第八讲曲线积分与曲面积分(1)ppt课件

变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 第八讲 曲线积分与曲面积分 第八讲 1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 三部分内容 1.空间积分曲线的参数化 2.曲线积分对称性、格林公式 3.曲面积分的对称性、高斯公式 三部分内容 1.2变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分两类曲线积分计算的公式为两类曲线积分计算的公式为一、空间曲线的参数化一、空间曲线的参数化若积分曲线若积分曲线 的参数方程的参数方程 两类曲线积分计算的公式为一、空间曲线的参数化若积分曲线 3变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分计算的关键是如何将空间积分曲线计算的关键是如何将空间积分曲线 参数化。参数化。下面将给出积分曲线下面将给出积分曲线 参数化的一些常见方法。参数化的一些常见方法。由计算公式可以看出由计算公式可以看出计算的关键是如何将空间积分曲线 参数化。下面将给出积分曲线4变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分1.设积分曲线设积分曲线 ,从中消去某个从中消去某个自自变量变量,例如例如 ，得到，得到 在在xoy平面的投影曲线，平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先利用熟知这些投影曲线常常是园或是椭圆，先利用熟知的参数方程将它们表示成参数方程的参数方程将它们表示成参数方程 然后将它们代入到然后将它们代入到 ，解出解出由此得到：如下由此得到：如下 的参数方程：的参数方程：1.设积分曲线 ,从中消去某个自5变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例1 将曲线将曲线 ，(其中其中 )用参数方程表示。用参数方程表示。例1 将曲线 ，(其中 6变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第八讲曲线积分与曲面积分(1)ppt课件7变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2.2.若若 的方程组中含有园、椭圆或球的方的方程组中含有园、椭圆或球的方程时，可充分利用园、椭圆或球的大家所熟程时，可充分利用园、椭圆或球的大家所熟知的知的 园的参数方程园的参数方程 x=rcost，y=rsint，椭圆参数方程椭圆参数方程 x=acost，y=bsint，球坐标球坐标 先将其参数化，再代入先将其参数化，再代入 的另一方程，求的另一方程，求出另一变量的参数表达式。出另一变量的参数表达式。2.若 的方程组中含有园、椭圆或球的方程时，可充分利用园8变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例如：将球面上的三角形曲线参数化例如：将球面上的三角形曲线参数化利用球坐标：利用球坐标：例如：将球面上的三角形曲线参数化利用球坐标：9变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例2 2 将曲线将曲线 ，(其中其中 )用参数方程表示。用参数方程表示。例2 将曲线 ，(其中 )10变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第八讲曲线积分与曲面积分(1)ppt课件11变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3 3 将曲线将曲线 (其中其中 )用参数方程表示。用参数方程表示。例3 将曲线 (其中 )12变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3 3 将曲线将曲线 (其中其中 )用参数方程表示。用参数方程表示。故故例3 将曲线 (其中 )13变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分举一反三练习举一反三练习 1 1、将曲线、将曲线 用参数方程表用参数方程表示。示。（1 1）（2 2）举一反三练习（1）（2）14变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2、如何将以下的空间曲线参数化、如何将以下的空间曲线参数化,并计算它的弧长并计算它的弧长.2、如何将以下的空间曲线参数化,并计算它的弧长.15变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分启发性推导：启发性推导：从中解出从中解出x,y后后,即可得到以即可得到以z为参数的参数方程为参数的参数方程.令令即得以即得以z为参数的为参数的L2的参数方程的参数方程.以以y为参数为参数,得得(1)(2)(3)启发性推导：从中解出x,y后,即可得到以z为参数的参数方程16变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分1.注意到曲线积分的被积函数 是定义在积分曲线上的，因此它的自变量应满足积分曲线方程，所以计算曲线积分之前，首先要用积分曲线方程 去化简被积函数 。二、曲线积分的计算二、曲线积分的计算1.注意到曲线积分的被积函数 是17变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（1）积分曲线 关于x轴对称，是指 换句话说，若 则它的对称点 ；（2）积分曲线 关于y轴对称，是指 换句话说，若 则它的对称点 ；2.积分曲线的对称性积分曲线的对称性（1）积分曲线 18变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（3）积分曲线 关于原点对称，是指 换句话说，若 则它的对称点 ；（4）曲线 关于直线 对称(或 对称)，是指 (或 ),换句话说，互为对称点，互为对称点。（3）积分曲线 关于原点对称，是指 19变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 第一类曲线积分对称性的应用若曲线积分 的被积函数 在任意的对称点处的函数值互为相反数，则 ；在任意的对称点处函数值都相等，则其中 是相应对称积分曲线的一半。第一类曲线积分对称性的应用20变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 第二类曲线积分对称性的应用当曲线积分关于x轴对称,且被积函数 在任意的对称点处的函数值互为相反数 若在任意的对称点处函数值都相等则 第二类曲线积分对称性的应用21变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 第二类曲线积分对称性的应用当曲线积分关于y轴对称,且被积函数 在任意的对称点处的函数值互为相反数 若在任意的对称点处函数值都相等则 第二类曲线积分对称性的应用22变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 第二类曲线积分对称性的应用当曲线积分关于y=x对称，即x换作y，y换作x，L方程不变，则 当空间曲线积分具有轮换对称性，即x换作y，y换作Z，Z换作x,L方程不变，则 第二类曲线积分对称性的应用23变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例1 计算计算 (1),(1),其中其中 ;(2)(2)其中其中 ,周长为周长为a。例1 计算24变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解：解：(1)由于由于L关于关于y轴对称，被积函数轴对称，被积函数x在在对对称点处的函数值互为相反数，所以称点处的函数值互为相反数，所以 。由于由于L关于直线关于直线 y=x对称，函数对称，函数 在对称在对称点处互为相反数点处互为相反数,所以所以 .即即 .从而有从而有解：(1)由于L关于y轴对称，被积函数x在对25变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分由于由于L的参数方程为的参数方程为所以所以由于L的参数方程为26变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(2)(2)由于由于L关于关于x轴对称，且轴对称，且2xy在对称点处的在对称点处的值互值互为相反数，所以为相反数，所以(2)由于L关于x轴对称，且2xy在对称点处的值互27变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例2 2 设设 ，求对，求对弧长弧长的曲线积分的曲线积分 ，其中其中 为正方为正方形形 的边界。的边界。解：如图解：如图 ,由于折由于折线线ABEFG 对关于直线对关于直线 y=-x对称对称,且在对且在对称称点上有点上有 ,所以所以例2 设 ，求对弧长28变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分原式原式原式29变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3 3 计算计算 其中其中 。解：由于在解：由于在 上上y=x,所以所以例3 计算 30变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分由例由例1 的参数方程为的参数方程为 则则 所以所以由例1 的参数方程为 31变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分定理定理其中其中 是是 在在xoy平面上的投影曲线，其方向与平面上的投影曲线，其方向与 的方向一致。的方向一致。一类特殊的空间曲线积分的计算方法一类特殊的空间曲线积分的计算方法定理其中是在xoy平面上的投影曲线，其方向与的方向一32变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例4 4解解:由由例4解:由33变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（1）若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线(或曲线)使之构成封闭曲线，再应用格林公式；3.格林公式的应用格林公式的应用3.格林公式的应用34变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（2）若封闭曲线L所围成的区域D内有“奇点”,则在 奇点外成立 等式的条件下，有 成立，其中L是围绕奇点且同L具有相向方向的简单闭曲线，通常是园或椭圆等。（2）若封闭曲线L所围成的区域D内有“奇点”,则在35变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例1 设设 ，记记 为它为它 的正向边界曲线。证明：的正向边界曲线。证明：解：由格林公式得解：由格林公式得例1 设 36变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分类似可证类似可证其中其中 是由于是由于 是关于是关于直线直线 y=x对称对称.由第二类曲线积分的对称性也可证明。由第二类曲线积分的对称性也可证明。类似可证其中 是由于 37变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例2 计算计算 ，其中，其中 是以是以(1,0)为为中心中心 R(R1)为半径的正向圆周。为半径的正向圆周。由于由于所以所以例2 计算 ，其中 38变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3 已知关于坐标的曲线积分已知关于坐标的曲线积分 (常数常数)，其中函数其中函数 可导，且可导，且 是围绕是围绕(0,0)(0,0)的的任一分段光滑正向闭曲线，求（任一分段光滑正向闭曲线，求（1 1）函数）函数 的的表表达式；（达式；（2 2）A A的值。的值。例3 已知关于坐标的曲线积分39变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解：（解：（1）为了应用格林公式求出）为了应用格林公式求出 ，首，首先证明对于任一不包含原点的分段光滑的先证明对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭正向闭曲线曲线C，都有都有 .因为因为 未知，所以原点有可能是被积函未知，所以原点有可能是被积函数的不连续点，故数的不连续点，故解：（1）为了应用格林公式求出 ，首先证明对于任一不包40变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分由此可知对由此可知对 有：有：成立，整理即得成立，整理即得解此微分方程得解此微分方程得 .由于由于所以所以C=1=1，所求的，所求的 .由此可知对 有：解此微分方程得 41变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(2)(2)取取L1为正向圆周为正向圆周,则则(2)取L1为正向圆周,则42变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第八讲曲线积分与曲面积分(1)ppt课件43变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第八讲曲线积分与曲面积分(1)ppt课件44变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第八讲曲线积分与曲面积分(1)ppt课件45变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（1）柱面 被曲面 截下部分的面积。计算公式为 ，其中 在xoy面上的投影曲线.4利用曲线积分来计算曲面的面积利用曲线积分来计算曲面的面积4利用曲线积分来计算曲面的面积46变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例1 求柱面求柱面 位于球面位于球面 之内的侧面之内的侧面 的面积的面积 。解：由于解：由于 关于三个坐标面都对称关于三个坐标面都对称,所以所以(S0是是S位于第一卦限部分的面积位于第一卦限部分的面积)。由对。由对弧长的曲线积分的几何意义，知道弧长的曲线积分的几何意义，知道例1 求柱面 位于球面 47变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分所以所以 所以 48变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分举一反三练习举一反三练习 计算圆柱面计算圆柱面 被球面被球面截下的那部分的面积。截下的那部分的面积。举一反三练习 49变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（2）由坐标面上的平面曲线绕某轴旋转一周而成的旋转 曲面的面积。例如yoz平面上的曲线 绕y轴 旋转一周而成的旋转曲面的面积.计算公式为 第八讲曲线积分与曲面积分(1)ppt课件50变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例2 2 设设 ，求求 的表面位于的表面位于 内部分的内部分的 的面积。的面积。解：解：的表面位于的表面位于 内部分的曲面内部分的曲面,可以看可以看成是由成是由AB绕绕z轴旋转一周而成的旋转的侧面，轴旋转一周而成的旋转的侧面，其中其中 ,所以所以例2 设 ，51变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 三、曲面积分的计算三、曲面积分的计算 三、曲面积分的计算52变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（1）曲面 关于xoy平面对称，是指若 则它关于xoy平面的对称点 ；（2）曲面 关于原点对称，是指 则它的对称点 ；(3)曲面 关于平面 对称，是指 则它的对称点 ；1.第一类曲面积分第一类曲面积分 的对称的对称性性（1）曲面 关于xoy平面对称，是指若 53变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 若被积函数 的在对称点处的函数值互为相反 数，则 ；在对称点处函数值相等，则 其中 是相应对称积分曲面的一半。与曲线积分类似，可用边界曲面方程来简化被积函数，以达到化简曲面积分计算的目的。若被积函数 的在对称点54变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例1 求下列曲面积分求下列曲面积分（1），其中其中 ；（2），其中其中 .例1 求下列曲面积分55变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解：解：(1)(1)由于由于 关于平面关于平面 z=R 对称对称,且函数且函数 z-R在对在对称点处的值互为相反数称点处的值互为相反数,故故解：(1)由于 关于平面 z=R 对称,且函数 z-R在56变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解：解：(2)(2)故故解：(2)故57变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（1）设曲面 关于xoy平面对称，若被积函数 在对称点处的函数值互为相反数，则 ；在对称点处函数值相等，则 ，其中 是相应对称积分曲面的一半。2.第二类曲面积分第二类曲面积分 的对称性及高斯公的对称性及高斯公式式的对称性类似。的对称性类似。（1）设曲面 关于xoy平面对称，若被积函数 2.58变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分若x与y互换，的方程及侧不变，则 若x与z互换，的方程及侧不变，则若x与y互换，的方程及侧不变，则59变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（2）当 不是闭曲面时，适当添上一块外侧曲面 ,使得 组成闭曲面(所围成的闭区域为 )，于是高斯公式为 （2）当 不是闭曲面时，适当添上一块外侧曲面 60变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（3）当 是外侧闭曲面，是它所围的闭区域，在 的内部 有不连续点 时，可以作位于 内部的外侧闭曲面 ,将点 包围起来，这个闭曲面 常常是小球面、小椭球面，于是高斯公式为 （3）当 是外侧闭曲面，是它所围的闭区域，61变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分当在当在 上除点上除点 外处处有外处处有 时，时，当在 上除点 外处处有 62变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 例例2 其中其中 是上半椭球面是上半椭球面 的外侧。的外侧。解：解：例2 解：63变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分由于由于x与与y互换，互换，的方程及侧不变，且的方程及侧不变，且 关于关于yoz平面对称，且被积函数在对称点处的值平面对称，且被积函数在对称点处的值互为相反数，所以互为相反数，所以其中其中 是是 的的 部分，前侧，部分，前侧，是是 在在yoz平面上的投影平面上的投影.由于x与y互换，的方程及侧不变，且 关于其中 是 的64变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分故原式故原式其中其中 是椭球是椭球 的体积的体积.故原式其中 是椭球 的体积.65变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3.3.计算曲面积分计算曲面积分 其中其中 是球面是球面 的外侧。的外侧。例3.计算曲面积分 66变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解：由于解：由于 关于关于zox平面对称平面对称,函数函数 在对称在对称点点处的值相等，所以处的值相等，所以 。当。当x与与z互换互换时，时，的方程及侧不变，所以的方程及侧不变，所以解：由于 关于zox平面对称,函数 在对称点67变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分其中其中 是是 的的 的部分的部分,且且在对称点处的值互为相反数，所以在对称点处的值互为相反数，所以有有其中 是 的 的部分68变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例4 4 计算计算 其中其中 是柱面是柱面 及两平面及两平面 所围立体所围立体 表面的外侧。表面的外侧。例4 计算 69变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解：解：是外侧曲面，但原点在是外侧曲面，但原点在 内部，内部，都不连续都不连续(没定义没定义),),从而不能运用高斯公式从而不能运用高斯公式.又又 关于关于xoy平面对称，平面对称，在对称点处在对称点处的的值相等值相等,所以所以解：是外侧曲面，但原点在 内部，又 关于xoy平70变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分于是于是其中其中由积分性质，有由积分性质，有又又 关于关于yoz平面对称，平面对称，在对称点处在对称点处的的值互为相反值互为相反,所以所以于是其中又 关于yoz平面对称，在对称点71变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分其中其中 是是 的的 的部分的部分,前侧前侧,是是 在在yoz平面的投影。平面的投影。其中 是 的 的部分,前侧,是 在72变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例5 5 求曲面积分求曲面积分 ，其中其中 是上半球是上半球 的上侧。的上侧。例5 求曲面积分，73变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解：令解：令 ，则，则 成为上半球面成为上半球面的上侧。的上侧。其中添加其中添加(下侧下侧)使使闭曲面闭曲面,应用高斯公式计算。应用高斯公式计算。是外侧是外侧解：令 ，则 成为上半球面其中添加(下侧)74变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例6 6 计算计算 其中其中 是曲面是曲面 的外侧。的外侧。例6 计算 75变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解：由于解：由于 在原点不连续，所以不能直接应用高斯公式。在原点不连续，所以不能直接应用高斯公式。为此作小球面为此作小球面使之含在使之含在 中中并取外侧并取外侧.由于除原点外，都有由于除原点外，都有成立成立,故故解：由于 为此作小球面使之含在 中并取外侧.由于除原点外，76