水力学吴持恭件水静力学

会计学1水力学吴持恭件水静力学水力学吴持恭件水静力学证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体PnPP PNNAB 静水压强的方向与作用面的内法线方向重合，静水压强的方向与作用面的内法线方向重合，静水压强是一种静水压强是一种 压应力压应力第二章第二章 水静力学水静力学第2页/共102页第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的第二特性：某一点静水压强的大小与作用面的 方位无关。方位无关。第二章第二章 水静力学水静力学图 静水压强方向示意 hpcpcpccc第3页/共102页Ap1=p2第4页/共102页 任一点静水压强大小与受压面方向无关 证 明?pypxpz如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可第5页/共102页6Oxyzzxypz x y12pn Anpx y z12py x z12从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡第6页/共102页7Py 左侧面压力 Oxyzzxypz x y12pn Anpx y z12py x z12Pn 斜面压力 Px 后侧面压力 Pz 底面压力 第7页/共102页四面体的体积四面体的体积D D V为为6yxD VDD=1zD总质量力在三个坐标方总质量力在三个坐标方向向的投影为的投影为DPyPzABCPnYXZOPx6zyFxDD=1xD X16zyFyDD=xD Y6zyFzDD=1xD Z第二章第二章 水静力学水静力学第8页/共102页9考虑四面体在三个坐标方向的力平衡，则 式中，:斜面法线与三个坐标方向的夹角 Oxyzzxyn第一式中第一式中zypnDD=21xnAxnpPnnD=),cos(),cos(第9页/共102页0),cos(=+-FPPxnxxn代入第一式代入第一式则：则：整理后整理后,有有当四面体无限缩小到当四面体无限缩小到A点时，点时，xD0因此：因此：pnpx=同理，我们可以推出：同理，我们可以推出：pnpy=pnpz=和和DPyPzABCPnYXZOPx第二章第二章 水静力学水静力学第10页/共102页这样我们可以得到：这样我们可以得到：pypx=pnpz=上式表明任一点的静水压强上式表明任一点的静水压强 p是是各向等值的，与作用面的方位无各向等值的，与作用面的方位无关。第二特性得到证明关。第二特性得到证明DPyPzABCPnYXZOPx第二章第二章 水静力学水静力学第11页/共102页2-2 液体的平衡微分方程及液体的平衡微分方程及其积分其积分第二章第二章 水静力学水静力学液体处于平衡状态时，作用于液体上的各种力及其坐标间的微分关系第18页/共102页dxdydzYXZOA(x,y,z)NM第二章第二章 水静力学水静力学 在平衡液体中，取一块平行六面微元体（其他形状也可，但六面体方便）第19页/共102页dxdydzYXZOA(x,y,z)NMA点的压强为一函数点的压强为一函数p（x,y,z)泰勒级数展开式为：泰勒级数展开式为：运用泰勒级数将运用泰勒级数将p(x,y,z)展开，并忽略二阶以上展开，并忽略二阶以上微量微量M点的压强？坐标第二章第二章 水静力学水静力学第21页/共102页N点压强为：点压强为：dxxppxpdxPpN+=+=212则：则：M点压强为：点压强为：dxdydzYXZOA(x,y,z)NM六面体左右两面的表面力为：六面体左右两面的表面力为：dydzdxxppdydzdxxpp)21()21(+-第二章第二章 水静力学水静力学第22页/共102页dxdydzYXZOA(x,y,z)NM另外作用在微小六面体上的质另外作用在微小六面体上的质量力在量力在X轴向的分量为：轴向的分量为：dxdydzX根据平衡条件上述各力在根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为轴上的投影应为零，即：零，即：dydzdxxpp)21(-dydzdxxpp)21(+-dxdydzX+0=整理得：整理得：01=-xpX同理，在同理，在x,y方向上可得：方向上可得：第二章第二章 水静力学水静力学第23页/共102页dxdydzYXZOA(x,y,z)NM上式为液体平衡微分方程。上式为液体平衡微分方程。它表明：液体处于平衡状态时，对于单位质量液它表明：液体处于平衡状态时，对于单位质量液体来说，质量力分量（体来说，质量力分量（X，Y，Z）和表面力的分）和表面力的分量量1xp1yp1zp（）是对应相等的。是对应相等的。又称欧拉平衡微分方程又称欧拉平衡微分方程01=-zpZ01=-ypY01=-xXp第二章第二章 水静力学水静力学第24页/共102页p01=-zZp01=-yY将将01=-xXp依次乘以依次乘以dx,dy,dz后相加得：后相加得：ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp+=+)(1dzzpdyypdxxp+)(因为因为是是P(x,y,z)的全微分的全微分改写成全微分的形式就是液体平衡微分方程改写成全微分的形式就是液体平衡微分方程就是说，就是说，静水压强的的分布规律完全是由单位静水压强的的分布规律完全是由单位质量力决定的。质量力决定的。第二章第二章 水静力学水静力学第25页/共102页由于密度由于密度可视为常数，可视为常数，也是函数也是函数U（x,y,z)的全微分即：的全微分即：则函数则函数U（x,y,z)的全微分为：的全微分为：由此得：由此得：满足上式的函数满足上式的函数U（x,y,z)称为力函数或力的势称为力函数或力的势函数，具有这种势函数的质量力称为函数，具有这种势函数的质量力称为有势的力有势的力。由此可见：由此可见：液体只在有势的质量力作用下才能平衡液体只在有势的质量力作用下才能平衡)ZdzYdy（Xdx+式子式子第二章第二章 水静力学水静力学第26页/共102页等压面：液体中各点压强相等的面。等压面：液体中各点压强相等的面。在等压面上p=常数，即dp=dU=0，而0故dU=0即U=常数，等压面即等势面。等压面的重要特性：等压面恒与质量力正交。证明之在等压面上式中dx、dy、dz可设想为液体质点在等压面上的任意微小位移 ds在相应坐标轴上的投影。质量力作的微功为零，而质量力和ds都不为零，所以等压面与质量力必然正交。第二章第二章 水静力学水静力学第27页/共102页2-32-3重力作用下静水压强的重力作用下静水压强的分布规律分布规律一、水静力学基本方程一、水静力学基本方程重力重力在坐标轴上的投影分别为：X=0、Y=0、Z=-g代入液体平衡方程得得YZP0X0积分得积分得：或第二章第二章 水静力学水静力学第28页/共102页即为重力作用下的水静力学基本方程式水静力学基本方程式上式表明：YZP0X0 在静止液体中，任何一点的（）总是一个常数，对液体内任意两点，上式可写成：在液体自由表面上，代入得：因此：公式可写成：第二章第二章 水静力学水静力学第29页/共102页 对于液体中各点来说，一般用各点在液面以下的深度 代替 ,因此将 代入上式得：静水全压强静水全压强上式即为水静力学基本方程式的另一种形式它说明：它说明：1、在静止的液体中，压强随深度线性规律变化 2、静止液体中任一点的压强 等于表面压强 与从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量之和。应用上式，便可以求出静止液体中任一点的静水压强应用上式，便可以求出静止液体中任一点的静水压强第二章第二章 水静力学水静力学第30页/共102页二、压强的表示方法和单位二、压强的表示方法和单位1、压强的表示方法：、压强的表示方法：绝对压强绝对压强：数值是以“完全真空”为零（基准）算起的。用Pabs表示。相对压强相对压强：在实际工作中，一般建筑物表面均作用着大气压强，这种以当地大气压强为零算起的压强为相对压强。用P表示。也称为静水全压强也叫计算压强或称表压，用公式表示：如果自由表面压强 与当地大气压强 相等则则也称静水超压强或重量压强第二章第二章 水静力学水静力学第31页/共102页 绝对压强永远为正值，最小值为零。相对压强可正可负，当PabsPa时，相对压强P0,工程上把负的相对压强叫做“真空”几种压强的关系可表示为：P00PaPaPabsPa绝对压强绝对压强相对压强的负值相对压强的负值（真空）（真空）Pabs相对压强相对压强PaPabs第二章第二章 水静力学水静力学第32页/共102页2、压强的单位、压强的单位、应力表示。如：牛顿/米2 （N/m2)；千牛顿/米2 (KN/m2);等。、工程大气压表示。如：一个工程大气压=98 KN/m2=9.8 N/cm2=9.8104Pa、用液柱高度表示。可写成对于任一点的静水压强 可以用上式化为对任何一种容重为 的液柱高度。如：水柱、汞柱等第二章第二章 水静力学水静力学第33页/共102页三、静水压强的图示三、静水压强的图示1、方法、方法由压强与水深成线性关系。因而，在任一平面的作用面上，其压强分布为一直线。只要算出作用面最上和最下两个点的压强后，即可定出整个压强的分布线。2、原则、原则、每一点处的压强垂直于该点处的作用面。、静水压强的大小随着距自由面的深度而增加另外另外：对实际工程有用的是相对压强的图示。如欲绘制绝对压强分布图，则将常量 附加上即可。第二章第二章 水静力学水静力学第34页/共102页例例1BADhCABC 即为相对压强分布图ABED 即为绝对压强分布图例例2BAh1h2叠加后余下的红色梯形区域即为静水压强分布图E第二章第二章 水静力学水静力学第35页/共102页例例3为一折面的静水压强分布图h2h1CABh1h2DE作用于平面AC例例4 为两种和的液体先做再做则ADEC即为所求压强分布图第二章第二章 水静力学水静力学第36页/共102页例例5h右图为一弧形闸门各点的压强只能逐点计算，且沿半径方向指向圆弧的圆心。注：注：只是要把静水压强的箭头倒转过来即可，并且负的静水压强上大下小，也可以把相对压强改成绝对压强再按上述方法绘制以上讨论的是P0的例子对于PPahAPaZA则则：在水力学中，hA高度即为测压管高度。这种测量压强的管子叫测压管。在容器内有在右管中有因此因此所以：测压管高度所以：测压管高度hA表示表示A点的的相对压强（计算压强）点的的相对压强（计算压强）Ah第二章第二章 水静力学水静力学第38页/共102页若若 P0Pa则：位于测压管中的水位高度将低于容器内液面高度。即 hAh那么，真空高度为：P0AhAPaZAhhB第二章第二章 水静力学水静力学第39页/共102页 在水力学上，把任一点的相对压强高度（即测压管高度）与该点基准面以上的位置之和称为测压管水头测压管水头。上图中A点的测压管水头为：水力学基本方程式可写成：可见，在静止液体中，各点的测压管水头不变。可见，在静止液体中，各点的测压管水头不变。第二章第二章 水静力学水静力学第40页/共102页五、压强的表示方法和单位五、压强的表示方法和单位pahA1 测压管 第41页/共102页2 U形水银测压计 bhpaA第42页/共102页hAsABhBhAmB3 压差计 第43页/共102页 4 倒U形压差计 ABhAhshBnAB第44页/共102页5 真空计 pA=-hd2hA第45页/共102页6.压力传感器第46页/共102页2-52-5重力和惯性力联合作用下重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡液体的相对平衡相对平衡：相对平衡：液体相对于地球总是运动的，但各质点之间及液体与器皿之间都没有相对运动。质量力：重力和惯性力。惯性力的计算方法：惯性力的计算方法：先求出某质点相对于地球的加速度，将其反号并乘以该质点的质量。（达兰贝尔原理）第二章第二章 水静力学水静力学第47页/共102页zyxoA第一种情况第一种情况：流体在以等角速度绕铅直轴旋转，与器皿相对平衡，分析距OZ 轴半径为r处任意质点A所受质量力。设质点A的质量为M各坐标轴上的分量：离心惯性力：单位质量的离心惯性力：第二章第二章 水静力学水静力学第48页/共102页在各坐标轴的分量：由叠加原理：代入欧拉平衡微分方程在原点O处，则第二章第二章 水静力学水静力学第49页/共102页代入原式，有：注意：注意：在旋转液体中，各点的测压管水头都不是常数。第二种情况：第二种情况：液体在作直线等加速运动的器皿中的相对平衡。xaGZ第二章第二章 水静力学水静力学第50页/共102页单位质量力：重力：惯性力：由叠加原理：代入方程：当：时代入上式，则式中：为所求的那一点在自由液面下的铅直深度h，则：则：xaGZ第二章第二章 水静力学水静力学第51页/共102页第三种情况：第三种情况：液体作直线等速运动之器皿中的相对平衡。显然，液体的等压面和自由液面都是水平面，仅有重力而无惯性力。代入得：当：时代入上式，则第二章第二章 水静力学水静力学第52页/共102页例例1：有一小车，内盛液体，车内尺寸长L=3.0m，宽b=1.2m，静止时水深h=2.0m，小车作水平等加速运动，ax=4.0m。试计算小车运动时水面倾斜角和底面AB受力大小？解：解：根据平衡微分方程代入：代入：在自由液面上代入上式xaZ2m3mAB0第二章第二章 水静力学水静力学第53页/共102页所以所以计算液体任一点的压强：计算液体任一点的压强：按相对压强计算，在自由液面上按相对压强计算，在自由液面上点A的坐标第二章第二章 水静力学水静力学第54页/共102页B点坐标平均压强作用在AB底面上的力：简便方法：简便方法：直接计算AB板中心点压强代入第二章第二章 水静力学水静力学第55页/共102页例例2：边长为b的敞口立方水箱中原来装满水，当容器以匀加速度向右运动时，试求：水溢出1/3时的加速度 ；水剩下1/3时的加速度 ；解：水溢出1/3时水剩下1/3时（自算）第二章第二章 水静力学水静力学第56页/共102页2-62-6作用在平面上的静水总压力作用在平面上的静水总压力概述：概述：对于一个平面作用面，静水总压力的作用方向必然垂直地压向这个作用面。需要解决的问题是它的大小和作用点。方法分有解析法和图解法。一、解析法：一、解析法：是根据力学和数学的分析方法，来求平面上静水总压力的一般计算公式。1、总压力的大小和方向第二章第二章 水静力学水静力学第57页/共102页yx0baCyhychcdAAdA上的压力为Pc为受压面形心的相对压强形心点上的压强亦即是整个平面上的平均压强形心点上的压强亦即是整个平面上的平均压强静水总压力的方向是沿着受压面的内法线方向静水总压力的方向是沿着受压面的内法线方向2-6作用在平面上的静水总压力第58页/共102页2、总压力的作用点静水总压力在平面上的作用点叫做压力中心。压力中心的位置必然低于形心的位置，只有当平面呈水平时，总压力的作用点才与面积的形心相重合。设：设：压力中心为D,它在水面下的深度为hD,利用力学定理（合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和）得：得：对OX轴式中为受压面面积对ox轴的惯性矩即：即：2-6作用在平面上的静水总压力第59页/共102页同时，根据惯性矩的平行移轴定理。有：有：于是：于是：永远大于零因为总是正值，所以这说明压力中心D总是在平面形心之下D点与C点在y方向上的距离为：在实际工程中，受压面多是左右对称的，即总压力的作用点必位于对称轴上，因而，只需求出压力中心在Y方向的位置就可以了。2-6作用在平面上的静水总压力第60页/共102页平面形状平面形状惯性矩惯性矩Jc形心点距下底的距离形心点距下底的距离矩矩形形圆圆形形半半圆圆形形三三角角形形 梯梯 形形几种常见平面的几种常见平面的Jc及形心点位置的计算式及形心点位置的计算式sclbds(式中 )hscbcshnm2-6作用在平面上的静水总压力cs第61页/共102页二、图解法二、图解法 采用图解法时，须先绘出压强分布图，然后根据压强分布图形计算总压力。hDhChcphbACDBa、压强分布图b、剖面图总压力为：所以；平面上静水总压力的大小等所以；平面上静水总压力的大小等于作用在平面上的压强分布图的体于作用在平面上的压强分布图的体积。积。=1、求大小、求大小2-6作用在平面上的静水总压力第62页/共102页2-6作用在平面上的静水总压力总压力的作用线通过压强分布图形体积的形心，压向被作用平面。总压力的作用线通过压强分布图形体积的形心，压向被作用平面。cphbACDB压强分布图2、求作用点、求作用点对于矩形平板，静水总压力的作用点可由三角形压强分布图形面对于矩形平板，静水总压力的作用点可由三角形压强分布图形面积的形心定出。积的形心定出。第63页/共102页例题例题n n水库泄水闸门水库泄水闸门ABAB，矩形，矩形b=2mb=2m，L=2mL=2m。设水位。设水位在在B B点泄洪，闸门自重点泄洪，闸门自重4KN.4KN.摩擦系数摩擦系数=0.5=0.5。1 1）求提升力）求提升力T T。2 2）设准备提升力为）设准备提升力为2T2T，如果，如果水位在水位在B B点上点上2m2m，能提起来吗。，能提起来吗。2-6作用在平面上的静水总压力2mb=2mL=2m2mBA第64页/共102页h第65页/共102页第66页/共102页例题例题斜闸门斜闸门ABAB，如图。，如图。L=3mL=3m，b=2mb=2m，自重，自重G=6kNG=6kN。B B点为铰。水位在点为铰。水位在B B点上点上1m1m，求提升力，求提升力T T。2-6作用在平面上的静水总压力h=1m30oBT第67页/共102页GPTNR第68页/共102页第69页/共102页第70页/共102页P22/3LP11/2LP+第71页/共102页hcDc例：例：试求作用在关闭着的池壁圆形放水闸门上静水总压力和作用点的位置。已知闸门直径d=0.5m，距离a=1.0m，闸门与自由水面间的倾斜角=600，水为淡水。解：解：、求总压力a2-6作用在平面上的静水总压力第72页/共102页ycyDhcDca设总压力的作用点沿斜面距水面为yD则：则：（米）（米）2-6作用在平面上的静水总压力第73页/共102页hcDc例：例：试求作用在关闭着的池壁圆形放水闸门上静水总压力和作用点的位置。已知闸门直径d=0.5m，距离a=1.0m，闸门与自由水面间的倾斜角=600，水为淡水。解：解：、求总压力a2-6作用在平面上的静水总压力第74页/共102页ycyDhcDca设总压力的作用点沿斜面距水面为yD则：则：（米）（米）2-6作用在平面上的静水总压力第75页/共102页问问 题：题：作用在自由面上的压强 p0 所形成的压力P0的压力中心在何处？答：答：力P0 的压力中心和平面的形心点C重合，这是因为压强p0在平面上均匀分布的缘故。2-6作用在平面上的静水总压力第76页/共102页例题：例题：ACBd 输水水管道在试压时，压强表的读数为10atm，管道直径d=1.0m，求作用在管端法兰堵头上的静水总压力及作用点。解：解：方法（）设法兰堵头上静水压强均匀分布由于可认为堵头上的平均压强为所以堵头上的总压力作用点通过堵头的中心C点2-6作用在平面上的静水总压力第77页/共102页方法（）压强严格按照来计算BA100m1m总压力：作用点：2-6作用在平面上的静水总压力第78页/共102页比较两种计算方法的结果：、总压力的相对误差：、作用点距离误差：比较结果：在工程上，方法在工程上，方法1计算完全可满足要求。计算完全可满足要求。2-6作用在平面上的静水总压力第79页/共102页2-72-7作用在曲面壁上的作用在曲面壁上的静水总压力静水总压力x0zPBBAPxEh一、静水压强的水一、静水压强的水平分力和垂直分力平分力和垂直分力 将曲面看作无数微小面积所组成，而作用在每一微小面积上的压力可分解成水平分力和垂直分力，这样就把求曲面总压力的问题也变成求Px和Pz的合力的问题。dPzdpdPxFE(dA)z(dA)x2-7作用在曲面壁上的静水总压力第80页/共102页而：而：则：则：其中：h(dA)z为平面(dA)z对水平轴oy的静矩。所以：所以：dPzdpdPxFE(dA)z(dA)x2-7作用在曲面壁上的静水总压力第81页/共102页同理：Pz就等于压力体的水重。当液体与压力体位于曲面的同侧时，pz向下，称为实压力体。当液体与压力体位于曲面的两侧时，pz向上，称为虚压力体。2-7作用在曲面壁上的静水总压力第82页/共102页二、总压力的作用点二、总压力的作用点 Px的作用线通过压力中心，Pz的作用线通过压力体的重心。合力P的作用线与曲面的交点即为作用点。注意：注意：Px与Pz的交点不一定落在曲面上。压力体由以下部分围成：压力体由以下部分围成：曲面本身自曲面边缘向自由液面或其延长面作垂直面。自由液面或其延长面。2-7作用在曲面壁上的静水总压力HOBAPz第83页/共102页2-7作用在曲面壁上的静水总压力第84页/共102页例：例：HOBAPPz如图为一园柱形闸门。半径R=2水深H=R=2m.求作用在闸门AB上的静水总压力和方向。（闸门长度按单宽计）解：解：总压力必然通过园心。=9800222=19600NPz=V=（1/4）R21=9800(1/4)221=30800NP=36450Ntg=Pz/Px=30800/19600=1.57=57.5Px2-7作用在曲面壁上的静水总压力第85页/共102页第一、二章习题课第一、二章习题课，在1、图示一直立煤气管道，在底部的测压管中测的水柱高差，管外空气重度静止煤气的重度。，求管中高处的测压管中测的水柱高差第86页/共102页解：对直立煤气管道中的煤气而言，不同高程的大气压强不能看成常数，设点2的大气压强值为，则点1的大气压强值为.由测压管测得：.由直立煤气管中与关系可求得：.第87页/共102页将式代入式，移项后得：=5.302、一直径D=600mm，高度H=500mm的圆柱形容器，其中盛水深度H2=0.4m，上部盛油（比重为0.8）深度H1=0.1m，容器顶盖中心有一小孔与大气相通。求液体分界面与容器底相切时，容器的旋转速度及盖板上和容器底上的最小和最大压强值。第88页/共102页第89页/共102页解：取坐标如图所示，由于容器有顶盖，故旋转时液面不能自由升高。根据液面分界面与容器底相切的条件，旋转时液面形成的抛物线旋转体的顶部与容器底的o点相切。所以此旋转体的高为，设其底的直径为d。求容器旋转速度（a)旋转前后的油液的体积保持不变，可求出d转前：转后：由=得：第90页/共102页(b)由，可求出已知旋转后油液形成的抛物线旋转体高：代入上式移项后得：=272.22=16.499rad/s第91页/共102页求盖板和容器底上的最小和最大压强（用相对压强表示）盖板：最小压强（作用在盖板中心点上）最大压强：（作用在盖板的圆周上）第92页/共102页底板：最小压强（作用在底板中心点上）最大压强（作用在底板的圆周上）第93页/共102页3、有一个容器，上部为油，下部为水，已知h1=1m，h2=2m，油的重度。求作用于容器 侧壁AB单位宽度上的作用力及其作用点。油水AB解：将油与水的作用力分开计算，然后求总作用力：油：水：分成两部分计算，矩形部分为油的作用P2，三角形部分为水的作用P3。第94页/共102页总作用力：总作用点：设P作用点距B点为x，将P1、P2、P3与P对B取矩：第95页/共102页4.如图所示，为一单宽矩形闸门，只在上游受静水压力作用，如果该闸门绕中心轴旋转某一角度，试问：闸门上任意一点的压强有无变化？为什么？板上的静水总压力有无变化?为什么？第96页/共102页答：（1）压强有变化因为任意一点的深度在不断变化（中心轴除外）（2）静水总压力无变化因为 ，在本题中，形心点的深度即为旋转轴处于水下的深度，该深度不随闸门的旋转而变化，而、A为常量，故压强无变化。第97页/共102页5如图所示，一平板闸门AB斜置于水中，当上下游水位均上升1m（虚线位置）时，试问：图（a）、图（b）中闸门AB上所受的静水总压力及作用点是否改变？(a)(b)第98页/共102页(a)(a)对图a来说：总压力及作用点都改变。水位上升后的压强分布图形的面积或体积比未上升时要大，故总压力及作用点都改变。第99页/共102页(b)(b)对图b来说，水位上升前后的压强分布图形的大小没变化，且为一矩形，其作用点处于闸门的形心处，因闸门的受压面积为一定值，故其总压力也不变。第100页/共102页6、水的体积弹性系数为 ，问压强改变多少时，它的体积的相对压缩为1%？这个压强相当于多少个工程大气压？解：因为水的体积弹性系数 即为压强增值个工程大气压 第101页/共102页感谢您的观看！感谢您的观看！第102页/共102页