一元二次方程根的判别式及根与系数的关系课件

2006.32006.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 两不相等实根两不相等实根两相等实根两相等实根无实根无实根一元二次方程一元二次方程一元二次方程 根的判式是:判别式的情况判别式的情况根的情况根的情况定理与逆定理定理与逆定理两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解)探究题探究题解下列方程，找出规律并加以说明。解下列方程，找出规律并加以说明。由（由（1）（）（2）（）（3）你能得到什么猜想）你能得到什么猜想？你能说明你的猜想吗？你能说明你的猜想吗？a04a20配方法配方法当当时，时，方程方程有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根：当当时，时，当当时，时，方程方程有两个相等的实数根有两个相等的实数根：方程方程没有实数根没有实数根.一、知识要点知识要点1、一元二次方程、一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）的根的判别式）的根的判别式=；2、一元二次方程、一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）（1）有两个相等的实根的条件）有两个相等的实根的条件 ；（2）有两个不相等的实根的条件）有两个不相等的实根的条件 ；（3）有两个实根的条件）有两个实根的条件 ；（4）有两个正根的条件）有两个正根的条件 ；有两个负根；有两个负根的条件的条件 ；有两异号根的条件；有两异号根的条件 ；（5）一根比）一根比m大，一根比大，一根比m小的条件小的条件 ；b b2 2-4ac-4acb b2 2-4ac=0-4ac=0b b2 2-4ac-4ac0 0b b2 2-4ac0-4ac0例例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）（3）（2）解：解：（1）=判别式的应用判别式的应用:所以，原方程有两个不相等的实根。所以，原方程有两个不相等的实根。说明说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出，然后对，然后对进行计算，使进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号明朗化，进而说明的符号的符号情况，得出结论。情况，得出结论。1 1、不解方程，判别方程的根的情况、不解方程，判别方程的根的情况 例例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：、不解方程，判断下列方程的根的情况：所以，此方程有两个不相等所以，此方程有两个不相等的实数根。的实数根。解：因为解：因为解：因为解：因为0例例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：、不解方程，判断下列方程的根的情况：解：把此方程化为：因为所以，此方程有两个相等的实数根。所以，此方程有两个相等的实数根。=0归纳步骤：归纳步骤：1.化化为为一一般般式式，确确定定a、b、c的的值值2.计算计算的值，确定的值，确定的符号的符号 3.判判别别根根的的情情况况，得得出出结结论。论。1.1.不解方程，判断下面关于不解方程，判断下面关于X的方程根的情况。的方程根的情况。或：方程有两个实数根的。或：方程有两个实数根的。例求证：关于例求证：关于x的方程：的方程：有两个不相等的实根。有两个不相等的实根。证明：证明：所以，无论所以，无论m取任何实数取任何实数,方程有两个不相等的实数根。方程有两个不相等的实数根。无论无论m取任何实数都有：取任何实数都有：若已知条件改为若已知条件改为“这个方程有实数根这个方程有实数根”，则则a的取值范围是的取值范围是_a1/3练习练习.已知一元二次方程已知一元二次方程3x2-2x+a=0有两个不相等的有两个不相等的实数根，则实数根，则a的取值范围是的取值范围是_a1/3例例2：当：当k取什么值时，已知关于取什么值时，已知关于x的方程：的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；）方程无实根；解：解：=(1).当当0，方程有两个不相等的实根方程有两个不相等的实根,8k+9 0,即即 (2).当当=0，方程有两个相等的实根方程有两个相等的实根,8k+9=0,即即 (3).当当 0，方程有没有实数根方程有没有实数根,8k+9 03 3、证明方程根的情况、证明方程根的情况说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出，如果，如果不能直接判断不能直接判断情况，就利用配方法把情况，就利用配方法把配成含用完全平方的配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断形式，根据完全平方的非负性，判断的情况，从而证明出方的情况，从而证明出方程根的情况程根的情况.练习练习：1、不解方程，判别下列方程的根的情况不解方程，判别下列方程的根的情况（1）（3）（2）2、已知关于、已知关于x 的方程：的方程：有两个有两个 不相等的实数根，不相等的实数根，k为实数，求为实数，求k 的取值范围。的取值范围。3、设关于、设关于x 的方程：的方程：，证明，不论，证明，不论m为何为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。值时，方程总有两个不相等的实数根。例：求证方程例：求证方程mx2+（m+6）x+3=0必有实根必有实根证明：分两种情况证明：证明：分两种情况证明：（1）m=0，原方程化为一元一次方程，原方程化为一元一次方程 6x+3=0此方程必有实根此方程必有实根 x=0.5（2）m 0，原方程为一元二次方程，原方程为一元二次方程 0此方程必有两个不相等的实数根此方程必有两个不相等的实数根综合上述两种情况，原方程必有实根。综合上述两种情况，原方程必有实根。例例1：已知关于：已知关于x的方程的方程 （1）有两个不相等的实数根，求）有两个不相等的实数根，求t的取值范围；的取值范围；（2）有两个相等的实数根；）有两个相等的实数根；（3）没有实数根）没有实数根.解：解：方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根 t 1时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根.例例2：关于：关于x的二次方程的二次方程 有两个不相等的实数根，求有两个不相等的实数根，求k的最大整数的最大整数.解：解：原原方程是关于方程是关于x的二次方程的二次方程 k 1 0，即，即k 1.又由又由 得得k0 方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根 例例1：已知：已知：a、b、c是是ABC的三边，若方程的三边，若方程 有两个等根，试判断有两个等根，试判断ABC的形状的形状.解：解：方程有两个等根方程有两个等根 即即 4b2+4c2 8ab 8ac+8a2=04（a b）2+4（a c)2=0 a=b=c ABC是等边三角形是等边三角形解：解：方程方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根，有两个相等的实根，方程方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根，有两个不等的实根，方程方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根，无实根，把把4n=m2+8m-8代入上两式得代入上两式得 m为整数为整数m=2，n=3.=(4+m)2-4(n+6)=0，即，即m2+8m-8=4n =(7-m)2-4(3+n)0，=(m-4)2-4(n+1)0.已知：已知：m m、n n为整数，关于为整数，关于x x的二次方程的二次方程x x2 2+(7-m)x+3+n=0+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，x x2 2+(4+m)x+n+6=0+(4+m)x+n+6=0有两个相等有两个相等的实数根，的实数根，x x2 2-(m-4)x+n+1=0-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求没有实数根，求m m、n n的值的值.m是有理数，当是有理数，当k为何值时，方程为何值时，方程 x2 4mx+4x+3m2 2m+4k=0根为有理数。根为有理数。解：解：x2+（1 4m）x+3m2 2m+4k=0要使方程有有理根，只需使要使方程有有理根，只需使4m2 24m 16k+16为完全平方式，只需使为完全平方式，只需使一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程的根与系数的关系：若若 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 的两根为的两根为 X X1 1、x x2 2，则，则x x1 1+x+x2 2=；x x1 1x x2 2=；4 4、以、以x x1 1、x x2 2为根（二次项系数为为根（二次项系数为1 1）的一）的一元二次方程为元二次方程为 ；基础训练基础训练1 1、方程、方程 2x2x2 2-9x+2=0 -9x+2=0 的两根为的两根为x x1 1、x x2 2 ，则，则x x1 1+x+x2 2=；x x1 1x x2 2=；则则 ；=;2 2、以、以2 2，-3-3为根的一元二次方程是为根的一元二次方程是 ；3 3、方程、方程4x4x2 2+4kx+k+4kx+k2 2=0=0的一个根是的一个根是-2-2，则，则k=k=；4 4、若关于、若关于x x的方程的方程 （m+3m+3）x x2 2+（2m+52m+5）x+mx+m=0=0，有两个实根，则，有两个实根，则m=m=；5 5、已知、已知、是方程是方程x x2 2-x-1=0-x-1=0的两实根，则的两实根，则2 2+2+22 2+=；6 6、已知：、已知：m m、n n是方程是方程x x2 2+2x-1=0+2x-1=0的两根，则（的两根，则（m m2 2+3m+3+3m+3）（n n2 2+3n+3+3n+3）=；7 7、已知、已知a a、b b满足满足6a=a6a=a2 2+4+4，6b=b6b=b2 2+4+4，求求8 8、在一元二次方程、在一元二次方程x x2 2+bx+c=0+bx+c=0中，若实数中，若实数b b和和c c在在1 1，2 2，3 3，4 4，5 5中取值，则其中有不等实数解的方程有中取值，则其中有不等实数解的方程有 个。个。1 1、已知方程、已知方程x x2 2-2-2（m+2m+2）x+2mx+2m2 2-1=0-1=0，且，且x x1 12 2-x-x2 22 2=0=0，求，求m m的值；的值；2 2、已知关于、已知关于X X的方程的方程x x2 2+（2m+12m+1）x+mx+m2 2-2=0-2=0的两实根的的两实根的平方和为平方和为1111，求证：关于求证：关于x x的方程（的方程（k-3k-3）x x2 2+kmx-m+kmx-m2 2+6m-4=0+6m-4=0一定有实一定有实根根3 3、已知等腰、已知等腰ABC ABC 的两边的两边a a、b b是方程是方程x x2 2-kx+12-kx+12=0=0的两根，第三边的两根，第三边C=4C=4，求求k k、a a、b b的值的值4、已知方程组、已知方程组 的两个解是的两个解是 ，且，且x1x2（1）求）求实数数k的取的取值范范围（2）当）当k为何何值时，只有一个，只有一个实数解？数解？（3）若）若y1y2+k（x1+x2）=4，求，求实数数k的的值例例1 把把分解因式分解因式因式分解：因式分解：（1 1）3x3x2 2+5x-3+5x-3（2 2）-2x-2x2 2+7x-4+7x-4（3 3）x x2 2-6x-3-6x-3解：设方程的另一个根为解：设方程的另一个根为x1，那么，那么用配方法证明用配方法证明：关于关于x x的方程（的方程（m m -12m+37-12m+37）x x +3mx+1=0+3mx+1=0，无论，无论m m取何值，此方程都是一元二次方程取何值，此方程都是一元二次方程2 2、已知关于、已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 24x4xm m1 10 0。(1)(1)请你为请你为m m选取一个合适的整数，使得到的方程有两选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；个不相等的实数根；(2)(2)设设、是是(1)(1)中你所得到的方程的两个实数根，中你所得到的方程的两个实数根，求求2 22 2的值。的值。当当x x变化时，分式变化时，分式 的最小值是多少？的最小值是多少？解：原式解：原式=故当故当x=-1x=-1时，原式有最小值时，原式有最小值4 4。已知已知3-3-是方程是方程x x2 2+mx+7=0+mx+7=0的一个根的一个根,则则m=m=,另一根为另一根为 .国家为了加强对香烟产销的宏观管理国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实对销售香烟实行征收附加税政策行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为场价格为7070元元,不加收附加税时不加收附加税时,每年产销每年产销100100万条万条,若若国家征收附加税国家征收附加税,每销售每销售100100元征税元征税x x元元(叫做税率叫做税率x%),x%),则每年的产销量将减少则每年的产销量将减少10 x10 x万条万条.要使每年对此项经营所要使每年对此项经营所收取附加税金为收取附加税金为168168万元万元,并使香烟的产销量得到宏观控并使香烟的产销量得到宏观控制制,年产销量不超过年产销量不超过5050万条万条,问税率应确定为多少问税率应确定为多少?