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我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物复习引入(Introduction)在上次课中，我们学习了在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质”给出了给出了“基本积分公式表基本积分公式表”。但是，但是，对于形如对于形如这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。我们就无能为力了。为此，为此，4/30/20241复复习习引入引入(Introduction)在上次在上次课课中，我中，我们们学学习习了了“我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三节 换元积分法与分部积分法 第四章第四章 一、换元积分法一、换元积分法二、分部积分法二、分部积分法三、小结与思考题三、小结与思考题4/30/20242第三第三节节 换换元元积积分法与分部分法与分部积积分法分法 第四章第四章 一、一、换换元元积积分法二分法二我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设可导,则有基本思路基本思路 4/30/20243设设可可导导,则则有基本思路有基本思路 8/1/20233我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一、第一类换元积分法定理定理1 则有换元公式(也称配元法配元法,凑微分法凑微分法)4/30/20244一、第一一、第一类换类换元元积积分法定理分法定理1 则则有有换换元公式元公式(也称配元法也称配元法,凑微凑微我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 4/30/20245解解 8/1/20235我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 所以所以2024/4/306解解 所以所以2023/8/16我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 4/30/20247解解 8/1/20237我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例4 求答案：答案：例例5 求例例6 求答案：答案：例例7 求答案答案:例例8 求答案：答案：或或4/30/20248例例4 求答案：例求答案：例5 求例求例6 求答案：例求答案：例7 求答案求答案:例例我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：自学课本例自学课本例144/30/20249答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：自学自学课课本例本例148/1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物万万能能凑凑幂幂法法常用的几种配元形式常用的几种配元形式:4/30/202410万能凑万能凑幂幂法常用的几种配元形式法常用的几种配元形式:8/1/202310我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2024/4/30112023/8/111我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、第二类换元法第一类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则用第二类换元积分法第二类换元积分法.难求，4/30/202412二、第二二、第二类换类换元法第一元法第一类换类换元法解决的元法解决的问题难问题难求易求若所求求易求若所求积积分易求分易求我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物是单调可导函数,且具有原函数,证证:令则则有换元公式定理定理2 设4/30/202413是是单调单调可可导导函数函数,且具有原函数且具有原函数,证证:令令则则则则有有换换元公式定理元公式定理我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解:令则 原式例例14求4/30/202414解解:令令则则 原式例原式例14求求8/1/202314我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解:令则 原式例例15 求4/30/202415解解:令令则则 原式例原式例15 求求8/1/202315我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解:令则 原式例例16 求4/30/202416解解:令令则则 原式例原式例16 求求8/1/202316我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物令于是4/30/202417令于是令于是8/1/202317我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物或或从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：可作代换可作代换 可作代换可作代换可作代换可作代换4/30/202418或从上面三个例子，可以看出如果被或从上面三个例子，可以看出如果被积积函数含有：可作代函数含有：可作代换换 可作代可作代我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 于是于是4/30/202419解解 于是于是8/1/202319我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 常用基本积分公式的常用基本积分公式的补充补充 2024/4/3020 常用基本常用基本积积分公式的分公式的补补充充 2023/8/120我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4/30/2024218/1/202321我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物新知识引入(Introduction)前面，我们利用复合函数的求到法则得到了前面，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法换元积分法”。但是，但是，对于形如对于形如的积分用的积分用直接积分法直接积分法或或换元积分法换元积分法都无法计算都无法计算.注意到，注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点这些积分的被积函数都有共同的特点都是两种不同类型函数的乘积。都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：这就是另一个基本的积分方法：分部积分法分部积分法.函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，4/30/202422新知新知识识引入引入(Introduction)前面，我前面，我们们利用复合函数利用复合函数我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物积分得:分部积分公式分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.由导数乘法公式：4/30/202423积积分得分得:分部分部积积分公式或分公式或1)v 容易求得容易求得;容易容易计计算算.由由我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 第四章第四章（Integration by Parts）例例18 求解解:令则 原式另解另解:令则 原式三、分部积分法三、分部积分法答案答案2024/4/3024 第四章第四章（Integration by Parts）例）例1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 原式原式解解.4/30/202425解解 原式解原式解.8/1/202325我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解:令则原式=例例22 求4/30/202426解解:令令则则原式原式=例例22 求求8/1/202326我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 4/30/202427解解 8/1/202327我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解:令则 原式例例24 求4/30/202428解解:令令则则 原式例原式例24 求求8/1/202328我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解:令,则 原式再令,则故 原式=说明说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.例例25 求自学课本例自学课本例26、284/30/202429解解:令令,则则 原式再令原式再令,则则故故 原式原式=说说我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解:令则原式令例例26求4/30/202430解解:令令则则原式令例原式令例26求求8/1/202330我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三反对幂指三”的顺序,前者为 后者为例例5（补充题）（补充题）求解解:令,则原式=反反:反三角函数反三角函数对对:对数函数对数函数幂幂:幂函数幂函数指指:指数函数指数函数三三:三角函数三角函数解题技巧解题技巧:（自学课本（自学课本例例56）4/30/202431把被把被积积函数函数视为视为两个函数之两个函数之积积,按按“反反对幂对幂指三指三”的的顺顺序序,我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解:令,则原式=例例6（补充题）（补充题）求4/30/202432解解:令令,则则原式原式=例例6（补补充充题题）求）求8/1/202332我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物本节小结本节小结2.分部积分公式分部积分公式(1)使用原则使用原则:易求出易求出,易积分易积分(2)使用经验使用经验:“反对幂指三反对幂指三”,前前 u 后后(3)题目类型题目类型:分部化简分部化简;循环解出循环解出;递推公式递推公式1.换元积分法换元积分法 4/30/202433本本节节小小结结2.分部分部积积分公式分公式(1)使用原使用原则则:易求出易求出,易易积积分分(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物课后练习习题习题4-3 2单数单数;3单数单数思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同下列各题求积方法有何不同?4/30/202434课课后后练习习题练习习题4-3 2单单数数;3单单数思考与数思考与练习练习1.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.下列积分应如何换元才使积分简便下列积分应如何换元才使积分简便?令令令4/30/2024352.下列下列积积分分应应如何如何换换元才使元才使积积分分简简便便?令令令令令令8/1/202我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3.求下列积分:4/30/2024363.求下列求下列积积分分:8/1/202336我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4.下述运算错在哪里下述运算错在哪里?应如何改正应如何改正?得 0=1答答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.求此积分的正确作法是用换元法.4/30/2024374.下述运算下述运算错错在哪里在哪里?应应如何改正如何改正?得得 0=1答答:不不我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物求不定积分解：解：利用凑微分法,原式=令得5.4/30/202438求不定求不定积积分解：利用凑微分法分解：利用凑微分法,原式原式=令得令得5.8/1/202
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