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专题限时集训(二十二)排列组合、二项式定理 A组高考题、模拟题重组练一、排列、组合1(2016全国甲卷)如图221，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()图221A24B18C12D9B从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有336(条)所以小明到老年公寓的最短路径条数为6318.2(2016四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48 C60 D72D第一步，先排个位，有C种选择；第二步，排前4位，有A种选择由分步乘法计数原理，知有CA72(个)3(2016全国丙卷)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有()A18个 B16个C14个 D12个C由题意知：当m4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a10，a81.不考虑限制条件“对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C20(种)，其中存在k2m，a1，a2，ak中0的个数少于1的个数的情况有：若a2a31，则有C4(种)；若a21，a30，则a41，a51，只有1种；若a20，则a3a4a51，只有1种综上，不同的“规范01数列”共有20614(种)故共有14个故选C.4(2012全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种 B10种C9种 D8种A分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C6(种)选派方法由分步乘法计数原理得，不同的选派方案共有2612(种)5(2016哈尔滨一模)某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为() 【导学号：85952083】A484 B472 C252 D232B分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C3C208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有CC264种根据分类计数原理，得208264472，故选B.6(2016吉安一模)下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,4，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是()A(1x)(1x2)(1x3)(1x10)B(1x)(12x)(13x)(110x)C(1x)(12x2)(13x3)(110x10)D(1x)(1xx2)(1xx2x3)(1xx2x10)A从重量分别为1,2,3,4，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，17,26,35，共3种方法，选三个，125，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是2348.四个以上的和都大于8，因此共有方法数为5.A中，x8的系数是1315(x8，xx7，x2x6，x3x5，xx2x5)，B中，x8的系数大于12345678，C中，x8的系数大于8(8x8的系数就是8)，D中，x8的系数大于C8(有四个括号里取x2，其余取1时系数为C)因此只有A是正确的，故选A.7(2016沈阳一模)将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有()A24种 B28种 C32种 D36种B法一：五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即C；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一种情况下有C种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集)，在第二种情况下有1种分法(剩下三名同学各分到一本小说)，在第三种情况下有C种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说)，这样第二步骤共有情况数是C1C7，故本题的答案是7C28，选B.法二：将3本相同的小说记为a，a，a；2本相同的诗集记为b，b，将问题分成3种情况，分别是aa，a，b，b，此种情况有A12种；bb，a，a，a，此种情况有C4种；ab，a，a，b，此种情况有A12种，总共有28种，故选B.二、二项式定理8(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30D60C法一：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.法二：(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.故选C.9(2013全国卷)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()A5 B6 C7 D8B(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为C，aC.同理，bC.13a7b，13C7C.137.m6.10(2013全国卷)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()A4 B3 C2 D1D(1x)5中含有x与x2的项为T2Cx5x，T3Cx210x2，x2的系数为105a5，a1，故选D.11(2016全国乙卷)(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案)10(2x)5展开式的通项为Tr1C(2x)5r()r25rCx5.令53，得r4.故x3的系数为254C2C10.12(2016山东高考)若5的展开式中x5的系数是80，则实数a_.2Tr1C(ax2)5rrCa5rx10r.令10r5，解得r2.又展开式中x5的系数为80，则有Ca380，解得a2.13(2015全国卷)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.3设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.14(2014全国卷)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)20x2y7x(xy7)，其系数为C，x2y7y(x2y6)，其系数为C，x2y7的系数为CC82820.15(2016正定一模)已知对任意实数x，有(mx)(1x)6a0a1xa2x2a7x7，若a1a3a5a732，则m_. 【导学号：85952084】0设(1x)6b0b1xb2x2b6x6，则a1b0mb1，a3b2mb3，a5b4mb5，a7b6，所以a1a3a5a7(b0b2b4b6)m(b1b3b5)，又由二项式定理知b0b2b4b6b1b3b5(11)632，所以3232m32，m0.B组“124”模拟题提速练一、选择题1(2016韶关一模)某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是()A70B98C108D120B可分为两类：选A，B，C中的一门，其它7科中选两门，有CC63；不选A，B，C中的一门，其它7科中选三门，有C35；所以共有98种，故选B.2(2016临汾二模)已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8等于()A5 B5 C90 D180D因为(1x)10(21x)10，所以a8等于C(2)2454180.故选D.3(2016福州模拟)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()A12种 B24种 C48种 D120种B甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有AACAA24(种)4(2016漳州二模)已知(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10，则a2a3a9a10的值为()A20 B0 C1 D20D令x1得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又易知a1C21(1)920，所以a2a3a9a1020.5(2016昆明二模)在4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3()A20 B15 C10 D5DTr1C(ax6)4rrCa4rbrx247r，令247r3，得r3，则4ab320，ab35.6(2016成都二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中两个2元，两个3元(红包金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有()A36种 B24种 C18种 D9种C由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包，且抢到红包的4人中有2人抢到2元红包，另2人抢到3元红包，则甲、乙两人都抢到红包的情况有CC18种，故选C.7(2016兰州一模)七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有()A240种 B192种 C120种 D96种B不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A种站法，再取一人站左侧有CA种站法，余下三人站右侧，有A种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2ACAA192，故选B.8(2016威海一模)某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有()AAA种 BA54种CCA种 DC54种D有两个年级选择甲博物馆共有C种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C54种，故选D.9(2016泉州模拟)在10的展开式中，含x2项的系数为()A10 B30 C45 D120C因为1010(1x)10C(1x)9C10，所以x2项只能在(1x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C45，故选C.10(2016肇庆二模)(x2y)7的展开式中，系数最大的项是() 【导学号：85952085】A68y7 B112x3y4 C672x2y5 D1 344x2y5C设第r1项系数最大，则有即即解得又rZ，r5，系数最大的项为T6Cx225y5672x2y5.故选C.11(2016宜昌模拟)若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值是()A1 B1 C0 D2A令x1，则a0a1a4(2)4，令x1，则a0a1a2a3a4(2)4，(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a4)(a0a1a2a3a4)(2)4(2)41.12(2016长春一模)若n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于()A3 B4 C5 D6C由题意，n的展开式的项为Tr1C(x6)nrrCx6n6rrCx6nr，令6nr0，得nr，当r4时，n取到最小值5.故选C.二、填空题13(2016乌鲁木齐一模)若9的二项展开式的常数项是84，则实数a_. 【导学号：85952086】19的二项式展开式的通项为Tr1Carx93r，令93r0，即r3，常数项为T4Ca384a3，依题意，有84a384，a1.14(2016湖南东部六校联考)如果n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是_21n的展开式的各项系数之和为n2n128，所以n7，所以n7，其展开式的通项为Tr1C(3x)7rrC37rx7r(x)r(1)rC37rx7r，由7r3，得r6，所以的系数是C(1)6321.15(2016长春二模)小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有_种37由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C，为35种共计37种取法16(2016广东八市联考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_472由题意，不考虑特殊情况，共有C种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C种取法，两种红色卡片，共有CC种取法，故所求的取法共有C4CCC5601672472.
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