【金融数学】年金--课件

金融数学（引论）1PPT课件第二章第二章 年金年金 年金年金(annuity)指以相等的时间间隔进行的一系列指以相等的时间间隔进行的一系列收付款行为收付款行为,也指以固定的时间周期以相对固定的方式发也指以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流生的现金流,例如投保、领保、房贷等例如投保、领保、房贷等注注:本书涉及的年金均默认为本书涉及的年金均默认为确定年金确定年金(annuity-certain)，即无条件确定发生的年金，即无条件确定发生的年金2PPT课件年年金金现金金流流是是许多多复复杂现金金流流的的基基础，是是利利率率计算算的的最最直直接的一种接的一种应用用年金的年金的计算算问题主要包括年金的主要包括年金的现值和和终值计算两大算两大类付款期付款期(payment period)指两次年金收指两次年金收取之间的时间间隔取之间的时间间隔注注：默认为时间间隔相等默认为时间间隔相等3PPT课件2.1 基本年金基本年金 基本年金基本年金 一种最简单的年金方式满足一种最简单的年金方式满足1）付款时期间隔相等）付款时期间隔相等2）每次付款额度相同）每次付款额度相同3）付款的频率与计息的频率相同）付款的频率与计息的频率相同 基本年金主要可分为期末年金和期初年金两基本年金主要可分为期末年金和期初年金两种典型情形种典型情形4PPT课件期末年金期末年金(annuity-immediate)期末年金期末年金 年金的现金流在第一个付款期末首年金的现金流在第一个付款期末首次发生，随后依次分期进行。次发生，随后依次分期进行。n 期标准期末年金期标准期末年金每次的年金金额为每次的年金金额为 1 个货币个货币单位，现金流在第一个付款期末首次发生，共计单位，现金流在第一个付款期末首次发生，共计n 次。次。时间流程图：时间流程图：5PPT课件记号记号 表示比较日选为表示比较日选为 0 时刻的时刻的n 期期标准期末年金的所有年金金额的标准期末年金的所有年金金额的现值现值之和，之和，简记简记“”。注注:记号记号 也可以表示利率也可以表示利率i 环境中的标准期环境中的标准期末年金的现金流。末年金的现金流。注注:记号记号 中中“a”是年金的英文单词的第一是年金的英文单词的第一个字母，个字母，n 表示年金现金流的次数，表示年金现金流的次数，i 表示年表示年金的计算利率。金的计算利率。计算公式为：计算公式为：6PPT课件基本公式基本公式:即即:0 时刻一个货币单位的价值时刻一个货币单位的价值 =(0,n上每次上每次(利息利息)收入收入 i 的现金流价值的现金流价值()+n时刻一个货币单位的现值时刻一个货币单位的现值()2)即即:0 时刻一个货币单位的价值时刻一个货币单位的价值 =(0,n上对应的上对应的n期期末年金现金流期期末年金现金流()1)7PPT课件记号记号 表示标准期末年金的所有年金金表示标准期末年金的所有年金金额在年金结束时刻的额在年金结束时刻的终值终值之和之和,简记简记“”计算公式为：计算公式为：基本公式：基本公式：1）8PPT课件即：即：0 时刻一个货币单位在时刻一个货币单位在n 时刻的价值时刻的价值 =(0,n上每次上每次(利息利息)收入收入i的现金流终值的现金流终值()+n时刻一个货币单位时刻一个货币单位(本金本金)2)即：即：n 时刻一个货币单位的价值时刻一个货币单位的价值 =(0,n上对应的上对应的n 期期末年金现金流期期末年金现金流()9PPT课件与 关系式1）注注：为期初到期末的累积因子为期初到期末的累积因子 2)注注：由由 1)可得可得10PPT课件例例：Find the present value of an annuity which pays$500 at the end of each half-year for 20 years if the rate of interest is 9%convertible semiannually.11PPT课件解解:注注:年金的要求是定期支付年金的要求是定期支付,间隔相等间隔相等,但却不但却不一定是一定是“年度年度”的。具体计算可利用年金表或的。具体计算可利用年金表或直接做数值计算。直接做数值计算。例例:现有十年期现有十年期50万元贷款，年利率万元贷款，年利率8%,试比较以下试比较以下三种还贷方式的应付利息情况三种还贷方式的应付利息情况:12PPT课件A 在第十年底一次付清在第十年底一次付清B 每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清C 每年底偿还固定的金额，十年还清每年底偿还固定的金额，十年还清解解:方式方式 A:在第十年底的一次还款为在第十年底的一次还款为其中的利息为其中的利息为:应付利息约为五十八万元应付利息约为五十八万元13PPT课件方式方式 B:每年所付利息为每年所付利息为 总的利息付出为总的利息付出为 应付利息为应付利息为40万元万元方式方式 C:设每年的还款额为设每年的还款额为 R，价值方程价值方程解出解出14PPT课件10 年的付款总额为年的付款总额为其中的利息总额为其中的利息总额为应付利息约为应付利息约为 25 万元万元注注:虽然三种应付利息结果不同虽然三种应付利息结果不同,但所有还款的但所有还款的现值是相同的现值是相同的=原始贷款额原始贷款额思考思考:为什么方式为什么方式C 的利息金额较方式的利息金额较方式A 和方和方式式B明显的小明显的小?15PPT课件期初年金期初年金(annuity-due)期初年金期初年金 在合同生效时立即发生首次的在合同生效时立即发生首次的现金流，随后依次分期进行的年金方式现金流，随后依次分期进行的年金方式n 期标准期初年金期标准期初年金每次的年金金额为每次的年金金额为 1 个个货币单位，在合同生效时立即发生首次的现货币单位，在合同生效时立即发生首次的现金流，共计金流，共计n次次时间流程图时间流程图16PPT课件记号记号表示表示标准期初年金的现值之和标准期初年金的现值之和记号记号表示标准期初年金的终值之和表示标准期初年金的终值之和17PPT课件与的关系式1）2)注注:注意与期末年金的相应公式比较注意与期末年金的相应公式比较18PPT课件期末年金与期初年金的关系式期末年金与期初年金的关系式1）2）3)4）注注：从现金流的角度来考虑从现金流的角度来考虑19PPT课件例：某人现在开始每年定期地投入相同的一笔钱，希例：某人现在开始每年定期地投入相同的一笔钱，希望在第十二年底（下一年度定期投入的前一瞬间）得望在第十二年底（下一年度定期投入的前一瞬间）得到到1 百万元的回报，如果年利率为百万元的回报，如果年利率为7%，试计算每年试计算每年的投入金额。的投入金额。解解:设每年的投入额为设每年的投入额为R,第十二年底的价值方程为第十二年底的价值方程为从而有从而有即即:每年初投入每年初投入5万万2千元，到千元，到12 年底总累积值为年底总累积值为1百万元百万元20PPT课件递延年金递延年金（deferred annuity）递延年金递延年金 若年金的首次发生是递延了一若年金的首次发生是递延了一段时间后进行的。段时间后进行的。递延递延m期的递延年金时间流程图期的递延年金时间流程图21PPT课件从现金流看，该年金相当于一个从现金流看，该年金相当于一个m+n期期末年期期末年金扣除一个金扣除一个m期期末年金，即期期末年金，即 ,其数其数值等于值等于结论：递延年金的现值为两个定期年金的现值之差结论：递延年金的现值为两个定期年金的现值之差思考：递延年金的终值是否也为两个定期年金的终思考：递延年金的终值是否也为两个定期年金的终值之差？值之差？注注：类似的有类似的有“递延递延m期的期的n期标准期初年金期标准期初年金”22PPT课件永久年金永久年金永久年金永久年金（perpetuity）若年金的支付若年金的支付（现金流）永远进行下去，没有结束的日期（现金流）永远进行下去，没有结束的日期记号记号 表示标准永久期末年金的现值表示标准永久期末年金的现值之和，即有之和，即有注注:23PPT课件注：注：对于标准永久期初年金有对于标准永久期初年金有 n期标准期末年金可用一个标准永久年金期标准期末年金可用一个标准永久年金扣除一个递延扣除一个递延n期的标准永久年金表示，相应期的标准永久年金表示，相应流程图为：流程图为：24PPT课件例：某人留下遗产例：某人留下遗产10万元。第一个十年将每年的利息万元。第一个十年将每年的利息付给受益人甲，第二个十年将每年的利息付给受益人付给受益人甲，第二个十年将每年的利息付给受益人乙，二十年后将每年的利息付给受益人丙且一直进行乙，二十年后将每年的利息付给受益人丙且一直进行下去，均为年底支付。如果年利率为下去，均为年底支付。如果年利率为7%，试计算三，试计算三个受益人的相对受益比例。个受益人的相对受益比例。解：甲的受益现值为：解：甲的受益现值为：乙的受益相当于七千份递延十年的十年定期标乙的受益相当于七千份递延十年的十年定期标准期末年金准期末年金,现值为现值为:25PPT课件丙的受益相当于七千份递延二十年的标准永丙的受益相当于七千份递延二十年的标准永久期末年金久期末年金,现值为现值为:结论：从而从现值的角度看，甲乙丙的受益结论：从而从现值的角度看，甲乙丙的受益比例近似为：比例近似为：49%、25%和和 26%。注注:因为因为 ，所以丙相当于在，所以丙相当于在二十年后完全继承了十万元。二十年后完全继承了十万元。26PPT课件剩余付款期不是标准时间单位的计算剩余付款期不是标准时间单位的计算问题的提出：问题的提出：现值为取整的货币量，年金值也为取整的货现值为取整的货币量，年金值也为取整的货币量，当两者不能平衡的时候，如何对零碎的币量，当两者不能平衡的时候，如何对零碎的部分进行处理？部分进行处理？例：原始投入例：原始投入500 元，年金为元，年金为100 元，年利率元，年利率3%。若年金为。若年金为 5 年期，则上述年金的现值为年期，则上述年金的现值为457.97 与原始投入不平衡；若年金为与原始投入不平衡；若年金为 6 年期，年期，则上述年金的现值为则上述年金的现值为541.72，与原始投入也不，与原始投入也不平衡。平衡。27PPT课件解决方案一解决方案一:最后一次付款最后一次付款额度上浮度上浮第第 5 次付款次付款额度由原先的度由原先的100 元上浮元上浮为解决方案二：最后一次付款解决方案二：最后一次付款额度扣减度扣减第第 6 次付款次付款额度由原先的度由原先的100 元扣减元扣减为解解决决方方案案三三：从从模模型型的的内内在在一一致致性性出出发，在在时刻刻5 与与时刻刻6 之之间再增加一次付款（再增加一次付款（额度小于度小于100元），元），使得所有付款的使得所有付款的现值之和恰好等于之和恰好等于500 元元 思思考考：什什么么时刻刻付付款款、额度度多多少少可可以以达达到到上上述述要要求求？28PPT课件定义：对于任意的定义：对于任意的 形式上定义下面形式上定义下面的计算：的计算：上式右边的第二项表示上式右边的第二项表示:在时刻在时刻n+t的不足一个的不足一个货币单位的年金金额货币单位的年金金额 在在 0 时刻的现值时刻的现值注注:数学形式上的一致性数学形式上的一致性 利息理论应用29PPT课件例例:在上例中在上例中,设最后一次付款时间为设最后一次付款时间为 ，则由，则由可解出可解出相应最后一次的付款额度应为相应最后一次的付款额度应为30PPT课件例例 现有有十十万万元元的的投投资，年年利利率率 5%，每每年年底底定定期期收收回回 1 万万元元，试问：这样的的定定期期回回报可可以以进行行多多少少年年?对不不足足 1 万万元元的最后一次回的最后一次回报部分，按以下三种情况：部分，按以下三种情况：分分别计算回算回报金金额：A 不足部分与最后一次正常回不足部分与最后一次正常回报同同时收回收回 B 不足部分在最后一次正常回不足部分在最后一次正常回报的下一年底收回的下一年底收回 C 不不足足部部分分在在最最后后一一次次正正常常回回报的的下下一一年年的的某某个个等等价价时间收回收回31PPT课件解解 时间流程图为时间流程图为 ：计算最大的正常回报的时间计算最大的正常回报的时间 n n：32PPT课件查表可得：查表可得：从而有从而有 n=14n=14 .和和 分分别别表表示示三三种种方方式式对对应应的的不不足足部部分分的的金金额额，则有：则有：33PPT课件在方式在方式 C C中中,先计算先计算 t t：即即 得到得到 t=0.2067t=0.2067进而有进而有注注 34PPT课件例例:某某人人每每年年(年年底底)存存入入10001000元元,利利率率 8%,8%,希希望望经经过过若若干干年年后后达达到到 25,000 25,000 元元,若若最最后后一一次次不不足足10001000元元的的存存款款将将在在正正常常存存款款的的一一年年后后进进行行。试计算正常存款的年数和最后一次存款的金额。试计算正常存款的年数和最后一次存款的金额。解解：设设最最后后一一次次的的存存款款额额为为X,X,为为了了实实现现存存款目的款目的,在存款结束时的价值方程为在存款结束时的价值方程为 查表可得查表可得35PPT课件若若n=13，则可得可得X=17851000若若n=14，则可得可得X=-11520,Q为任意任意实数，相数，相应流程流程图如果用如果用A表示表示这种期末年金的种期末年金的现值，则有有68PPT课件69PPT课件注注：可以是可以是负数表示年金金数表示年金金额随随时间递减减,但要求但要求(标准准)递增年金增年金(increasing annuity):现值用用表示，即表示，即70PPT课件上式可以表示为上式可以表示为 ,即每次在即每次在期初投资期初投资 1元的现值之和等于这种投资的利息元的现值之和等于这种投资的利息(每年每年递增递增 i)现值之和及本金之和现值之和及本金之和(n)的现值的现值 流程图为流程图为 利息之和 i 2i .(n-1)i ni 本金之和 1 2 3 .n n 年金金额 1 1 1 .1 0 1 2 n-1 n 71PPT课件思考:通过对现金流进行变化,如何直接计算 注 可以利用永久年金直接计算,即 利用标准递增年金现值公式可以对一般变化年金现值进行计算 72PPT课件(标准)递增年金的终值用 表示,即 例:将标准递增期末年金理解为一组固定年金的组合 解:流程图为 73PPT课件 0 1 2 t n-1 n 递增年金 1 2 t n-1 n 固定年金 1 1 1 1 1 1 1 .1 由流程示意图可以推知结论成立74PPT课件递减年金递减年金(decreasing annuity)若 ,则称此变化年金为标准递减期末年金 n n-1 .1 0 1 2 .n 现值用现值用 表示表示 注注 75PPT课件终值用终值用 表示表示 例例:可以将递减年金理解为一组固定年金的组合可以将递减年金理解为一组固定年金的组合 解解:由其流程图可以得到结论。由其流程图可以得到结论。注注 注意比较递增和递减两种方式注意比较递增和递减两种方式76PPT课件一般变化年金也可以表示为一组固定年金的和一般变化年金也可以表示为一组固定年金的和 流程图为 0 1 2 t n 变化年金 P P+Q P+(t-1)Q P+(n-1)Q固定年金 P P P P Q Q Q .Q 77PPT课件注：以上的所有结论都可以推广到期初年金的情形以上的所有结论都可以推广到期初年金的情形,只是所只是所有表达式分母中的有表达式分母中的 i 都要换成都要换成 d 变化的期末永久年金 现值公式为现值公式为 (Q取正数取正数)变化的期末永久年金变化的期末永久年金 现值公式为现值公式为 78PPT课件例例:“rainbow immediate”流程图为流程图为 1 2 n n-1 n-2 1 0 1 2 n n+1 n+2 2n-1 年金的现值为年金的现值为 注C 由现金流转换可以直观求解 79PPT课件例:“paused rainbow immediate”流程图为 1 2 n n n-1 1 0 1 2 n n+1 n+2 2n 年金的现值为 注 由现金流转换可以直观求解 80PPT课件比例变化年金 年金的金额是比例变化的：首付年金的金额是比例变化的：首付 1 元，随后每次增加元，随后每次增加k倍，倍，总共总共n次，则年金的现值为次，则年金的现值为 注注 期末年金，且公式要求期末年金，且公式要求i k。当。当i=k 时，利率与年金增时，利率与年金增长比例相同，相当于每次付款的现值相同，均为长比例相同，相当于每次付款的现值相同，均为v，n次次付款的现值之和为付款的现值之和为 n v 注注 当当k 利息换算期利息换算期 付款期付款期=k 利息换算期利息换算期 总的付款次数总的付款次数=n/k 注注 n是付款总时间，用利息换算期度量的结果，是付款总时间，用利息换算期度量的结果，n是是k的整倍数的整倍数 i =每个利息换算期的实利率每个利息换算期的实利率84PPT课件考虑首付考虑首付 1元，随后每次递增元，随后每次递增 1元的方式元的方式 记现值为记现值为A，则有，则有 从而有从而有 两式相减可得两式相减可得85PPT课件化简后有化简后有 注：注：当当 k=1 时时,上式退化为递增年金上式退化为递增年金 例例:计算下面永久年金的现值计算下面永久年金的现值:第三年底第三年底 1 元元,第第六年底六年底 2元元，第九年底，第九年底3元元,依此类推。依此类推。解：用解：用A表示这个现值，表示这个现值，则有则有 86PPT课件其中其中 ,i为年实利率为年实利率 由由 可得可得 化简后有化简后有 87PPT课件2.付款期付款期 利息换算期利息换算期 利息换算期为利息换算期为 n，每个利息换算期付款，每个利息换算期付款m次次总的付款次数总的付款次数=nm i =每个利息换算期的实利率每个利息换算期的实利率 考虑以下两种年金付款方式考虑以下两种年金付款方式:情形情形 1)付款额的变化与利息换算期同步付款额的变化与利息换算期同步 标准情形为标准情形为:在前在前 m次付款中次付款中(例如例如:第一年内第一年内),88PPT课件年金为年金为 ;第二个第二个m周期内周期内(第二年内第二年内)的年金金额为的年金金额为 。随后依此类推。随后依此类推,最后一个利息换算期内的年金金额最后一个利息换算期内的年金金额为为 。用用 表示这种年金的现值。它等价于：在第表示这种年金的现值。它等价于：在第一年底一次支付一年底一次支付 ，在第二年底一次支付，在第二年底一次支付 ，依，依此类推。此类推。从而有从而有89PPT课件注注:一般的一般的,表示下面这种年金的现值：第表示下面这种年金的现值：第一个周期内的付款额为一个周期内的付款额为 ，第二个周期内的付款，第二个周期内的付款额为额为 ，第，第n个周期内的付款额为个周期内的付款额为 。例：某三年期按月付款的年金方式为：第一年内每月例：某三年期按月付款的年金方式为：第一年内每月底付款底付款 1000 元，第二年每月底付款元，第二年每月底付款 2000 元，第三年元，第三年每月底付款每月底付款 3000元。求该年金的现值。元。求该年金的现值。90PPT课件解解 ：m=12=12，n=3=3，R=1000，m=12000，从从而而这这该该年年金金的的现现值值为为 情形情形 2)付款额的变化与付款期同步付款额的变化与付款期同步标准情形为：首付标准情形为：首付 ，以后每次增加以后每次增加 。第一个利息换算期内的最后一次付款额为第一个利息换算期内的最后一次付款额为 第二个利息换算期内的最后一次付款额为第二个利息换算期内的最后一次付款额为 91PPT课件该年金的现值用该年金的现值用 表示表示。最后一个（第最后一个（第n个）利息换算期内的最后一次付款额为个）利息换算期内的最后一次付款额为92PPT课件第一个周期内的首付款为第一个周期内的首付款为 ，然后每次增加，然后每次增加 。代表下面这种年金的现值：代表下面这种年金的现值：从而第一个周期结束时的最后一次付款额为从而第一个周期结束时的最后一次付款额为 ，第第 n个周期结束时的最后一次付款额为个周期结束时的最后一次付款额为 。93PPT课件例例：某某三三年年期期按按月月付付款款方方式式的的年年金金为为：第第一一个个月月底底为为 100元元，第第二二个个月月底底为为 200元元，.,依依此此类类推推，每每月月增增加加 100元元，第第一一年年底底的的付付款款额额为为 12001200元元，第第二二年年底底的的付付款款额额为为 24002400元元，第第三三年年底底的的最最后后一一次次付付款款额额为为 36003600元。求该年金的现值。元。求该年金的现值。解解：m m=12=12，n n=3=3，R R=100=100144 144=1440014400，设设年年实实利利率率为为 i，则年金现值为则年金现值为 94PPT课件例例：计计算算以以下下年年金金在在第第十十年年底底的的终终值值：从从现现在在开开始始每每半半年年一一次次，首首付付 2000元，然后每次减少元，然后每次减少 2%，共计共计 1010次。季结算名利率次。季结算名利率 10%10%。解解：按基本原则计算年金的终值为：按基本原则计算年金的终值为 95PPT课件流程图为（假设流程图为（假设 ）情形情形 3)付款金额任意变化的年金现值付款金额任意变化的年金现值时刻时刻 t t的付款金额为的付款金额为 ，t=1,2,n，则这种年金的现值为则这种年金的现值为 该年金相当于一组固定年金的和，即：该年金相当于一组固定年金的和，即：96PPT课件0 1 2 .t .n变化年金变化年金固定年金固定年金k=1 k=2k=n 97PPT课件若若f(t)=1，表示均匀支付年金，表示均匀支付年金若若f(t)=t，表示单调递增支付年金，该种连续年，表示单调递增支付年金，该种连续年金的现值用金的现值用 表示，从而有表示，从而有连续变化年金连续变化年金用用函函数数 f(t)表表示示时时刻刻t的的年年金金(率率)函函数数,则则用用实实利利率率i 表表示示的的n年年期期连连续年金现值为续年金现值为 98PPT课件利息理论应用第二章-2特特别的有的有:思考：思考：一一般般地地，用用一一般般利利息息力力函函数数 表表示示的的连续变化化年年金的金的现值公式公式为99PPT课件利息理论应用第二章-100例：例：n年连续年金，利息力函数为常数年连续年金，利息力函数为常数 ，年金年金(率率)函数函数 。求该年金的现值。求该年金的现值。解：经计算，得到以下现值结果解：经计算，得到以下现值结果100PPT课件2.4 2.4 实例分析实例分析固定养老金固定养老金计划划1.一般情形一般情形责任任:未退休未退休时,每月初存入一定金每月初存入一定金额,具体方式具体方式为:25 岁 29 岁 月付月付30 岁 39 岁 月月付付 40 岁 49 岁 月月付付 50 岁 59 岁 月月付付权益：从退休益：从退休时（60 岁）开始，每月初）开始，每月初领取取P 元元的退休金，一直的退休金，一直进行二十年。行二十年。利息理论应用第二章-101101PPT课件问题:在在给定年利率定年利率 i 的条件下的条件下,分析退休基金的存款分析退休基金的存款金金额 和和最最终的的月月退退休休金金(P)的关系。的关系。2.考考虑25 岁参加养老参加养老计划划,基本的价基本的价值方程方程为:于是于是利息理论应用第二章-102102PPT课件这是因为有：103PPT课件例：年利率例：年利率 i=10%。因此有：。因此有：=8.5136；=271.0244271.0244；=164.4940=164.4940；=57.2750=57.2750；=15.9374=15.9374具体的存款方式具体的存款方式为：在在2525岁到到2929岁时，每月存款，每月存款200200元；元；在在3030岁到到3939岁时，每月存款，每月存款300300元；元；在在4040岁到到4949岁时，每月存款，每月存款500500元；元；在在5050岁到到5959岁时，每月存款，每月存款10001000元。元。分分别对不同年不同年龄的的计划参加者划参加者计算月退休金。算月退休金。利息理论应用第二章-104104PPT课件解：解：1)1)恰好在恰好在2525岁开始加入养老金开始加入养老金计划划6060岁以以后后的的月月退退休休金金为PP=10,580.4810,580.48元元，即即：每每月月领取取约一万元的退休金，直至一万元的退休金，直至8080岁。注：注：(200,300,500,1000)2 2）从）从3030岁开始加入养老金开始加入养老金计划划利息理论应用第二章-105105PPT课件6060岁以以后后的的月月退退休休金金为PP=8077.898077.89元元,即即：每每月月领取取约八千元的退休金。八千元的退休金。注：注：(0(0,300,500,1000)3)3)从从4040岁开始加入养老金开始加入养老金计划划即即:60:60岁以后的月退休金以后的月退休金为：P=4299.73P=4299.73元，即：元，即：每月每月领取取约四千元的退休金。四千元的退休金。注：注：(0,0,500,1000)利息理论应用第二章-106106PPT课件购房分期付款引入如下引入如下记号：号：P 总的房款金的房款金额（房价）（房价）k 一次性付款比例（首付比例）一次性付款比例（首付比例）i 年利率（年利率（实）n 分期付款年数分期付款年数R 每月付款金每月付款金额（月底）（月底）则有有利息理论应用第二章-107107PPT课件从而每月付款从而每月付款 例：已知例：已知P=500000，k=30%，i=8%，=.077208求相求相应贷款期等于五年、八年、十年的每月款期等于五年、八年、十年的每月还款款R R。解：解：1 1）分分五五年年付付清清。，得得到到：R=7050.05。每月付款每月付款约七千元。七千元。2 2）分分八八年年付付清清。，得得到到：R=4898.33。每月付款近五千元。每月付款近五千元。利息理论应用第二章-108108PPT课件3 3）分分十十年年付付清清。，得得到到R=4194.98。每月付款每月付款约四千元。四千元。u年金利率的近似年金利率的近似计算算已知年金的已知年金的现（终）值，反解年，反解年实利率是年金利率是年金计算算中常中常见的基本的基本问题，通常可以通，通常可以通过迭代算法求数迭代算法求数值解，也可以利用解，也可以利用ExcelExcel直接求数直接求数值解。解。利息理论应用第二章-109109PPT课件例：已知当前投入例：已知当前投入为12 万元，随后的万元，随后的5 年中每年底年中每年底收益收益2 万万2 千元，千元，试计算年算年实利率。利率。解：解：设i为年年实利率，利率，则有如下等式有如下等式化化简为下面反解下面反解i。方法一：（迭代法）方法一：（迭代法）对一般的一般的问题，设a 为现值，n为期限。期限。则有有i 为下面下面利息理论应用第二章-110110PPT课件方程的解：方程的解：首先利用首先利用简单的泰勒展开到平方的泰勒展开到平方项，取初，取初值：然后以下面的方法叠代然后以下面的方法叠代计算：算：停止的准停止的准则可以是可以是类似似形式的判形式的判别。利息理论应用第二章-111111PPT课件用用这个方法个方法计算本例，取算本例，取=0.05，则三次迭代三次迭代后即可后即可满足条件足条件=0.0708475方法二方法二：（：（Excel）用用规划求解直接求得划求解直接求得 i=0.0708475注：精度可以注：精度可以调整整例：例：计算下面年金的年算下面年金的年实利率利率 i：每个季度末投入：每个季度末投入100 元，在第五年底的元，在第五年底的终值为2500 元。元。利息理论应用第二章-112112PPT课件解：解：或或利用利用Excel 直接求解，得到：直接求解，得到：j=.022854从而所求年利率从而所求年利率i:注：注意添加注：注意添加约束束例：某人例：某人继承了一笔承了一笔遗产：从：从现在开始每年得到在开始每年得到10000 元。元。该继承人以年利率承人以年利率10%将每年的将每年的遗产收收入存入入存入银行。第五年底，在行。第五年底，在领取第六次年金之前，取第六次年金之前，利息理论应用第二章-113113PPT课件他将剩余的他将剩余的遗产领取取权益益转卖给他人，然后，将所他人，然后，将所得收入与前五年的得收入与前五年的储蓄收入合并，全部用于年收益蓄收入合并，全部用于年收益率率为12%的某种投的某种投资，若每年底的投，若每年底的投资回回报是相同是相同的，且的，且总计三十年，三十年，试计算每年的回算每年的回报金金额。注注：流程：流程图，永久年金，永久年金，转手收益率手收益率解解:设每年的回每年的回报金金额为X，则有有利息理论应用第二章-114114PPT课件例：考例：考虑以下两种以下两种等价的等价的期末年金方式：期末年金方式：A 首付首付6000 元，然后每年减少元，然后每年减少100 元，直至某年元，直至某年（k）底底,随后保持随后保持这种付款水平直至永种付款水平直至永远;B 每年底固定付款每年底固定付款5000 元。元。已知年利率已知年利率为6%，试计算算k（近似整数）。（近似整数）。注：注：现金流的不同形式金流的不同形式转化化利息理论应用第二章-115115PPT课件解解:方法一方法一:价价值方式方式为可得可得反反查年金表可知年金表可知利息理论应用第二章-116116PPT课件例例:某人在退休某人在退休时一次性得到退休金四十万元，他将一次性得到退休金四十万元，他将 其其中中的的一一部部分分（X）购买了了年年回回报率率为7%的的永永久久年年金金；剩剩余余部部分分购买了了年年回回报率率为10%的的十十年年期期债券券。已已知知他他前前十十年年的的年年收收入入是是后后十十年年的的两两倍倍，计算算永久年金的永久年金的买价。价。注注：这里里假假设国国债投投资收收入入平平均均分分配配在在前前十十年年的的每每一一年里面，且国年里面，且国债投投资收益不再收益不再进行投行投资利息理论应用第二章-117117PPT课件解解:设投投入入永永久久年年金金的的金金额为X，每每年年回回收收额为R，则有有从而从而 R=0.07X投入国投入国债的金的金额为400000-X，年收入，年收入为R,则有有从而从而利息理论应用第二章-118118PPT课件由由题设有有:即即:从而可得方程从而可得方程解出解出即即:退休金中的近二十八万元用于退休金中的近二十八万元用于购买永久年金永久年金.利息理论应用第二章-119119PPT课件例例:某汽某汽车商商计划采用如下的零售策略划采用如下的零售策略:1)若一次付清若一次付清车款款,价格价格为1 万元万元,或或2)以年利率以年利率8%提供提供4 年分期付款年分期付款(按月付款按月付款)已知当前市已知当前市场上商上商业消消费贷款的月款的月换算名算名义年利率年利率为12%,试分析第分析第2 种零售策略的当前成本。种零售策略的当前成本。解：解：该零售策略的月供款零售策略的月供款为：利息理论应用第二章-120120PPT课件按照当前市按照当前市场上商上商业消消费贷款的利率水平款的利率水平计算上述算上述月供款的当前价月供款的当前价值为：从而从而该零售策略的当前成本零售策略的当前成本为：10,000-9220.96=779.04元元相当于零售商相当于零售商优惠了惠了顾客客7.8%利息理论应用第二章-121121PPT课件附：有关年金附：有关年金终值的分析的分析例：解例：解释的的实际意意义关关键点：利点：利滚利利关关键公式：公式：利息理论应用第二章-122122PPT课件附：附：单利情形的年金利情形的年金计算算 形形式式上上仍仍然然可可以以考考虑年年金金的的价价值计算算，即即：年年金金在在某个某个时刻的价刻的价值（现值或或终值）为年金年金现金流累金流累计或或贴现到到该时刻的价刻的价值之和。之和。例：金例：金额为100 元的元的20 年期初年金，以年期初年金，以单利率利率i累累计到到20 年底的价年底的价值为2500 元元,如果以相同的利率按复如果以相同的利率按复利累利累计,价价值为多少多少?利息理论应用第二章-123123PPT课件解解:单利模式下有利模式下有复利模式下有复利模式下有注注:显然两种然两种计算方法的算方法的结果相差很大果相差很大利息理论应用第二章-124124PPT课件例例:单利利模模式式下下计算算年年金金,所所得得结果果对所所用用计算算方方式式 非常灵敏非常灵敏已知利率水平已知利率水平i,单利方式利方式,连续年金年金方方法法一一:对于于所所有有的的发生生金金额,在在同同一一时刻刻使使用用相相同同的利息力的利息力,即即从而年金的从而年金的现值为利息理论应用第二章-125125PPT课件年金的年金的终值为注注:现值与与终值之之间有有关关系系式式 ,与复利与复利模式下的模式下的结果果类似。似。方法二方法二:对于不同的于不同的发生金生金额,在同一在同一时刻依据投入刻依据投入时间的不同使用不同的利息力的不同使用不同的利息力,即即利息理论应用第二章-126126PPT课件 为金金额发生的生的时刻刻 等等价价的的，对任任意意的的时间区区间 ,以以 单 利利 率率 累累 计，则 时 刻刻 的的 1 元元 时 刻刻 t 的的 元元 显然然，年年金金的的现值不不变，而而年年金金的的终值变为现值与与终值之之间不再有关系式不再有关系式利息理论应用第二章-127127PPT课件