：运用单项式与单项式相除的法则计算.解：(1)12x5y3z(3x4y)=(123)x5-4y3-1z=4xy2z.(3)原式=(1.25)107-4=0.24103=2.4102.课堂精讲变式拓展：1.计算：(1)12a4b3c2(-3a2bc2);(2)(2a2b)2(4a3b);(3)(7.2108)(-3.6105).原式=-4a2b2原式=4a4b2(4a3b)=ab原式=-2103课堂精讲知识点2.多项式除以单项式多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.注意：注意：(1)多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号(2)多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项(3)多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验【例2】计算：(1)(16x4-8x3-4x)(4x);(2)(24a3b3c+12a2b3c-6abc)(6abc).解析：运用多项式除以单项式法则计算.解：(1)原式=16x4(4x)-8x3(4x)-4x(4x)=4x3-2x2-1.(2)原式=24a3b3c(6abc)+12a2b3c(6abc)-6abc(6abc)=4a2b2+2ab2-1.2.计算：(1)(0.25a4b3-a4b5-a3b2)(0.5a3b2);(2)(21x3y3-15x2y2)(-3xy);(3)(2x3-3x2y+4xy3)(-2x);(4)(a4b7+a3b8-a2b6)(a2b6).原式=ab-ab3-原式=-7x2y2+5xy原式=-x2+xy-2y原式=a2b+ab2-1随堂检测1.计算2x6x4的结果是（）Ax2B2x2C2x4D2x102.计算（5m2+15m3n20m4）（5m2）结果正确的是（）A13mn+4m2B13m+4m2C4m23mn1D4m23mn3.（2015平定县一模）下列计算正确的是（）Aa3a=a3B（2a+b）2=4a2+b2Ca8ba2=a4bD（3ab3）2=9a2b64.已知一个长方形的面积是x22x，长为x，那么它的宽为5.计算：8x2（2x）=B BD Dx-2x-2-4x-4x6.计算：（1）24a3b23ab2（2）（9x415x2+6x）3x原式=8a3原式=3x35x+214.2 乘法公式14.2.1 平方差公式课前预习课前预习1.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（）A.(x+y)(-x-y)B.(2x+3y)(2x-3z)C.(-a-b)(a-b)D.(m-n)(n-m)2.下列计算正确的是（）A.(2x+3)(2x-3)=2x2-9B.(x+4)(x-4)=x2-4C.(5+x)(x-6)=x2-30D.(-1+4b)(-1-4b)=1-16b2C CD D3.利用公式计算：（1）(x-1)(x+1);（2）1.030.97原式=x2-1原式=(1+0.03)(1-0.03)=1-(0.03)2=1-0.0009=0.9991课堂精讲知识点.平方差公式（1）平方差公式一般地，我们有即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法的）平方差公式（2）平方差公式的特点左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方；公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式归纳：公式(a+b)(a-b)=a2-b2的8种变化形式：【例】下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果.(1)(2a-3b)(3b-2a);(2)(-2a+3b)(2a+3b);(3)(-2a+3b)(-2a-3b);(4)(2a+3b)(2a-3b);(5)(-2a-3b)(2a-3b);(6)(2a+3b)(-2a-3b).解析：依据平方差公式的特点来判断，把这两个多项式中每一个多项式分成两部分，其中一部分完全相同，另一部分互为相反数.解：(2)(3)(4)(5)可以用平方差公式计算，(1)(6)不能用平方差公式计算.(2)(-2a+3b)(2a+3b)=(3b)2-(2a)2=9b2-4a2;(3)(-2a+3b)(-2a-3b)=(-2a)2-(3b)2=4a2-9b2;(4)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2;(5)(-2a-3b)(2a-3b)=(-3b)2-(2a)2=9b2-4a2.课堂精讲变式拓展：计算：(1)(a-1)(a+1);(2)(-3x2+y2)(y2+3x2);(3)(-m+3n)(-m-3n).原式=a2-1原式=y4-9x4原式=m2-9n2随堂检测1.计算（a+b）（a+b）的结果是（）Ab2a2Ba2b2Ca22ab+b2Da2+2ab+b22.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A（x+1）（1+x）B（a+b）（ba）C（a+b）（ab）D（x2y）（x+y2）3.（2014梅州）已知a+b=4，ab=3，则a2b2=4.已知a2b2=6，ab=1，则a+b=A AB B12126 65.（m+n）（）=m2+n26.化简：（a+b）（ab）+2b2m+n解：原式=a2b2+2b2=a2+b214.2.2 完全平方公式课前预习课前预习1.(2a+b)2=4a2+b2.2.(-x-)2=.3.(x+y)2=(x-y)2+.4.如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=.4abx2+x+4xy6课堂精讲知识点.完全平方公式一般地，我们有（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同，注意：注意：(1)公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式(2)对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以运用完全平方公式计算归纳：归纳：完全平方公式的常用形式：(l)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;(2)ab=（a+b）2-（a2+b2）；(5)(a+b)2=(a-b)2+4ab;(6)(a-b)2=(a+b)2-4ab;(7)ab=【例1】化简:(1)(a+3b)2;(2)(-x+3y)2;(3)(-m-n)2;(4)(2x+3)(-2x-3).解析：此题可利用完全平方公式计算.(1)题是两数和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中a相当于公式中的a,3b相当于公式中的b；(2)题(-x+3y)2=(3y-x)2=(x-3y)2，应选用“差”的完全平方公式；(3)题(-m-n)2=-(m+n)2=(m+n)2,应选择“和”的完全平方公式计算；(4)题中的-2x-3=-(2x+3)，原式可变形为-(2x+3)2，选择“和”的完全平方公式计算.解：(1)(a+3b)2=a2+2a3b+(3b)2=a2+6ab+9b2.(2)(-x+3y)2=(3y-x)2=(3y)2-23yx+x2=9y2-6xy+x2.(3)(-m-n)2=(m+n)2=m2+2mn+n2.(4)(2x+3)(-2x-3)=-(2x+3)2=-(4x2+12x+9)=-4x2-12x-9.课堂精讲变式拓展：计算:(1)(-3a-4b)2;(2)(5x-2y)2+20 xy;(3)(2m+n)(2m-n)2;(4)(y+3)2-(3-y)2.9a2+24ab+16b225x2+4y216m4-8m2n2+n412y随堂检测1.若m+n=7，mn=12，则m2mn+n2的值是（）A11B13C37D612.（2015北京一模）在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）AxB3xC6xD9x3.已知（x+y）22x2y+1=0，则x+y=4.化简：（a+3）26a=5.x210 x+=（x）26.若9x2+kx+16是一个完全平方式，求k的值B BC C1 1a2+925255 5解：中间一项为加上或减去3x和4积的2倍，故k=2414.3 因式分解14.3.1 提公因式法课前预习课前预习1.把下列多项式写成整式乘积的形式：(1)a2+a=;(2)x2-1=.2.下列变形：a(x+y)=ax+ay;x2-4x+4=x(x-4)+4;10 x2-5x=5x(2x-1);x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x.其中属于因式分解的有.3.8a3b2与12ab3c的公因式是.4.把下列各式分解因式：(1)6mn2+2mn;(2)18xyz-12x2y2;a(a+1)(x+1)(x-1)4ab2原式=2mn(3n+1)原式=6xy(3z-2xy)课堂精讲知识点1.因式分解的概念定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.如：ax+ay=a(x+y),a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2,x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),am+an+bm+bn=(a+b)(m+n)，,都是因式分解.注意:因式分解专指多项式的恒等变形，即等式的左边必须是多项式.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.如x2+xy=x(x+y)是因式分解，而2x+2y+3y=2(x+y)+3y不是因式分解.因式分解与整式的乘法互为逆变形.例如：(3x-2)(3x+2)=9x2-4是整式的乘法，反过来，9x2-4=(3x-2)(3x+2)是因式分解，所以因式分解的结果可以用整式的乘法进行验证.【例1】下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是？（1）24x2y=4x6xy；（2）（x+5）（x5）=x225；（3）x2+2x3=（x+3）（x1）；（4）9x26x+1=3x（3x2）+1；（5）x2+1=x（x+）解析：解析：根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.解：解：（1）因式分解是针对多项式来说的，故（1）不是因式分解；（2）右边不是整式积的形式，不是因式分解；（3）是因式分解；（4）右边不是整式积的形式，不是因式分解；（5）右边不是整式积的形式，不是因式分解；则（1）（2）（4）（5）不是因式分解，（3）是因式分解课堂精讲1.下列各式哪些是因式分解（）Ax2+x=x（x+1）Ba（ab）=a2abbC（a+3）（a3）=a29Da22a+1=a（a2）+12.（2015潮南区一模）从左到右的变形，是因式分解的为（）A（3x）（3+x）=9x2B（ab）（a2+ab+b2）=a3b3Ca24ab+4b21=a（a4b）+（2b+1）（2b1）D4x225y2=（2x+5y）（2x5y）A AD D课堂精讲知识点2.提公因式法分解因式(1)一个多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式.(2)一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.注意：(1)提公因式分解因式的关键是确定公因式.确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别考虑：对于数字系数如果是整数系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；对于字母，需考虑两条：一条是取各项相同的字母；另一条是各相同字母的指数取其次数最低的.(2)乘法分配律是提公因式法的依据，提公因式法实质上是分配律的“逆用”，即(3)提公因式法分解因式的一般步骤是：第一步找出公因式；第二步提公因式并确定另一个因式.提公因式时可用原多项式除的公因式，所得的商即为提公因式后剩下的另一个因式.也可以用公因式分别去除原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式.例如：因式分解8a3b2-12ab2c，提公因式4ab2时，用4ab2分别去除原多项式的每一项，得(8a3b24ab2-12ab3c4ab2)=2a2-3bc,即8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc).【例2】运用提取公因式法分解因式.(1)12a2b3+6a2b2-18a3b2;(2)-27m2n+9mn2-18mn;(3)5a2(x-y)+10a(y-x);(4)x(x-y)2-y(y-x)2;(5)18(a-b)3-12b(b-a)2.解析：(1)系数12，6，-18的最大公约数为6.相同字母a,b的最低次幂为a2b2，公因式为6a2b2.12a2b3+6a2b2-18a3b2=6a2b2(2b+1-3a).注意括号内第二项应为1.(2)当第一项系数为负时，应提出负号，括号内各项都变号，公因式为-9mn.-27m2n+9mn2-18mn=-9mn(3m-n+2).(3)y-x=-(x-y),公因式为5a(x-y).5a2(x-y)+10a(y-x)=5a(x-y)(a-2).(4)x(x-y)2-y(y-x)2=x(x-y)2-y(x-y)2=(x-y)2(x-y)=(x-y)3(5)18(a-b)3-12b(b-a)2=18(a-b)3-12b(a-b)2=6(a-b)2(3a-3b-2b)=6(a-b)2(3a-5b)3.把下列各式分解因式.(1)ab+a+b+1;(2)-4m3+16m2-26m;(3)m(a-3)+2(3-a);(4)6a(b-a)2-2(a-b)3.原式=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1)原式=-2m(2m2-8m+13)原式=m(a-3)-2(a-3)=(a-3)(m-2)原式=6a(a-b)2-2(a-b)3=2(a-b)23a-(a-b)=2(a-b)2(2a+b)随堂检测1.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）Aa（x+y）=ax+ayB（m+1）（m1）（1m）=m（m1）Cx216+3x=（x+4）（x4）+3xD10 x25x=5x（2x1）2.把多项式a24a分解因式，结果正确的是（）Aa（a4）B（a+2）（a2）Ca（a+2）（a2）D（a2）243.（2015惠安县一模）分解因式：x2+4x=4.在多项式12ab3c8a3b中应提取的公因式是D DA Ax（x+4）4ab4ab5.因式分解：（1）x（xy）y（yx）；（2）a2x2yaxy2原式=x（xy）+y（xy）=（x+y）（xy）原式=axy（axy）14.3.2 公式法（一）课前预习课前预习1.计算：852152=（）A70B700C4900D70002.下列多项式中，能运用公式法因式分解的是（）Ax2xyBx2+xyCx2+y2Dx2y23.分解因式：x24=4.若x29=（x3）（x+a），则a=DD（x+2）（x2）3课堂精讲知识点.利用平方差公式分解因式a2-b2=(a+b)(a-b)，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.(1)把乘法公式中的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2逆用，即为因式分解的平方差公式.(2)公式中所说的“两个数”是a,b，而不是a2,b2，其中a,b可以是单项式，也可以是多项式.(3)平方差公式的特点：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积，凡是符合平方差公式特点的二项式，都可以运用平方差公式分解因式，如x2-y2,a2-1,4x2-9,(b+c)2-4(a-b)2等.【例】把下列各式分解因式.课堂精讲(1)25m2-n2;(2)(x-y)2-1;(3)16x-25x3y2;(4)x4-16.原式=(5m+n)(5m-n)原式=(x-y+1)(x-y-1)原式=x(4+5xy)(4-5xy)原式=(x2+4)(x+2)(x-2)随堂检测1.将x216分解因式正确的是（）A（x4）2B（x4）（x+4）C（x+8）（x8）D（x4）2+8x2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）Aa2+（b）2B5m220mnCx2y2Dx2+93.若a+b=2011，ab=1，则a2b2=4.计算：2014220132=5.4x29=B BD D201140274027（2x3）（2x+3）14.3.3 公式法（二）课前预习课前预习1.分解因式a42a2+1的结果是（）A（a2+1）2B（a21）2Ca2（a22）D（a+1）2（a1）22.当a=9时，代数式a2+2a+1的值为3.x2+x+是完全平方式.4.（2014龙岩）因式分解：x24x+4=D1001（x2）2课堂精讲知识点.用完全平方公式分解因式（1）把整式乘法的完全平方公式(ab)2=a22ab+b2反过来，就得到即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解，公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.（2）完全平方公式的特点等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方，当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方归纳：归纳：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法【例】分解因式：（1）x2+4xy4y2（2）（x1）（x3）+1解析：解析：（1）先添加带符号的括号，再利用完全平方公式分解因式即可（2）首先利用多项式乘法计算出（x1）（x3）=x24x+3，再加上1后变形成x24x+4，然后再利用完全平方公式进行分解即可（1）解：x2+4xy4y2，=（x24xy+4y2），=（x2y）2（2）解：原式=x24x+3+1，=x24x+4，=（x2）2课堂精讲1.把下列各式分解因式.(1)y2-4x(y-x);(2)(a2+b2)2-4a2b2.原式=(y-2x)2原式=(a+b)2(a-b)2随堂检测1.下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是（）A2x2+4x+1B4x212xy+9y2C2x2+4xy+y2Dx2y2+2xy2.把代数式x24x+4分解因式，下列结果中正确的是（）A（x+2）（x2）B（x+2）2C（x4）2D（x2）23.若a=2b2，则a24ab+4b2的值是4.如果多项式x26x+c可以分解为（x3）2，那么c的值是5.分解因式4x24x+1=B BD D49 9（2x1）2