完善了菲涅耳的衍射积分公式ppt课件

光的衍射是光的波动性的主要标志之一。历史上最早成功地运用波动光学原理解释光的衍射现象的是菲涅耳（1918年）。他把惠更斯在17世纪提出的惠更斯原理用干涉理论加以补充，发展成为惠更斯菲涅耳原理，从而完善地解释了光的衍射。要解决光波经小孔之类的衍射问题，应根据边值条件解波动方程。基尔霍夫运用数学上的格林公式成功地解决了这个问题，完善了菲涅耳的衍射积分公式，得出了菲涅耳基尔霍夫衍射公式，建标量波衍射理论。过去的物理光学书中，均将衍射分为菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射，认为菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射之间是由量变到质变的关系。为此还引入了所谓的傍轴条件和远场条件，这种解释是很牵强的。最近（1999年3月）在JOSA上发表的一篇文章（参考文献8）从理论上严格地论述了菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射的本质区别及两者的联系。第三章第三章 光的衍射光的衍射 光的衍射是光的波动性的主要标志之一。历史上最早131 菲涅耳菲涅耳基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 菲涅耳基尔霍夫衍射公式：（31）公式中各符号的物理意义如图31所示。R 点光源发出的球面波在衍射孔处的半径；r在衍射孔中球面波上任一点至接收屏上任一点的距离；b 衍射孔至接收屏的距离；衍射孔的面积；A 点光源发出的球面波在衍射孔处的振幅。称为倾斜因子 （32）衍射孔面上任一点处的法线和入射波矢的夹角；衍射孔面上任一点处的法线和直线的夹角。31 菲涅耳基尔霍夫衍射公式 2四、光的偏振四、光的偏振 光的干涉和衍射说明了光的波动性，光的偏振进一步证实光是横波。产生偏振的原因是介质的折射率发生突变或是各向异性。第一章已讲到光波在界面折、反射时，产生偏振的现象（布儒斯特角），这就是折射率突变发生偏振的例子。当光波在各向异性均匀介质（晶体）中传播时，由麦克斯韦方程组得出的光矢量具有偏振光性质。光的偏振现象在科学技术中有着重要的应用。41 偏振光和自然光偏振光和自然光麦克斯韦的电磁理论阐明了光波是一种横波，即光矢量垂直于传播方向。若光矢量的振动方向在传播过程中方向始终不变，只是它的大小随位相变化，这种光称线偏振光。线偏振光是一种特殊的偏振光。此外，还有圆偏振光和椭圆偏振光。圆偏振光的特点是：在传播过程中，光矢量方向绕传播轴均匀地转动，端点轨迹是一个圆。椭圆偏振光的光矢量的大小和方向在传播过程中均发生有规律的变化，光矢量端点沿着一个椭圆轨迹转动。从普通光源发出的光不是偏振光，而是自然光。自然光可以看作是具有一切可能的振动方向的许多光波的总和，即在观察时间内，光矢量在各个方向的振动几率和大小相同。自然光可以用两个光矢量互相垂直、大小相同、相位无关联的线偏振光表示，但不能将这两相位没有关联的光矢量合成为一个稳定的偏振光。四、光的偏振3 图图 31 菲涅耳基尔霍夫衍射公式表示当一点光源发出的球面波遇到了障碍物（如一圆孔），在接收屏上就不会象自由传播那样得到均匀一片的照度。因为接收屏处的光矢量表达式已不再是标准球面波的形式。接收屏上任一点的复振幅应按（31）式计算。它是衍射孔处的波面上各点发出的子波的干涉叠加的结果。应指出，倾斜因子和及的位置有关，积分起来很复杂。但在小孔比较小，点距中心也比较小时，特别是衍射孔处为会聚球面波时，和很小，可提到积分号外，使计算变得简单。下面无论在讨论圆孔衍射还是矩孔衍射时，均是这样处理的。图 31 菲涅耳基尔霍夫衍射公式表示当一点光源4 32 圆孔衍射圆孔衍射32 圆孔衍射 圆孔衍射是轴对称的。故参考文献 8 在运用菲涅耳基尔霍夫衍射公式推导接收屏上的复振幅及光强分布时，采用的是圆柱坐标系。此时（31）式变为：（33）积分后得：（34）其中，（35）表示自由传播时，接收屏上中心点处的复振幅 （平面波）；（发散球面波）；（会聚球面波）35 （a）（b）（c）图图 32的物理意义如图的物理意义如图32所示。由点光源发出的光束若按直线传播，经衍所示。由点光源发出的光束若按直线传播，经衍射孔边缘的光线到达接收屏上点，表示点至接收屏中心的距离和衍射射孔边缘的光线到达接收屏上点，表示点至接收屏中心的距离和衍射孔半径的比值，即孔半径的比值，即 （37）（38）为接收屏上任一点至中心点的距离。为衍射孔上任一点至衍射孔中心为接收屏上任一点至中心点的距离。为衍射孔上任一点至衍射孔中心距离。则为阶贝塞耳距离。则为阶贝塞耳(Bessel)函数。若令函数。若令 （39）（310）（a）6则点光强为：（311）式中 a)b）图图 33 由于贝塞耳函数是常用的特殊函数（目前一些计算机软件中均有此函数），所以按上面公式计算接收屏上的光强分布很方便。则点光强为：7在没有得出上面公式以前，人们在计算菲涅耳衍射的光强分布时，采用的是数值积分法。图33（a）就是由数学积分法得出的菲涅耳波带数 时光强分布曲线（见参考文献16）。（b）为按上述公式计算的光强分布曲线。两者完全相同。证明参考文献 8 的理论是正确的。应指出，在编计算程序时，n 的取值随菲涅耳波带数 而定，越大，n的取值应越大。表31列出不同的对应的值。表表 31 由表31可以看出，当 比较小时，如 ，计算很简单，（34）变为：（312）即 （313）11018263442506886在没有得出上面公式以前，人们在计算菲涅耳衍射的光强分布时，采8菲涅耳衍射与夫朗禾费射菲涅耳衍射与夫朗禾费射上面给出的光矢量及光强解析表达式为一通用公式。在推导过程中，由于r和b相差很小，故在分子中用b代替了r。这即一些物理光学书中说的傍轴条件。实际上引入傍轴条件并没有什么太大的意义，它只对各干涉光束的振幅起作用。由光波叠加原理得知，不同振幅的光波干涉叠加只影响干涉条纹的对比度，何况一般r和b相差很小，振幅变化并不大。实际上认为倾斜因子 也是基于这种设想。下面讨论所谓的远场条件，一些物光书中将公式（33）中位相的二次项满足下述条件 （314）称为远场条件，认为此时 这样公式（33）式中就没有了位相的二次项，积分变得简单，称之为夫朗禾费衍射。而不满足（314）的条件则为菲涅耳衍射。这种定义，使人很费解。似乎菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射的区别只是量的差别。这无论在数学上还是在物理上均是不严谨的。菲涅耳衍射与夫朗禾费射9那么，菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射的本质区别是什么？它们之间又有什么联系呢？由（33）式的位相二次项可以看出欲使 ，只有 或 。的条件平面波衍射，接收屏位于无限远，。的条件会聚球面波衍射时，若接收屏垂直通过该面球心，则 ，。因此，可以得出结论：菲涅耳衍射是普遍现象。夫朗禾费衍射是菲涅耳衍射的特例。只有两种情况才能发生夫朗禾费衍射，即平面波衍射且接收屏位于无限远，这是无法实现的；另一种情况是会聚球面波衍射，接收屏垂直通过波面球心。这种情况经常遇到，因为成像光学系统的接收器件如分划板、照相底片、CCD器件等均位于成像面上，接收器件上接收的均是夫朗禾费衍射光强。所以虽然夫朗禾费衍射是特殊情况，但对成像光学系统却是普遍的，夫朗禾费衍射对光学仪器具有重要的现实意义。三、菲涅耳数的物理意义三、菲涅耳数的物理意义一些文献，特别是论述激光原理的书中，定义为菲涅耳数。顾名思义它表示菲涅耳波带数。但这只适用于平面波衍射。对于球面波衍射，具有通用意义的菲涅耳数应为：（315）当平面波衍射时，。那么，菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射的本质区别是什么？它们之间又有10 比如一望远镜或照相物镜，其焦平面处 ，为夫朗禾费衍射，菲涅耳波带数为零。这是因为对于理想光学系统，焦点位于球面波的球心上。焦前或焦后则为菲涅耳衍射，这时非常小，尽管很大，菲涅耳数仍很小。所以，此时只考虑是没有意义的，必须讨论才能正确反映衍射特性。这里顺便指出，这类系统的和均很小，倾斜因子，所以本章开始指出的忽略倾斜因子处理，是根据实际情况而做出的。正如粱铨廷教授在物理光学一书中所说：“菲涅耳衍射的定量解决仍很困难。在许多情况下，需要利用定性和半定量的分析、估算来解决问题”。研究菲涅尔衍射时采用的是菲涅耳波带法和菲涅耳积分法，菲涅耳数也是由此来引出来的。文献 8 成功地解决了这个问题。而且从光矢量的振幅解析表达式得出和菲涅耳波带法及菲涅耳积分法同样的结论，下面论述这个问题。四、圆孔衍射解析表达式的物理意义四、圆孔衍射解析表达式的物理意义利用贝塞耳函数母函数的概念，经数学推导，文献 8、9、10 得出：（316）（317）（318）比如一望远镜或照相物镜，其焦平面处 11称为振幅衰减系数。点光强为：（319）由（316）式可以看出，接收屏上任一点的振幅由两项构成：一项为几何波（即直线传播光束），另一项为衍射波（非直线传播光束）。两者均受到振幅衰减系数 的调制。对于衍射波，其振幅按零阶贝塞耳函数分布，而其位相由两项构成：反映衍射孔边缘子波（边界波）对接收屏上各点的作 用。反映衍射孔中心子波对屏上任一点p的作用。此讨论是经过严格数学推导得出的，它比所谓的边界衍射波理论更准确、更完善。此外，对于接收屏中心点 ，代入（319）式，得：（320）称为振幅衰减系数。点光强为：12显然，当 )（321）即波带数为奇数时，中心点是亮的，波带数为偶数时，中心点是暗的。这和菲涅耳波带法得出的结论是一致的。（316）式用来分析圆孔衍射的物理意义是有用的，但计算起来比用（34）式及（311）式还复杂，虽然计算结果一致。文献 8 给出了振幅衰减系数的近似表达式，即 （322）a)近似曲线 b)精确曲线 图图 3413 时的近似和精确光强曲线。可见两者非常接近。若菲涅耳数大时，仍应按准确公式计算。由上面分析、讨论可以看出，光波遇到障碍物时，振幅和光强与自由传播明显不同。光能重新分布，接收屏上光强分布不再是均匀的。在几何阴影区外（）也会有照度，这便是衍射现象。时的近似和精确光强曲线。可见两者非常接近。若菲涅耳数大 33 光学系统像点附近的光强空间分布、瑞利（光学系统像点附近的光强空间分布、瑞利（Rayleigh）判断与斯托列）判断与斯托列 尔尔(Strehl)准则准则 在应用光学中评价光学系统成像质量有两条标准：一为瑞利判断，另一为斯托列尔准则。由像点附近的空间光强分布可以证明这两条标准实际是一回事。一、像点附近的空间光强分布一、像点附近的空间光强分布 早在1885年，洛梅耳(Lommel)就论述了一个点光源的单色像由圆孔衍射造成的 离焦性质，并为此引入了洛梅耳函数，对照明区和几何阴影区采用不同的公式计算（见光学原理一书）。最新出版的文献 10（2000年2 月）利用文献8给出的解析表达式，计算了像点附近的光强分布。时的近似和精确光强14首先讨论振幅衰减系数取近似值的情况。由于此时 （光轴上点）或 （几何阴影区边界上的点），所以 仍是准确的。故分析这两种特殊情况公式仍可用。将像面中心点光强归化为1，且令 、，则光强表达式（319）式变为：（323）（323）成像面上，为夫朗禾费衍射光轴上，几何阴影区边界，；首先讨论振幅衰减系数取近似值的情况。由于此时 15其次要准确计算空间任一点的光强，应采用准确表达式，此时 （324）在像面处建立直角坐标oxyz，x轴为光轴方向，yz为像平面。由于是轴对称的，故xy平面和xz平面情况相同。在xy平面，,如图35所示。将有关数代入（324）式，经推导并将像面处轴上点光强归化为1，得：图图 35 （325）其次要准确计算空间任一点的光强，应采用准确表达式，此时16上式改为：（326）式中 (327)光强为：在像面处，；（328）上式便是许多文献已给出的圆孔夫琅禾费衍射光强计算公式。这再次证明上文引用的圆孔衍射解析表达式是通用公式，既适用于菲涅耳衍射，又适用于夫琅禾费衍射。即 为圆孔夫琅禾费衍射（像面上），其它空间区域为菲涅耳衍射。上式改为：17 图36是按圆孔衍射解析表达式计算的像点附近光强的空间分布，其 中，nm，。图36（a）为空间光强分布曲线，图36（b）为平面截取的光强分布曲线。图36（c）为沿光轴方向的光强分布曲线。图36（d）为像面上光强分布曲线，即艾利斑。图316（e）为 垂轴截面光强分布曲线。图36（f）为 垂轴截面光强分布曲线。图36是按圆孔衍射解析表达式计算18瑞利判断与斯托列尔准则瑞利判断与斯托列尔准则 瑞利判断和斯托列尔准则是评价光学系统成像质量的两个原则。瑞利认为当“实际波面与参考波面之间的最大波像差不超过 4时，此波面可看作是无缺陷的。”斯托列尔认为当“衍射光斑中心亮度与理想衍射斑中心亮度的比值 时，则光学系统的成像质量可视为完善的”。实际上，此两种评价标准均是对目视光学系统（望远镜和显微镜）而言，是根据人眼对亮度变化的敏感度得出的，理论上可以证明两者是一回事，见参考文献12。瑞利判断与斯托列尔准则19 应明确清晰成像这一概念。由空间光强分布图可以看出，光学系统像面附近的光强绝大部分集中在一个圆柱区内。此圆柱直径 ，长为 。只要接收器件放在此区域内，就可认为成像是清晰的。因为中心亮斑尺寸变化不大，只是中心亮度变了。这对非目视光学系统（如摄影系统）给定光学系统公差是有指导意义的。但是，对于目视光学系统，由于人眼对光斑中心亮度变化是很敏感的，斯托列尔指出实际衍射光斑中心亮度和理想成像光斑中心亮度比 时，眼睛就会感觉这种变化。图37给出离焦 时，垂轴截面的光强曲线。此时光斑中心亮度恰为理想像面光斑中心亮度的0.8倍。这可以作为确定景深和定焦精度的依据，亦可作为目视光学系统给定公差的标准。显然考虑到像面前后，则此范围为 ，恰为应用光学书中所说的一倍焦深，而它是由瑞利判断（）导出的。瑞利判断是瑞利一百年前经实验给出的，在理论上并没有证明。这里在理论上证明了瑞利判断，同时使它和斯托列尔准则统一起来。由此可见，目视光学系统的公差并不是根据成像是否清晰，而是根据眼睛对光斑中心亮度变化的灵敏度确定的。应明确清晰成像这一概念。由空间光强分布图可以看20三、光学系统的分辨角光学系统的分辨角 瑞利除研究了眼睛对单个衍射斑中心亮度变化灵敏度外，还讨论了两个衍射光斑光强叠加后，眼睛对亮度差的灵敏度。他认为当一个艾利斑的中心恰位于另一艾利斑的第一暗环上时，即两衍射斑相距为中心亮斑的半径r时，眼睛可以感到亮度的明暗变化，如图3所示。此时 （329）式中 称为光学系统的最小分辨角，它是艾利斑第一暗环到光学系统光瞳中心的张角，D为光瞳直径。道斯（Dawes）则认为，当两艾利斑距离恰为0.85r时，眼睛就能分辨。此时 （330）（329）式和（330）均可做为确定光学系统或零件分辨率的依据。图图 38三、光学系统的分辨角图 3821四、巴比涅（四、巴比涅（Babinet）原理）原理 根据圆孔衍射和巴比涅原理可以得出圆屏（球）和圆环衍射的解析表达式。由于篇幅所限，这里只介绍巴比涅原理，关于圆屏（球）和圆环衍射的解析表达式读者可参阅光学学报2000年第三期有关文章（参考文献11。由此文章可以看出圆屏（球）衍射时，接收屏中心始终是亮的。巴比涅指出，在一对衍射屏中，如果一个屏的透光部分恰为另一个屏的遮光部分，称此二屏为互补屏。设其中一个屏的衍射光场复振幅为 ，另一个衍射光场复振幅为 ，则互补屏产生的衍射光场，即合成复振幅为自由传播的复振幅。即 （331）这就是巴比涅原理。如图39所示。a）b)图图 39 两个互补屏两个互补屏四、巴比涅（Babinet）原理2234 矩孔衍射、狭缝衍射、衍射光栅矩孔衍射、狭缝衍射、衍射光栅 和圆孔衍射不同，至今尚无人导出矩孔衍射的通用解析表达式，即矩孔菲涅耳衍射的解析表达式。故本节只限于讨论当 （接收屏位于透镜像面上）时的夫朗禾费衍射。一、矩孔衍射一、矩孔衍射 讨论矩孔衍射采用直角坐标系比较方便。图310为产生矩孔衍射的光路图。由于没有了位相因子的二次项，菲涅耳基尔霍夫衍射公式大为简化。积分后得其复振幅表达式为：图图 310 夫琅和费矩孔衍射夫琅和费矩孔衍射 34 矩孔衍射、狭缝衍射、衍射光栅23 （332）光强为：（333）或简写为：（334）式中 ；（335）图311给出平面光强曲线。图312给出平面衍射图样。24二、单缝衍射二、单缝衍射 如果矩孔一个方向的宽度远大于另一个方向的宽度，如 ，矩孔就变成了狭缝。单缝的夫朗禾费衍射光路（如图313）所示，由于 ，y方向的衍射效应可忽略。光强表达式为：（336）图图 313 单缝夫琅和费衍射装置单缝夫琅和费衍射装置中央亮纹半角宽度为：（337）二、单缝衍射25三、多缝衍射三、多缝衍射 多缝夫琅禾费衍射装置（如图314）所示。图中是与图面垂直的线光源，位于透镜 的焦平面上，G是开有多个等宽等间距狭缝（缝宽为a，缝距为d）的衍射屏，缝的方向与线光源平行。1、衍射光强分布 每个单缝均发生衍射，单缝衍射场之间相干，多缝夫朗禾衍射的复 振幅分布是所有单缝夫琅禾费衍射振幅的干涉叠加。透镜 后焦平面处的接收屏上任一点的单缝衍射复振幅为：（338）相邻单缝在点产生的位相差为：图图 314 多缝夫琅和费衍射的实验多缝夫琅和费衍射的实验三、多缝衍射26 多缝在点产生的复振幅是个振幅相同、位相差相等的多光束干涉的叠加 点光强为:(339)（339）式中包含两个因子：单缝衍射因子 和多光束干涉因子两者相乘相当于无线电学中的调制。多缝在点产生的复振幅是个振幅相同、位相差相等的多光束干27衍射图样多缝衍射的亮纹和暗纹的位置可以通过分析干涉因子和衍射因子的极大值和极小值得到。由分析干涉因子得知，当 )（340）或 （341）时，有极大值，其数值为 ，称为主极大。式（340）又称为光栅方程。它表明主极大的位置与缝数无关。当 等于 的整数倍，而 不是的整数值时，即 ,时，它有极小值，其数值为零。不难看出，在两个相邻主极大间有 个零值。相邻两个零值之间（的角距离 （342）主极大和相邻零值间角距离也是如此。故 称为主极大的半角宽度。它表明缝数 越大，主极大的宽度越小，反映在观察面上亮纹越细。衍射图样28此外，相邻零值间有次极大。次极大的强度与它离开主极大的远近有关，但主极大旁边的最强次极大，其强度也只有主极大强度的 。显然，次极大的宽度也随 增大而减小。当 很大时，它们将与零值点混成一片，成为衍射图样的背景。图315（c）给出了四缝衍射的光强分布曲线。图315（a）为干涉因子曲线，图图 3-15 4缝衍射的强度分布曲线缝衍射的强度分布曲线此外，相邻零值间有次极大。次极大的强度与它离开主极大的远近有29图315（b）为衍射因子曲线。显然（a）经（b）调制后得（c）。由图315（c）可以看出，各级主极大强度为：（343）零级主极大强度最大，等于 。当干涉因子的某级主极大恰与衍射因子某级零值重合时，这些主极大被调制为零，对应的主极大就消失了。这种现象称为缺级。缺级的条件是：（344）式中m为干涉因子的级次,n为衍射因子的级次。图316给出不同缝数的衍射图样。图315（b）为衍射因子曲线。显然（a）经（b）调制后得（30四、衍射光栅衍射光栅 多缝的缝数N很大，缝宽a和缝距d很小就变成了衍射光栅。衍射光栅的种类很 多，分类方法也不尽相同。按对光波的调制方式划分，可分为振幅型和位相型；按工作方式划分，可分为透射型和反射型；按形状划分，又可分为平面光栅和凹面光栅；按对入射波的空间划分，又分为二维平面光栅和三维体积光栅；按制作方式划分，又可分为机刻光栅、复制光栅及全息光栅等。此外，随着制造工艺的发展，现在已可以制造缝宽和缝距为波长级的光栅，此时已不能用标量波衍射理论去分析，而应用矢量波衍射理论设计光栅。因篇幅所限，这里只讨论衍射光栅的基本工作原理及其分光性能。1、光栅方程 （341）式是正入射时的光栅方程。下面以反射光栅为例，导出更为普遍的斜入射情况的光栅方程。如图317所示，设平行光束以入射角斜入射到反射光栅上，并且考察的衍射光与入射光分居于光栅法线的两侧，当入射光束到达光栅时，两支相邻光束的光程差为 。图图 317 光束斜入射到反射光栅上发生的衍射光束斜入射到反射光栅上发生的衍射 四、衍射光栅31 因此，光栅方程的普遍形式为：)（345）在考察与入射光同一侧的衍射光时，上式取正号；考察与入射光异侧的衍射光时，上式取负号。公式（345）对透射光栅也适用。3、光栅的色分辨本领和干涉仪类似，光栅的色分辨本领定义为：（348）根据谱线的半角宽度（351）式及角色散表达式（355），得 （349）光栅色分辨本领为：（350）上式和 干涉仪的色分辨本领计算公式在形式上是一样的，但这里的 是光栅的刻线数，又称光栅数，它是一个很大的数。虽然 干涉仪和光栅色分辨本领都很高，但 干涉是靠高干涉级m得到的，光栅是靠大光栅数N得到的。因此，光栅方程的普遍形式为：324、光栅的自由光谱范围 在波长为 的 级谱线和波长为 的m级谱线重叠时，在此范围内还会发生 到 的不同级谱线的重叠。因此，不重叠区 可由下式确定：得 （351）由于光栅使用的光谱级很小，所以自由光谱范围比较大，这一点和干涉仪形成明显对照。35 付里叶付里叶(Fourier)光学、光学信息处理、全息术简介光学、光学信息处理、全息术简介 玻恩和沃耳夫在光学原理一书中指出：“衍射问题是光学中遇到的最困难的问题之一。”，事实确是如此。直至今日，衍射依然是国内外学术界研究的热门话题。1987年德宁(Durnin)等提出了无衍射光束(Nondiffraction beams 或DiffractionFree Beams)的概念，目前光学工作者正在就此问题进行着讨论和争论。最近出现的二元光学，又称之为衍射光学。可以说现代光学的发展，基本上是在衍射理论的基础上派生出来的。4、光栅的自由光谱范围33一、付里叶变换与菲涅耳付里叶变换与菲涅耳基尔霍夫衍射公式的关系基尔霍夫衍射公式的关系 上文已指出，圆孔衍射在圆柱坐标内，菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式表示为（33）式，即式中积分号内可记为：（352）若将积分拓宽为 ，即 （353）上式恰为数学中的付里叶贝塞尔变换，即零阶汉克尔(Hankel)变换。不过此时的表达形式和（352）式稍有变化。对于菲涅耳衍射 （354）一、付里叶变换与菲涅耳基尔霍夫衍射公式的关系 34对于夫琅禾费衍射 （355）式中 称为圆域函数。当光学系统不是理想光学系统时，瞳孔波面有波差，此时 可用波差表示出来，称为光瞳函数。因此光学系统的像面的复振幅分布是光瞳函数的付里叶贝塞耳变换。同样道理，在直角坐标系内表示矩孔衍射，其积分号内 （356）将积分拓宽为 ，即 （357）上式恰为付里叶变换表达式。对于菲涅耳衍射 （358）对于夫琅禾费衍射 （359）式中 称为矩形函数。对于光瞳为矩形的光学系统，其像面复振幅也是光瞳函数付里叶变换。对于夫琅禾费衍射35平面光波的空间频率平面光波的空间频率 付里叶变换是一种频谱变换，广泛用于频谱分析。由于菲涅耳基尔霍夫衍射公式恰是一种付里叶变换式，从而产生了付里叶光学。光场的复振幅分布和光强分布的空间频率是付里叶光学中的重要概念。透彻地理解它的物理意义是很重要的。频率在时域内表示随时间做简谐振动（正弦或余弦）的信号在单位时间内重复的次数。在空域频率则表示在空间呈正弦或余弦分布的物理量在某个方向上的单位长度内重复的次数。单色平面波复振幅表达式为：（360）式中，为波矢的方向余弦。对于图318所示的单色平面波在 平面的复振幅为：（3 6 1）平面光波的空间频率（361）36 a)b)图图 318 平面波在平面波在x=xo平面上等相位线平面上等相位线可见，在平面上等相面方程为：（362）式中，不同的与C值对应的等位相线是一些平行斜线。在图318（a）中用虚线表示出位相差为 的一些等位相线，它们实际就是位相差依次为 的平面波与 平面 的交线。由于位相差相等的光振动相同，所以在 平面上的复振幅为周期性分布。而空间周期在y，z方向分别为：；（363）37对应的空间频率分别为：；（364）将上式（361）式得：（365）上式便是用空间频率表示光场复振幅的表达式。在圆柱坐标下，由于轴对称的性质，（365）式变为：（366）空间频率有时用 或 的余角表示（如图319所示）。此时 ；（367）图图 319 、及其余角及其余角y、z 对应的空间频率分别为：38三、付里叶光学的频谱分析三、付里叶光学的频谱分析由于已将光场的复振幅分布表示成空间频率的函数，光学系统衍射便可表示为付里叶变换式，即 （368）即 （369）上式为付里叶变换的书写形式，在圆柱坐标下 (370)将 (371)称付里叶反变换。由于付里叶变换具有许多特殊性质，这样便可运用付里叶变换的性质及运算公式对光场的复振分布和光强分布进行频谱分析。这里应当指出，付里叶变换是一种积分变换，必须对函数进行逐步积分才能得到。对一些简单函数，数学手册上已给出其付里叶变换，如矩形函数的付里叶变换为 ，圆域函数的付里叶变换为 ；函数的付里叶变换为1等等。三、付里叶光学的频谱分析39但是对于一个任意函数的付里叶变换，若数学手册上没有，则须读者按积分变换式去逐步导出。比如理想光学系统的圆孔衍射，根据文献8给出的结果，应为：即 （372）当光学系统有波差时，其变换更复杂。综上所述，付里叶光学将衍射孔（光瞳）面上的光场（光瞳函数）分解成不同空间频率的平面波，接收屏（像面）上的光场是这些不同空间频率平面波的波谱。比如一个理想光学系统，成像面上的波谱曲线为艾利斑。中心亮斑对应于基频（零频）平面波谱，其它各点对应于不同空间频率的平面波波谱。距中心点距离越远，所对应的平面波谱空间频率越高。艾利斑外的点没有光强，对应于截止频率。所以光学系统可视为空间滤波器。但是对于一个任意函数的付里叶变换，若数学手册上没有，则须读者40光学信息处理简介光学信息处理简介 光学信息处理是在付里叶光学的基础上产生的。它是指用光学方法实现对输入信号的各种变换或处理。光学系统记录在感光底片或CCD器件上的图像，表现为光的复振幅或光强的空间调制；如果是电信号或声信号，则可用电光或声光转换器将其变为光信号再输入光学处理系统。用光学方法可以实现各种变换和运算，如图像信息的编码、解码、加减、微分、积分运算等。它广泛应用于图像识别、模拟、仿真等各个领域。图320为一典型的光学信息系统，又称为 系统。图中透镜 和 为理想透镜（又称付里叶透镜）。从几何光学角度看 系统是两个透镜组成 的放大倍率的成像系统。图图 320 物面 频谱面 像面光学信息处理简介物面 频谱面 41输入图像位于透镜的前焦面（物面）上，在单色平面波的垂直照射下，在透镜 后焦面上得到输入图像函数 的付里叶变换 （373）透镜 的后焦面又称为输入图像函数的频谱面。由于透镜 的后焦面和透镜 的前焦面重合，所以在 的后焦面又得到频谱函数 的付里叶变换：（374）由（373）式和（374）式得：（375）此式表明经两次付里叶变换函数复原，只是自变量改变符号。这意味着输出图像和输入图像相同，只是变成倒像。如果输入图像是个模糊图像，可在 系统中加一个空间滤波器，将高频空间频率的谐波滤掉，使图像变得清晰。输入图像位于透镜的前焦面（物面）上，在单色平面波的垂直照射下42全息术简介全息术简介 全息术是伽柏(Gaber)于1948年首先提出的。20世纪60年代激光的出现解决了高强度和高相干性光源问题，使全息术得到迅速的发展。过去的照相技术，在底片记录的是光强即振幅的信息。全息术在照相底片上除记录振幅信息，还记录位相信息，故称全息。即记录光波的全部信息之意。再现图像时，可以观察到立体图像。全息图有同轴和离轴之分。离轴全息图的记录光路如图321所示。图图 321 离轴全息图的记录光路离轴全息图的记录光路 全息术简介43设照相底片为yz平面，物光波和参考光波在该平面的复振幅分别为：两光波在照相底片平面干涉产生的光强为：（376）将照相底片曝光冲洗后得全息图。再现物光波的光路（如图322所示）。用一种与参考光波完全相同的光波作为再现时的照明光波，全息图相当于一个复合光栅，根据付里叶变换的可逆性，照明光波经全息图衍射会再现参考光波的复振幅和物光波的复振幅。照明光波和它们叠加后得：图图 322 用参考光照明用参考光照明（377）设照相底片为yz平面，物光波和参考光波在该平面的复振幅分别为44 式中第一项是照明光波本身，只是它的振幅受到 的调制。如果照明光波是均匀的，那么 在整个全息图上为常数，振幅只受到 的调制，这部分光波仍沿着照明光波方向传播。式中第二项除常数因子 外，和物光波表达式完全相同。因而它代表原来的物光波。观察这个光波的效果与观察物体本身相同，当迎着这个光波观察时，会看到一个和原来物体一模一样的虚像。式中第三项表示物光波的共轭波。共轭波在全息图的另一侧形成物体的“实像”，称为共轭像。36 光学传递函数简介光学传递函数简介 对于光学系统成像质量的评价，过去采用的是分辨率法和星点法。虽然分辨率法具有定量、简单、方便、意义明确等优点，但是它只能表达细节能否分辨，对于粗线条的成像质量，不能做出定量的评价，有的还出现“伪分辨”现象。星点法可以根据星点图（艾利斑）评价像质，但主观性大，且为定性或半定量检验。因此，如何使像质检验更为合理、客观，一直是困扰光学工作者的问题。付里叶光学的出现，电视的问世，打开了科学工作者的思路，于是产生了用光学传递函数评价光学系统成像质量的新方法。式中第一项是照明光波本身，只是它的振幅受到 45一、光学传递函数的定义光学传递函数的定义 用一正弦光栅做为物体成像，若光学系统是理想的，像和物体形状完全相同（只是放大或缩小）。这种理想成像的光强曲线如图323（a）实线所示。若光学系统有像差，光强曲线如图323（a）虚线所示。显然，它不如理想成像清晰。用调制度（对比度）比较两者，则 ；（378）显然，（a）2x（弧度）或（弧度）或x（毫米）（毫米）（b）2x（弧度）或（弧度）或x（毫米）（毫米）图图 323 一、光学传递函数的定义46 某一空间频率（正弦光栅的频率）的调制度比值 为：（379）称为调制传递函数，简写为MTF(modulation transfer function)。在不对称像差的作用下，实际像的光强曲线（虚线）还可能产生位相位移，此位移用 表示，称为位相传递函数，简化为PTF（phase transfer function）。综合起来，理想光强和实际光强可分别表示为：（380）（381）将调制传递函数和位相传递函数结合，用下式表示：（382）称为光学传递函数，简写为OTF（optical transfer function）。某一空间频率（正弦光栅的频率）的调制度比值 47二、光学传递函数和点扩散函数的关系二、光学传递函数和点扩散函数的关系 假如光学系统完全理想成像，那么像平面上也应是一个几何点并与物面上的一个点对应，即 函数。但这是不可能的，因为夫琅禾费衍射，像面上对应的是个艾利斑。实际光学系统还存在像差，其衍射斑会比艾利斑大，且不规则。光学传递函数中称衍射斑为点扩散函数。由于物面上各点的像均为点扩散函数，像的光强曲线会变得平滑且可能有位移。这种现象可用数学上的卷积描述。（383）式中 为点扩散函数。此式表示像的光强分布，是完全理想成像光强分布和点扩散函数的卷积。基于光学传递函数的定义及上述关系产生了测量光学传递函数的光学付氏法（正弦板扫描）和光电付氏法（矩形光栅扫描）。（383）式用卷积符号可写为：（384）二、光学传递函数和点扩散函数的关系48 光学仪器大多用非相干照明。此时像面表现为光强叠加。在等晕区为线性不变系统。付里叶变换表现为光强的付里叶变换。由电学中传递函数的物理意义得知，光学传递函数表示线性系统对信号的频率响应。设 和D的频谱分别为和d，即 （385）（386）（387）（385）式和（387）式运用付里叶变换的卷积定理，得：（388）和（384）比较，得 （389）再将此式和（387）比较，得 （390）上式表征了光学传递函数的频率响应特性。由（387）式可知 （391）上式表明：光学传递函数是点扩散函数的付里叶变换。这很好理解，因为由光学传递函数的定义知它是由点扩散函数确定的。基于这种概念，产生了测量光学传递函数的刀口法。光学仪器大多用非相干照明。此时像面表现为光强叠加。在49三、光学传递函数与光瞳函数的关系三、光学传递函数与光瞳函数的关系 点扩散函数的形状是由光瞳函数确定的，所以归根结底光学传递函数是由光瞳函数确定的。点扩散函数是一个光强表达式，它和复振幅的关系是 （392）式中 为像面处复振幅，它与光瞳函数 的关系 （393）式中 为光瞳面上坐标。由（387）、（392）和（393）式，并根据付里叶光学中的维纳肯欣（WienerKhintchine）定理，得 （394）式中为相关符号，即 （395）上式表示光学传递函数是光瞳函数的自相关。由此概念测量光学传递函数又产生了干涉法。三、光学传递函数与光瞳函数的关系 50 37 二元光学简介二元光学简介 二元光学是最近几年光学工作者热衷研究的课题。其主要目的是利用二元光学元件补偿光学系统的波差，使光学系统变得简单。道理很简单，实际光学系统总有一定的像差，使得光瞳函数不为常数，这样不但使付里叶变换非常复杂，而且使衍射光斑偏离艾利斑。如果加一补偿光学元件，使之产生的波差和原有光学系统的波差抵消，衍射公式中位相因子中没有了二次以上的项，为完全的夫琅禾费衍射，得到的便是艾利斑。其实早在1931年施米特(Schmide)为天文望远镜设计的校正板，1922年菲涅耳设计的螺纹透镜（又称菲涅耳透镜）就是基于这种思想。目前研究二元光学的科学技术人员把主要精力用在二元光学元件的设计和制造上。运用计算机辅助设计，并利用超大规模集成（VISI）电路制造工艺，在基片（或光学元件表面）上刻蚀产生两个或多个台阶深度的浮雕结构，形成纯相位、同轴再现、具有极高衍射效率的衍射光学元件，即二元光学元件，故二元光学又称为衍射光学。实际上将圆孔衍射（绝大部分光学系统孔径均为圆形的）理论上研究清楚，问题会大为简化。37 二元光学简介511、利用巴比涅定理导出圆屏（球）菲涅耳衍射的振幅和光强表达式。2、利用巴比涅定理导出圆环菲涅耳衍射的振幅和光强表达式。3、在双缝夫朗禾费衍射实验中，照明波长 ，透镜焦距 ，观察到两相邻亮条纹间距 ，第四级缺级，求双缝间距d和宽度a；第1、2、3级亮条纹和中心亮点的相对光强。4、一衍射光栅，每毫米线，宽度 ，求一级光谱的色分辨本领和自由光谱范围。5、一望远镜，物镜焦距 ，口径 ，（视为理想薄透镜）求：沿轴方向第一个暗点的位置（离焦时中心亮点为暗点的位置）和菲涅耳数；沿轴方向中心亮点光强为艾利斑（焦平面处光斑）中心点光强的倍的位置和菲涅耳数 ；求理论分辨率。6、一铜丝，用平行光照明，后面放一焦距 ，口径 的理想透镜。若中心暗纹宽度为2mm，求铜丝直径，并用巴比涅定理给出物镜焦面光强表达式。7、一激光点光源，距衍射孔距离 ，衍射孔直径 ，问接收屏在衍射孔后125mm处衍射斑中心是亮点还是暗点。8、在理想薄透镜 ，的物方焦平面处放一圆缝。缝宽0.01mm（视为一条线），用 的平行光照明，忽略透镜的衍射求透镜后方的光强分布。1、利用巴比涅定理导出圆屏（球）菲涅耳衍射的振幅和光强表达式52第四章 光的偏振光的偏振 光的干涉和衍射说明了光的波动性，光的偏振进一步证实光是横波。产生偏振的原因是介质的折射率发生突变或是各向异性。第一章已讲到光波在界面折、反射时，产生偏振的现象（布儒斯特角），这就是折射率突变发生偏振的例子。当光波在各向异性均匀介质（晶体）中传播时，由麦克斯韦方程组得出的光矢量具有偏振光性质。光的偏振现象在科学技术中有着重要的应用。41 偏振光和自然光偏振光和自然光 麦克斯韦的电磁理论阐明了光波是一种横波，即光矢量垂直于传播方向。若光矢量的振动方向在传播过程中方向始终不变，只是它的大小随位相变化，这种光称线偏振光。线偏振光是一种特殊的偏振光。此外，还有圆偏振光和椭圆偏振光。圆偏振光的特点是：在传播过程中，光矢量方向绕传播轴均匀地转动，端点轨迹是一个圆。椭圆偏振光的光矢量的大小和方向在传播过程中均发生有规律的变化，光矢量端点沿着一个椭圆轨迹转动。从普通光源发出的光不是偏振光，而是自然光。自然光可以看作是具有一切可能的振动方向的许多光波的总和，即在观察时间内，光矢量在各个方向的振动几率和大小相同。自然光可以用两个光矢量互相垂直、大小相同、相位无关联的线偏振光表示，但不能将这两相位没有关联的光矢量合成为一个稳定的偏振光。第四章 光的偏振53 自然光在传播过程中，受外界作用，造成各个振动方向上的强度不等，使某一方向的振动比其它方向大，这种光称为部 份偏振光（见图41）。用偏振度表示光束的偏振化程度，即 （41）显然，自然光 ，完全线偏振光 其它情况 。图图 4-1 自然光和部分偏振光自然光和部分偏振光a)自然光自然光 b)部分偏振光部分偏振光二、产生偏振光的方法二、产生偏振光的方法1、界面折、反射产生偏折光第一章已经讲到，当光线以布儒斯特角 入射时，反射光中没有 波，只有垂直入射面的 波，为线偏振光。折射光含有全部p波和部分s波，是p波占优势的部分偏振光。在此基础上可以采用多层膜系，得到反射光和折射光偏振度高达 的线偏振光。自然光在传播过程中，受外界作用，造成各个振动方542、由各向异性介质产生偏振光 一些各向异性介质对向不同方向振动的偏振光有不同的吸收称为二色性。如电气石就有很强的二色性。这种二色性会产生偏振光。一些各向异性介质对不同方向的光振动有不同的折射率，会产生偏振光。各向同性介质在外界的作用下，也会使不同方向振动锝光矢量有不同的折射率，从而产生偏振光。三、马吕斯（三、马吕斯（Malus）定律）定律 将自然光变为偏振光锝器件称为起偏器。用于检验偏振光的器件称为检偏器。一束自然光通过偏振器后，出射光光矢量的振动方向依赖于偏振器。偏振器和检偏器允许透过的光矢量的方向是偏振器的透光轴。光通过起偏器、检偏器后的光强I和两透光轴夹角 间关系为：（42）式中：为入射光强。可见若改变两偏振器间的夹角则出射光强将发生变化。实际上偏振器不可能是理想的。自然光透过起偏器后不是完全线偏振光，而是部分偏振光。用检偏器检验时，即使两偏振器的透光轴互相垂直，透射光强也不为零。称检偏器相对起偏器转动时最小透射光强与最大透射光强之比为消光比。消光比越小，偏振器件质量越高。2、由各向异性介质产生偏振光5542 单色平面光波在各向异性均匀介质中的传播单色平面光波在各向异性均匀介质中的传播一、波面与光线一、波面与光线单色平面光波在各向异性介质中的传播比在各向同性均匀介质中传播复杂。此时介电常数 不再是定值，而是张量。对于各向异性均匀介质，为对角形张量，即 （43）设介质中的单色平面波电场强度、电感强度和磁场强度的表达式分别为：，将它们分别代入麦克斯韦方程组中的第一式和第二式，得：（44）42 单色平面光波在各向异性均匀介质中的传播56 可见垂直于和，垂直于和。又由坡印亭矢量表达式，可得如下结果：（45）式中下角标“0”表示单位矢量。通过上面分析可以看出，在各向异性均匀介质中，光波的 和 一般是不同向。因而波法线方向k（波面传播方向）与光线方向s（能流传播方向）一般是不同向。和 的夹角 就是k和s的夹角。如图42所示。由图42可以看出，光线速度 和波面法线速度（相速度）之间的关系为：（46）折射率之间的关系 （47）图图 4-2 晶体中晶体中D,E,k 可见垂直于和，垂直于和。又由坡印亭矢量表达式，57菲涅耳方程菲涅耳方程式（44）中消去 ，得：（48）对于轴上分量 ；（49）利用 ，即 ，得：（410）上式便为波法线菲涅耳方程。它表明各向异性均匀介质中对应于一个光波传播方向 可以有不同的折射率n，即不同的相速度。菲涅耳方程58三、单轴晶体的双折射三、单轴晶体的双折射 单轴晶体 ，即 ，根据折射率与介电常数的关系，可以定义三个主折射率 ；令 ，则 。由于单轴晶体是以x轴对称的，称x轴为光轴。为使问题简化，只讨论xy平面即可。设x与 轴夹角为 ，则 ；将其代入菲涅耳方程（410）式，得 （411）解之得两个实根 （412）表示单轴晶体中对应于一个波法线方向 可能有两种不同折射率（相速度）的光波。一个光波的折射率与 无关，称之为寻常光，即o光；另一个光波的折射率随 和x轴夹角 的变化而变化，称为非常光，即e光。这种现象称为双折射。对于e光，当 时，；当 时，。和x轴重合，即光波沿x轴传播时，o光和e光有相同的折射率和相速度，不发生双折射，故称轴为光轴。至于光和光的振动方向，可由（49）式求得。三、单轴晶体的双折射591、o光波 将 代入（49）式，得 （413）一、二式为 和 的二元一次方程，由于系数行列式不等于零，故 ；三式表示 ，故o光波的光矢量振动方向平行于z轴，即垂直于我们所考察的平面（波矢k所在平面）。2、e光波将 代入（49）式，得 （414）一、二式也为 和 的二元一次方程，但系数行列式等于零，；。三式 ，只有 。可见e光波的光矢量振动方向即在我们所考察的xy平面内。1、o光波60 由此可得出结论，单色平面波在单轴晶体内传播时是以两束光出现的，且均为线偏振光，两者的光矢量振动方向互相垂直。其中o光波的光矢量振动方向垂直于波矢所在平面（xy平面），而e光波的光矢量振动方向在波矢所在平面。由于 垂直于k，所以o光的 和 重合，e光的 和 均在平面内，但两者不重合，有一夹角 ，如图43所示。e光的 矢量在xy平面内的具体指向，可根据第一式或第二式由 和 之比确定，将 值代入得：（415）且 （4 16）可见e光的 矢量和 矢量方向一般不一致，因而e光的波法线方向与光线方向一般也不一致。图图 4-3 单轴晶体中单轴晶体中o,e光光各矢量的方向各矢量的方向 （4 16）各矢量的方向各矢量的方向 由此可得出结论，单色平面波在单轴晶体内传播时是以两61 在晶体光学中把光波波法线方向与光线方向的夹角 称为离散角。在实际问题中，如已知波法线方向，由离散角 可确定相应的光线方向。对于单轴晶体，o光的离散角恒等于零，e光的离散角可根据上面得出的关系求出。由图43知 ，其中 是e光线 与光轴（x轴）的夹角。且 （417）即 （418）四、单轴晶体的折射率椭球、波矢面、光线面与法线面间的关系单轴晶体的折射率椭球、波矢面、光线面与法线面间的关系 由于晶体光学的复杂性，在实际常使用一些表示晶体光学性质的几何图形帮助说明问题。常用的几何图形有折射率椭球、波矢面、法线面和光线面等。但是，建 立的物理概念越多，使人们的思维越复杂，反而容易引起混乱。实际上这些物理概念之间是互相关联的。这里只介绍折射率椭球、波矢面及光线面与法线面的几何关系。在晶体光学中把光波波法线方向与光线方向的夹角 621、折射率椭球双轴晶体的折射率椭球方程为：（419）单轴晶体的折射率椭球方程为：（420）其几何图形如图44所示。其中（a）为负单轴晶体（，如方解石），(b)为正单轴晶体（，如石英）的折射率椭球形状。图图 4-4 单轴晶体的折射率椭球单轴晶体的折射率椭球 a)负晶体负晶体 b)正晶体正晶体1、折射率椭球63 图图 4-5 对应于对应于ko的的单轴晶单轴晶体折射率椭体折射率椭球截面球截面由单轴晶体的折射率椭球可以看出：（1）椭球在yz平面的截线是一个圆，半径为 。光矢量在此平面内振动速度为 ，表示光波沿光轴（x轴）传播的速度为 。（对于双轴晶体，可得两个截线圆，故称双轴晶体）（2）当波矢量k垂直于光轴时，即光波沿垂直x轴方向传播时，对应截线为一椭圆，其长短轴分别对应折射率 和 。这表明，当波法线方向垂直光轴时，允许两个线偏振光传播。平行于光轴的为e光波，称为e光的主折射率；垂直于光轴的为o光波，主折射率为 。(3)当波矢量k与光轴成 角（，）时，通过椭球中心垂直于k的平面与椭球的截线也是一个椭圆（如图45所示），它的长短轴分别为 ，和 。由几何关系可证明 （421）此结果和前面理论分析是一致的。图 4-5 对应于ko的单轴晶体折射率椭球截面由单轴晶642、波矢面波矢面即法线面的解析式可由波法线菲涅耳方程（410）式求得。对于单轴晶体，可得如下两个方程：a)b)图图 4-6 单轴晶体波矢面单轴晶体波矢面 a)负晶体负晶体 b)正晶体正晶体 （422）第一个方程的图形是半径为 的球面。第二个方程是旋转椭球面，旋转轴为x轴（光 轴）。两个波矢面在x轴相切（如图46所示）。显然第一个波矢面对应于o光，第二个波矢面对应于e光。2、波矢面653、光线面和法线面的几何关系 波矢面确定后，根据光线面和法线面的几何关系可以得到光线面。两者的几何关系如图47所示。法线面是 光线面的垂足曲面。通过法线面上任一点作法线面的垂面，这些垂面的包络面就是光线面。图图 4-7 光线面与法线面光线面与法线面的几何关系的几何关系43 光波经单轴晶体的折射 单轴晶体主要用来作为偏振元件。单轴晶体是以光轴（x轴）旋转对称的。所以o光和e光的波矢和坡印亭矢量均在通过光轴的平面内，称之为主平面。即主平面是波矢和光轴构成的平面。物理光学又将晶体表面法线和光轴构成的平面称为主截面。如果入射光线在主截面内，根据折射定律，折射光线必也在主截面内，因此主平面和主截面重合。这会使所研究的双折射现象大为简化。实践中将晶体做成平行六面体，光波在一个表面入射，在其平行的表面出射。在晶体内o光和e光的波矢和坡印亭矢量均在主截面（主平面）内，只不过光的波矢和坡印亭矢量分开，但经出射表面后两者又合在一起。由于o光和e光在晶体内折射率不同，且光的波矢和坡印亭矢量分开，坡印亭矢量表征能流的传播方向，即光线方向。故在经晶体出射表面出射的光为两偏振光o光和e光，即o光和e光分开。3、光线面和法线面的几何关系 图 4-7 光线面与法线面66图48为方解石晶体的示意图。应指出光波经晶体表面折射时，o光的波法线（波矢）和光线（坡印亭矢量）均严格遵守折射定律。e光的波法线遵守折射定律，但光线只遵守折射定律的第一条，即折射光线位于入射光线和通过入射点的折射面法线所确定的平面内，但不遵守折射定律的第二条 ，遇到的困难是折射后的波矢和光轴的夹角不易求得。一般采用的方法是作图法结合解析法，且取特殊入射角。作图法主要有斯涅耳(Snell)作图法和惠更斯作图法。图图 4-8 方解石晶体的主截面方解石晶体的主截面 斯涅耳作图法是根据波法线遵守折射定律，从而可求出折射后的波法线方向。由折射后光波法线和光轴的夹角，再根据离散角求得光折射光线和光轴夹角，从而求得折射光线方向。但一般情况也不易得到，为此入射角取特殊值，以便得到。斯涅耳作图法如图49所示。图48为方解石晶体的示意图。67 平面单色光波从各向同性均匀介质射向晶体表面，入射角为I，入射点为o，以o点为球心画出入射波的波矢面 ，然后画出晶体中o光和e光的波矢面 和 。将入射光线延长和 交点为A，过A做垂直界面的直线，与 和 的交点分别为B及C ，则OB和OC分别为o光的波矢 和e光波矢 。这是因为根据折射定律 。道理虽然简单，但是折射后的波矢面，特别是 不是轻而易举便可画出的，所以一般使入射光线和晶体光轴成特殊角度。例例：平面钠光（）正入射到方解石（负晶体）上，（，），光轴在图面内（即图面为主截面），且与晶体表面成 角（如图410所示）。求（1）o光和e光经晶体后的出射方向及偏振方向。（2）当晶体厚度d为1mm时，o光和e光射出晶体后的位相差。图图 4-10 光波正入射时方解石晶体的双折射光波正入射时方解石晶体的双折射 平面单色光波从各向同性均匀介质射向晶体表面，入射角68解：（1）由于是正入射，光波经晶体表面后波矢均在入射光线和光轴所确定的平面内（主截面），且与晶体表面垂直。由于o光的波法线（波矢）和光线重合，故o光的光线也与晶面垂直。对于e光，光线不与波法线重合，它与波法线夹角 按418式计算得：即 ，负号表示e光线与光轴夹角 大于e光波法线与光轴夹角 ，故光e线较其波法线远离光轴。经晶体另一表面折射后，o光和e光的光线又与波法线重合，但两光线不再重合而是平行。o光的光矢量振动方向垂直图面，而e光的光矢量振动方向平行于图面。故得到两个振动方向互相垂直的线偏振光。（2）e光波在与光轴成 角方向的折射率为：光和光的光程差光程差惠更斯作图法是根据惠更斯原理得出的。即任意时刻波前上的每一点均可视为新的球面子波的波源，新的波前是这些子波