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基本原理与方法基本原理与方法第三章第三章水文统计水文统计2024/4/271基本原理与方法第三章水文统计2023/7/311了解其它有关水文统计的知识。了解其它有关水文统计的知识。掌握掌握经验累积频率曲线经验累积频率曲线绘制；绘制；P P 形形理论频率曲线理论频率曲线；直线直线相关分析相关分析；统计参数计算；统计参数计算；重点重点2024/4/272了解其它有关水文统计的知识。掌握经验累积频率曲线绘制；P 31 31 水文统计的意义及基本概念水文统计的意义及基本概念本节自学：本节自学：1 1、水文统计为何要采用数理统计法、水文统计为何要采用数理统计法2 2、自然界中的现象可分为哪三种类型，举例说明、自然界中的现象可分为哪三种类型，举例说明3 3、统计规律性、连续性随机变量、离散性随机变量、统计规律性、连续性随机变量、离散性随机变量、总体、样本、随机样本、样本容量、有限总体。总体、样本、随机样本、样本容量、有限总体。2024/4/27331 水文统计的意义及基本概念本节自学：1、水文统计为4 4、数理统计法对水文资料的要求是什么、数理统计法对水文资料的要求是什么检查资料检查资料的的可靠性可靠性检查资料检查资料的的代表性代表性检查资料检查资料的的一致性一致性检查资料检查资料的的随机性随机性检查资料检查资料的的独立性独立性简简 介介2024/4/2744、数理统计法对水文资料的要求是什么检查资料的可靠性检查资料32 32 概率与频率概率与频率P(A)=P(A)=m mn n一、概念一、概念1 1、概率、概率0 0 P(A)1P(A)1随机事件在客观上出现的可能性大小的数值，随机事件在客观上出现的可能性大小的数值，也称机率。也称机率。P(A)P(A)随机事件随机事件 A A 的出现机率；的出现机率；m m 事件事件A A在客观上出现的结果总数；在客观上出现的结果总数；n n 一切可能出现的结果总数（总体容量一切可能出现的结果总数（总体容量)。2024/4/27532 概率与频率P(A)=mn一、概念1、概率0 事先概率事先概率总体是有限的，其随机变量的机率可事先算出总体是有限的，其随机变量的机率可事先算出事后概率事后概率经验概率经验概率总体是无限的，其随机变量的总体是无限的，其随机变量的机率无法事先算出机率无法事先算出水文统计是事后机率，因为水文特征值是无限总体水文统计是事后机率，因为水文特征值是无限总体2024/4/276事先概率总体是有限的，其随机变量的机率可事先算出事后概率经验2 2、频率、频率在若干次重验复实验中，某事件出现的次数在若干次重验复实验中，某事件出现的次数 与实验总次数之比。与实验总次数之比。W W（A A）=m mn nW W（A A）随机事件随机事件 A A 的频率的频率 。m m 随机事件随机事件 A A 的频数。的频数。n n 总的实验次数。总的实验次数。频率是随机实验频率是随机实验时的实测值时的实测值2024/4/2772、频率在若干次重验复实验中，某事件出现的次数W（A）=3 3、频率频率与概率的关系与概率的关系频率频率是实测值是实测值概率概率是理论值是理论值当试验次数越多，当试验次数越多，频率与概率的值越接频率与概率的值越接近近2024/4/2783、频率与概率的关系频率是实测值概率是理论值当试验次数越多，二、概率运算定理二、概率运算定理1 1、概率相加定理：、概率相加定理：p(Ap(A1 1+A+A2 2+A+An n)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)+P(A)+P(An n)2 2、概率相乘定理：概率相乘定理：p(Ap(A1 1*A*A2 2*A*An n)=P(A)=P(A1 1)*P(A)*P(A2 2)*P(A)*P(An n)2024/4/279二、概率运算定理1、概率相加定理：p(A1+A2+An三、随机变量的概率分布三、随机变量的概率分布 随机变量与其概率的一一对应关系，称随机变随机变量与其概率的一一对应关系，称随机变量的概率分布。量的概率分布。1 1、随机变量的概率分布、随机变量的概率分布2 2、频率及有关概念、频率及有关概念将水文观测资料由大到小排列，按等将水文观测资料由大到小排列，按等区间分成若干组，区间分成若干组，各组出现的次数各组出现的次数与总次数之比，即为频率。与总次数之比，即为频率。（1 1）频率频率表示每组所在区间的变量表示每组所在区间的变量值出现的可能程度值出现的可能程度2024/4/2710三、随机变量的概率分布 随机变量与其概率的一一对应关系（2 2）频率密度）频率密度（A A）频率变量；频率变量；（B B）频率密度变量；频率密度变量；频率在区间内的平均值频率在区间内的平均值即：即：（3 3）直方图直方图（4 4）频率密度曲线）频率密度曲线当当x x0 0 时，直方图近乎曲线，时，直方图近乎曲线，此曲线即频率密度曲线。此曲线即频率密度曲线。2024/4/2711（2）频率密度（A）频率变量；（B）频率密度变量；频pxx频率密频率密度曲度曲线线（A A）密度函数密度函数:dxdpx D pxp=D=lim)(2024/4/2712pxx频率密（A）密度函数:dxdpx D pxp=D=li（B B）密度曲线形状密度曲线形状见图见图3.23.2多呈铃形（正态）分布，中间值频率较大，两头较小。多呈铃形（正态）分布，中间值频率较大，两头较小。由曲线形状可以知道：密度曲线呈中由曲线形状可以知道：密度曲线呈中间大，两头小的。而大多数的水文现象间大，两头小的。而大多数的水文现象具有此规律性。故密度曲线和密度具有此规律性。故密度曲线和密度函数可用来描述连续型随机变函数可用来描述连续型随机变 量的统计规律。量的统计规律。2024/4/2713（B）密度曲线形状见图3.2多呈铃形（正态）分布，中间值频率四、累积频率与重现期四、累积频率与重现期1 1、累积频率、累积频率 等量或超量值的累积频数与总观测次等量或超量值的累积频数与总观测次数之比。数之比。是机率相加定理的应用是机率相加定理的应用公式公式2024/4/2714四、累积频率与重现期1、累积频率等量或超量值的累积频数与p p（x xx xi i）累积频率累积频率m m 累积频数累积频数n n 总观测次总观测次观测年限越长，则样观测年限越长，则样本容量越大，其预见性本容量越大，其预见性越可靠。越可靠。其中：其中：2024/4/2715p（x xi）累积频率m 累积频数n 总xp观测年限越长，则样本容量越大，其预见性越可靠。观测年限越长，则样本容量越大，其预见性越可靠。累积频率曲线累积频率曲线频率分布曲线频率分布曲线2024/4/2716xp观测年限越长，则样本容量越大，其预见性越可靠。累积频率曲2 2、重现期、重现期 等于或大于某随机变量等于或大于某随机变量 x xi i 的值，平均多少年的值，平均多少年 （或多少（或多少次次）可能遇见一次，简称多少年（或可能遇见一次，简称多少年（或 多少次）一遇。多少次）一遇。重现期较累积频率更易懂、具体重现期较累积频率更易懂、具体2024/4/27172、重现期 等于或大于某随机变量 xi 的值，平均多少年T T=1 1p p（p p 50%50%）T T=1 11 1p p（p p 50%50%）其中：其中：T T 重现期重现期 p p累积频率累积频率对于洪水频率对于洪水频率对于枯水频率对于枯水频率2024/4/2718T=1p（p 50%）T=11p（p 50%）其中p p=95%=95%时，时，表示表示2020年一遇的枯水年一遇的枯水p p=5%=5%时，时，表示表示2020年一遇的洪水年一遇的洪水例例而重现期是指长期内平均若干年可能出而重现期是指长期内平均若干年可能出 现一次，而不是固定周期。现一次，而不是固定周期。注意注意频率是指多年平均出现的机会频率是指多年平均出现的机会2024/4/2719p=95%时，表示20年一遇的枯水p=5%时，同等级建筑物的设计频率值相同，但因实际的水同等级建筑物的设计频率值相同，但因实际的水 文现象不尽相同，故设计值也存在着差异。文现象不尽相同，故设计值也存在着差异。设计频率标准由工程的重要性及建筑物的等级确定；设计频率标准由工程的重要性及建筑物的等级确定；五、设计频率标准（简介）五、设计频率标准（简介）2024/4/2720同等级建筑物的设计频率值相同，但因实际的水设计频率标准由工程1 1、频率设计标准、频率设计标准是根据工程的重要性及建筑物的等是根据工程的重要性及建筑物的等 级来制定的允许破坏率和安全率级来制定的允许破坏率和安全率建筑物正常运转遭到破坏的可能性建筑物正常运转遭到破坏的可能性在年内都能保证安全的机率在年内都能保证安全的机率破坏率破坏率保证率保证率它与安全率是两个不同的概念它与安全率是两个不同的概念2024/4/27211、频率设计标准是根据工程的重要性及建筑物的等建筑物2 2、保证率的计算、保证率的计算PM=(1-p)n 在在 n n 年内都能保证安全的机率年内都能保证安全的机率n n 保证安全的年数保证安全的年数P P破坏率破坏率n n 越小，保证率越大，即越小，保证率越大，即要求保证的年数越小，可以要求保证的年数越小，可以达到的保证率越大。达到的保证率越大。2024/4/27222、保证率的计算PM=(1-p)n 在 n 年内都33 33 经验累积频率曲线经验累积频率曲线一、经验累积频率曲线一、经验累积频率曲线 将某水文变量按由大到小的顺序排列，计算大于等于将某水文变量按由大到小的顺序排列，计算大于等于某变量的累积频数，并计算其累积频率。以累积频率作为横某变量的累积频数，并计算其累积频率。以累积频率作为横坐标，相应的变量作为纵坐标，并将其对应值点绘在坐标中，坐标，相应的变量作为纵坐标，并将其对应值点绘在坐标中，且目估一条光滑的曲线，此曲线即经验累积频率曲线。且目估一条光滑的曲线，此曲线即经验累积频率曲线。经验累积频率曲线经验累积频率曲线2024/4/272333 经验累积频率曲线一、经验累积频率曲线 将某二、经验累积频率公式二、经验累积频率公式1 1、古典公式：、古典公式：其中：其中：m m 随机变量序号随机变量序号n n 随机变量总数随机变量总数适用于系列比较适用于系列比较长，即长，即 n n 很大很大时，否则时，否则 p p 不不合理，故水文计合理，故水文计算中一般不采用算中一般不采用此种公式。此种公式。2024/4/2724二、经验累积频率公式1、古典公式：其中：m 随机变量序号注意：注意：m m 是按由大到小排列的变量序号。是按由大到小排列的变量序号。如：如：m m=10=10，n n=10=10，则则 p p=100%=100%，显然与事实相背，显然与事实相背，因为样本中的因为样本中的，最小值不一定是总体中的最小值，最小值不一定是总体中的最小值，故此式不尽合理。故此式不尽合理。2024/4/2725注意：m 是按由大到小排列的变量序号。如：m=10，2 2、数学期望公式（维泊尔公式）：、数学期望公式（维泊尔公式）：3 3、中值公式（切哥达也夫）：、中值公式（切哥达也夫）：符号的符号的意义同上。意义同上。常用此公常用此公式式2024/4/27262、数学期望公式（维泊尔公式）：3、中值公式（切哥达也夫）：4 4、海森公式：、海森公式：以上几个公式各有特点，从形式上难以确定以上几个公式各有特点，从形式上难以确定哪个更符合实际，因为不管哪个公式都存在一定哪个更符合实际，因为不管哪个公式都存在一定的抽样误差，的抽样误差，且愈靠近两端，误差愈大，故只有且愈靠近两端，误差愈大，故只有增大样本容量，才能使计算结果更接近实际。实增大样本容量，才能使计算结果更接近实际。实践证明，维泊尔公式的结果偏于安全，且公式形践证明，维泊尔公式的结果偏于安全，且公式形式简单，工程水文中常用此式。式简单，工程水文中常用此式。2024/4/27274、海森公式：以上几个公式各有特点，从形式上难以确定2024/4/272024/4/2728282023/7/3128三、经验累积频率曲线的绘制和应用三、经验累积频率曲线的绘制和应用选定经验累积频率公式选定经验累积频率公式据公式计算系列中变量的经验频率据公式计算系列中变量的经验频率以频率为横坐标，随机变量为纵坐标，以频率为横坐标，随机变量为纵坐标，将各计算值点绘在坐标纸上将各计算值点绘在坐标纸上将各点用一条光滑的曲线相连，即为将各点用一条光滑的曲线相连，即为 经验累积频率曲线。经验累积频率曲线。步骤步骤2024/4/2729三、经验累积频率曲线的绘制和应用选定经验累积频率公式据公式计四、经验累积频率曲线的外延四、经验累积频率曲线的外延 由于在实际工程中，往往需要将实测的频率曲由于在实际工程中，往往需要将实测的频率曲线向两端延长，以满足于设计频率标准。但若在普线向两端延长，以满足于设计频率标准。但若在普通坐标纸上点绘曲线，由于曲线两端曲率变化较大，通坐标纸上点绘曲线，由于曲线两端曲率变化较大，如果只凭目测使其延长，则误差太大，故可采用以如果只凭目测使其延长，则误差太大，故可采用以下的方法：下的方法：2024/4/2730四、经验累积频率曲线的外延 由于在实际工程中，往往需要1 1、应用机率格纸绘制经验累积频率曲线、应用机率格纸绘制经验累积频率曲线一般采用海森一般采用海森 机率格纸机率格纸（1 1）可以使密度曲线为正态分布的分布曲线，）可以使密度曲线为正态分布的分布曲线，在海森机率格纸上呈现一条直线；在海森机率格纸上呈现一条直线；（2 2）由于实测水文资料系列，其密度曲线很少呈）由于实测水文资料系列，其密度曲线很少呈 现严格的正态分布，故此分布曲线也并非一现严格的正态分布，故此分布曲线也并非一 条完全的直线，外延仍有一定的误差。条完全的直线，外延仍有一定的误差。特点特点2024/4/27311、应用机率格纸绘制经验累积频率曲线一般采用海森 （1）2 2、利用数学方程式（即、利用数学方程式（即理论累积频率曲线理论累积频率曲线）对水文资料的频率密度曲线选配对水文资料的频率密度曲线选配一条合适的数学模型，利用数学的一条合适的数学模型，利用数学的方法推求累积频率曲线方程式方法推求累积频率曲线方程式 安全与经济是一对矛盾体，解决问题的办安全与经济是一对矛盾体，解决问题的办法就是由国家统筹考虑给出的设计频率。法就是由国家统筹考虑给出的设计频率。2024/4/27322、利用数学方程式（即理论累积频率曲线）对水文资料的频率密度3-4 3-4 随机变量的统计参数随机变量的统计参数统计参数统计参数 某些随机事件虽然有共同的统计规律，但不同的系某些随机事件虽然有共同的统计规律，但不同的系列中，其取值也不同，故描述频率分布的密度曲线和分列中，其取值也不同，故描述频率分布的密度曲线和分布曲线也具有不同的形状。为了选配合适的密度曲线数布曲线也具有不同的形状。为了选配合适的密度曲线数学模型，就必须选好合适的统计参数。学模型，就必须选好合适的统计参数。在数理统计法中，为描述不同系列的频率分在数理统计法中，为描述不同系列的频率分 布和曲线形状，所采用的能反映其特征的几布和曲线形状，所采用的能反映其特征的几 个具体数据。个具体数据。2024/4/27333-4 随机变量的统计参数统计参数 某些随机水文统计常用的几个统计参数：水文统计常用的几个统计参数：1 1、均值、均值x x 与系列中所有变与系列中所有变 量有关，反映系列量有关，反映系列变量平均水平的参变量平均水平的参数，是系列量的代数，是系列量的代表。表。2 2、计算：、计算：一、均值一、均值加权平均法加权平均法算数平均法算数平均法2024/4/2734水文统计常用的几个统计参数：1、均值x 与系列中所有变 量如：如：有一实测系列：有一实测系列：x x1 1，x x2 2，x x3 3，x xn n，相应的频数是：相应的频数是：f f1 1，f f2 2，f f3 3，,f,fn n 。则有：则有：（1 1）加权平均法）加权平均法2024/4/2735如：有一实测系列：x1，x2，x3，xn（2 2）算数平均法：）算数平均法：当各变量占有同等比重（即出现的次数相同）时。当各变量占有同等比重（即出现的次数相同）时。可写为：可写为：均值的大小能反映系均值的大小能反映系列分布中心和密度曲列分布中心和密度曲线的位置线的位置2024/4/2736（2）算数平均法：当各变量占有同等比重（即出现的次数相同）时二、均方差、变差系数（离散系数）二、均方差、变差系数（离散系数）1 1、均值的数学特性：、均值的数学特性：2 2、均方差、均方差 s s描述系列各变量的离散程度。可用以比较描述系列各变量的离散程度。可用以比较系列的均值相同时，其离散程度的大小。系列的均值相同时，其离散程度的大小。2024/4/2737二、均方差、变差系数（离散系数）1、均值的数学特性：2、均方（1 1）公式：）公式：水文资料水文资料应是样本，应是样本，故一般应故一般应用此式。用此式。总体总体n n 总数总数2024/4/2738（1）公式：水文资料应是样本，总体样本n 总数2023/如：有两系列如：有两系列甲：甲：10 10，5050，9090s s=40=40=50=50乙：乙：49 49，5050，5151=50=50s s=1=1（2 2）注：）注：只用均值无法表示系列的离散程度，由只用均值无法表示系列的离散程度，由s s可可以知道甲系列比乙系列的离散程度大。以知道甲系列比乙系列的离散程度大。故若比较系列的故若比较系列的离散程度应考虑均值离散程度应考虑均值和均方差和均方差2024/4/2739如：有两系列甲：10，50，90s=40=50乙：4当均值都相同时，均方差越大，则离散程度越大。当均值都相同时，均方差越大，则离散程度越大。当均方差相同时，均值越大，则离散程度越小。当均方差相同时，均值越大，则离散程度越小。此时可用以下的变差系数判别此时可用以下的变差系数判别2024/4/2740当均值都相同时，均方差越大，则离散程度越大。当均方差相同时，表示系列的相对离散程度表示系列的相对离散程度3 3、变差系数、变差系数C Cv v均方差与均均方差与均值的比值的比可用来比较均值不同，可用来比较均值不同，均方差相同的两个系列均方差相同的两个系列的离散程度。的离散程度。2024/4/2741表示系列的相对离散程度3、变差系数Cv均方差与均可用来比较均（1 1）公式）公式总体总体若引入模比系数若引入模比系数则公式为：则公式为：31316 6式式2024/4/2742（1）公式总体样本若引入模比系数则公式为：316式2023（2 2）例：例：乙系列：乙系列：995,1000,1005995,1000,1005甲系列：甲系列：5 5，1010，1515=10=10，s s甲甲=5=5，C Cv v甲甲=0.5=0.5x x甲甲=1000=1000，s s乙乙=5=5，C Cv v乙乙=0.005=0.005X X乙乙注：当甲、乙系列的注：当甲、乙系列的s s 相同，但相同，但可比较可比较 C Cv v,C Cv v小则离散程度小。小则离散程度小。不相同时不相同时,即：当均方差相同时，均值即：当均方差相同时，均值 越小，离散程度越大越小，离散程度越大2024/4/2743（2）例：乙系列：995,1000,1005甲系列：5，1（3 3）影响）影响 C Cv v 的因素的因素1 1 流域形状流域形状狭长形流域的狭长形流域的 C Cv v 枝状形流域的枝状形流域的 C Cv v大流域的大流域的 小流域的小流域的径流均匀、波动小的径流均匀、波动小的 波动激烈的波动激烈的2024/4/2744（3）影响 Cv 的因素1 流域形状狭长形流域的 Cv 2 2河网的布置河网的布置下游下游 上游上游同一流域，各支流洪水汇合后的干流段同一流域，各支流洪水汇合后的干流段 C Cv v 汇合前；汇合前；3 3实测系列时段的长短实测系列时段的长短同一水文现象，时段长的同一水文现象，时段长的 C Cv v 时段短的时段短的 C Cv v2024/4/27452河网的布置下游 上游同一流域，各支流洪水汇合后的干流段三、偏态系数三、偏态系数(偏差系数偏差系数)1 1、偏态系数、偏态系数 C Cs s衡量一个系列在均值两衡量一个系列在均值两侧对称程度的参数。侧对称程度的参数。（1 1）公式：）公式：总体总体2024/4/2746三、偏态系数(偏差系数)1、偏态系数 Cs衡量一个系列在均值（2 2）C Cs s 对曲线的影响对曲线的影响C Cs s 0 0C Cs s 0 0C Cs s 0 0Cs 0Cs 1 皮尔逊皮尔逊型曲线只是一种数学模型，具体应用时应型曲线只是一种数学模型，具体应用时应 联系具体的水文现象作分析；联系具体的水文现象作分析；（2 2）问题：）问题：2 2 为了寻求一条与经验频率符合的较好的理论频率曲线为了寻求一条与经验频率符合的较好的理论频率曲线 的参数，需多次调整参数的参数，需多次调整参数:x x、c cv v为此，可采用试算的方法。为此，可采用试算的方法。2024/4/27531 皮尔逊型曲线只是一种数学模型，具体应用时应（2）问4 4、统计参数对、统计参数对皮皮 型曲线的影响型曲线的影响皮皮 型型曲线是密度曲线是密度曲线曲线C Cv v 次之次之,最小。最小。X X用三个统计参数建立起的数学模型去用三个统计参数建立起的数学模型去推论总体的情况，推论总体的情况，C Cs s 带来的误差最大，带来的误差最大，2024/4/27544、统计参数对皮 型曲线的影响皮 型Cv 次之,最小（1 1）均值反映位置变化）均值反映位置变化x1x2yx当当 C Cv v 、C Cs s 不变时，曲线形状基本不变，不变时，曲线形状基本不变，X X但曲线位置随但曲线位置随变化沿变化沿 X X 轴移动。轴移动。2024/4/2755（1）均值反映位置变化x1x2yx当 Cv、Cs 不变时（2 2）C Cv v 反映密度曲线的高矮情况反映密度曲线的高矮情况:yx C Cv1 v1 C Cv2 v2 0 0，曲线峰偏左曲线峰偏左,C Cs s 越大越大,峰越向左偏。峰越向左偏。因为年最大流因为年最大流量系列量系列 C Cs s 无无负值，故曲线负值，故曲线总是峰偏左总是峰偏左（正偏态正偏态）。）。2024/4/2757（3）Cs 反映密度曲线的偏斜情况：yxCs1Cs2若及 C5 5、统计参数对理论累积频率曲线形状的影响、统计参数对理论累积频率曲线形状的影响的影响：的影响：（1）c cv v 、c cS S 一定时，曲线形状不变，分布一定时，曲线形状不变，分布曲线水平的高低随曲线水平的高低随而变。而变。xp 2024/4/2759（2）cv 的影响：、cS一定时，cv增大，则曲线左端上升（3 3）c cS S 的影响：的影响：cv、一定，且一定，且 c cS S 0 0时，时，c cS S 愈大，则曲线愈大，则曲线左上端愈陡，中段下落，左上端愈陡，中段下落，右端变缓。右端变缓。当当 c cS S 2 23 3时时,曲线下曲线下 端水平。端水平。xPcS1cS2cS3cS1cS2cS3=02024/4/2760（3）cS 的影响：cv、一定，且 cS 0时，c二、克里茨基二、克里茨基闵凯里曲线闵凯里曲线是水文学中常用的理论频率密度曲线之一是水文学中常用的理论频率密度曲线之一（3 3）具有一个众值具有一个众值0 x 、cS、cv（1 1）可以求出三个独立的统计参数：）可以求出三个独立的统计参数：（2 2）特征值的变化范围是：特征值的变化范围是：应用条件应用条件2024/4/2761二、克里茨基闵凯里曲线是水文学中常用的理论频率密度曲线 此曲线的适应性大，适合于分析我国北方河流的径此曲线的适应性大，适合于分析我国北方河流的径流资料。但因此曲线将下限定于零点，与实际不符（最流资料。但因此曲线将下限定于零点，与实际不符（最大流量与年径流量的最小值均不可能为零），故不常大流量与年径流量的最小值均不可能为零），故不常用，常用的是用，常用的是 p p 型曲线。型曲线。C Cs 2s 2时，曲线下端出现时，曲线下端出现负值，也与事实不符。负值，也与事实不符。2024/4/2762 此曲线的适应性大，适合于分析我国北方河流的径Cs 1 均方误均方误误差的平均值或平均误差误差的平均值或平均误差2 2 机误机误凡是使误差落在与不落在它们均方误两侧凡是使误差落在与不落在它们均方误两侧 （即大于和小于误差均值）各（即大于和小于误差均值）各 一一 个定值范个定值范 围内的机率相等（围内的机率相等（50%50%），），则这一定值称机则这一定值称机 误。误。3 3 最大误差最大误差误差理论一般认为，左右一个均方误为一误差理论一般认为，左右一个均方误为一 般误差范围；般误差范围；三个均方误三个均方误或或四个机误四个机误为误为误 差的极限范围，即差的极限范围，即最大误差最大误差。2024/4/27661 均方误误差的平均值或平均误差2 机误凡是使误 由误差理论可知，当误差界限取均值两旁各一个由误差理论可知，当误差界限取均值两旁各一个均方差或机误时，有：均方差或机误时，有：由此可知，均方差或由此可知，均方差或机误是给实际样本以一种机误是给实际样本以一种估计其准确性的界限，并估计其准确性的界限，并称之为置信区间。称之为置信区间。置信区间越小，则误差置信区间越小，则误差越小，因而样本的代表越小，因而样本的代表性也越好。性也越好。2024/4/2767 由误差理论可知，当误差界限取均值两旁各一个均方差或机（1 1）抽样误差的作用：）抽样误差的作用：11为保证设计安全，可作为一种安全系数加以考虑为保证设计安全，可作为一种安全系数加以考虑22可用来评价所统计的水文资料是否超出给定的精度可用来评价所统计的水文资料是否超出给定的精度33选配理论累积频率曲线时，可作为修正统计参数的选配理论累积频率曲线时，可作为修正统计参数的 参考值。参考值。2 2、计算、计算2024/4/2768（1）抽样误差的作用：1为保证设计安全，可作为一种安全系数（2 2）计算：）计算：见见 p p6262水文计算中常以皮水文计算中常以皮型曲线或型曲线或正态分布曲线为机率密度函数的正态分布曲线为机率密度函数的假想数学模型假想数学模型2024/4/2769（2）计算：见 p62水文计算中常以皮型曲线或正态分布曲37 37 水文频率分析水文频率分析频率分析频率分析即确定合适的统计参数即确定合适的统计参数 在水文计算中，统计参数的正确与否会直接在水文计算中，统计参数的正确与否会直接影响最终的设计值，故应使统计参数尽可能的与影响最终的设计值，故应使统计参数尽可能的与实测资料相符。实测资料相符。（1 1）试错适线法）试错适线法（2 2）矩矩法法常用的频率常用的频率分析法有分析法有经验适经验适线法线法p68p682024/4/277037 水文频率分析频率分析即确定合适的统计参数 一、方法一、方法公式：公式：1 1、矩法、矩法由实测系列算出三个统计参数由实测系列算出三个统计参数，而后计算，而后计算c cv vc cS S设计值设计值 x xp p 。此法要求系列长，即样本容量要大，否则此法要求系列长，即样本容量要大，否则 c cS S误差大，会造成计算结果不可靠，故一般误差大，会造成计算结果不可靠，故一般极少直接应用。极少直接应用。2024/4/2771一、方法公式：1、矩法由实测系列算出三个统计参数，而后计2 2、适线法、适线法矩法与经验累积频率点据相结合，以选配合矩法与经验累积频率点据相结合，以选配合 适的理论频率曲线的方法。适的理论频率曲线的方法。试错适线法试错适线法试错适线法试错适线法三点适线法三点适线法有有略略2024/4/27722、适线法矩法与经验累积频率点据相结合，以选配合试错适线先假定一个先假定一个c cS S值，与实测系列的值，与实测系列的及及 c cv v 相相结合，求得一条理论曲线，经过多次调整结合，求得一条理论曲线，经过多次调整 c cS S 值，使值，使其与实测曲线基本吻合，最后再计算其与实测曲线基本吻合，最后再计算 x xp p。试错适线法试错适线法试错适线法试错适线法2024/4/2773先假定一个cS值，与实测系列的及 cv 相结合，求得一条理（1 1）将实测点据点绘在机率格纸上（）将实测点据点绘在机率格纸上（x xp p ）的关系；的关系；经验累积频率曲线经验累积频率曲线（2 2）由实测系列计算有关的参数：）由实测系列计算有关的参数：、c cv v ，k ki i（k ki i 11）2 2据此查出据此查出p p，算出算出 k kp p=p p c cv v+1 +1 。试选几种试选几种 c cS S （2 24 4）c cv v ，步骤步骤2024/4/2774（1）将实测点据点绘在机率格纸上（xp）的关系；经验累积（4 4）据选定的曲线查算）据选定的曲线查算 x xp p 。（3 3）将不同）将不同 c cS S 对应的理论曲线同时点绘在经验累积对应的理论曲线同时点绘在经验累积 频率曲线的机率格纸上，找出一条最合适的理论频率曲线的机率格纸上，找出一条最合适的理论 曲线。曲线。例例 3103102024/4/2775（4）据选定的曲线查算 xp 。（3）将不同 cS 对应的38 38 相关分析相关分析 自然界中许多现象不是孤立的，而是相互之间有一自然界中许多现象不是孤立的，而是相互之间有一定的联系，人们在长期的实践中发现，两个变量之间的定的联系，人们在长期的实践中发现，两个变量之间的关系可以归纳为两大类。关系可以归纳为两大类。函数关系函数关系相关关系相关关系即：即：2024/4/277638 相关分析 自然界中许多现象变量之间有确定的一一对应值，这变量之间有确定的一一对应值，这 种关系称作函数关系。种关系称作函数关系。（1 1）函数关系）函数关系（2 2）相关关系）相关关系对于变量的每一个确定的值，对对于变量的每一个确定的值，对 应的值没有确切的值，但经大量应的值没有确切的值，但经大量 的观察后可发现它们之间存在某的观察后可发现它们之间存在某 种关系，这种关系称为相关关系。种关系，这种关系称为相关关系。2024/4/2777变量之间有确定的一一对应值，这（1）函数关系（2）相关关一、相关分析的意义一、相关分析的意义1 1、相关分析、相关分析对变量之间数量关系的分析，称为相关分析。对变量之间数量关系的分析，称为相关分析。2 2、意义、意义当某一水文现象资料较短，而与之有关的另一当某一水文现象资料较短，而与之有关的另一 水文现象资料较长时，可用相关分析法来延长水文现象资料较长时，可用相关分析法来延长 较短的系列或插补缺测的资料。较短的系列或插补缺测的资料。2024/4/2778一、相关分析的意义1、相关分析对变量之间数量关系的分析，1 1、按相关变量的多少可分为：、按相关变量的多少可分为：二、相关分析分类二、相关分析分类简单相关简单相关复相关复相关研究两个以上变量的关系研究两个以上变量的关系研究两个变量之间的关系研究两个变量之间的关系2024/4/27791、按相关变量的多少可分为：二、相关分析分类简单相关复相关研2 2、按相关的密切程度可分为：、按相关的密切程度可分为：变量之际的关系非常密切，相互变量之际的关系非常密切，相互 成严格的函数关系。成严格的函数关系。变量各自独立，互不影响，彼此之变量各自独立，互不影响，彼此之 间没有关系。间没有关系。介于以上两者之间，变量之间不是介于以上两者之间，变量之间不是 相互独立的，但彼此间的关系也不相互独立的，但彼此间的关系也不 是非常的密切。是非常的密切。完全相关完全相关零相关零相关统计相关统计相关 水文计算多属于水文计算多属于 统计相关统计相关计算计算2024/4/27802、按相关的密切程度可分为：变量之际的关系非常密切，相互xyxy直线相关直线相关曲线相关曲线相关统计相关统计相关2024/4/2781xyxy直线相关曲线相关统计相关2023/7/3181xyxyxy 完全相关完全相关xy 零相关零相关2024/4/2782xyxyxy 完全相关xy 零相关2023/7/31821、相关图解法、相关图解法适用条件：计算精度要求不太高；适用条件：计算精度要求不太高；特点：简单、方便。特点：简单、方便。三、简单直线（三、简单直线（线性线性）相关）相关方法方法多点平均定线法多点平均定线法目估法目估法目估法目估法两点平均定线法两点平均定线法2024/4/27831、相关图解法适用条件：计算精度要求不太高；特点：简单、方便（1 1）目估法）目估法在点据中心且过在点据中心且过均值均值绘一条直线，两侧点据绘一条直线，两侧点据 的正负离差大致相等。的正负离差大致相等。B B、此法在相关较密切，点据变化规律较此法在相关较密切，点据变化规律较 明显时，效果较好。明显时，效果较好。A A、利用解析几何法确定直线方程。利用解析几何法确定直线方程。2024/4/2784（1）目估法在点据中心且过均值绘一条直线，两侧点据B、此（2）*两点平均定线法：两点平均定线法：步骤：步骤：（1）将资料）将资料 xi 由大到小排列（由大到小排列（yi 与之对应）；与之对应）；（2）按项目）按项目n 分成上、下两部分（偶数时上、下部分相等；分成上、下两部分（偶数时上、下部分相等；奇奇 数时，可一部分多一项）；数时，可一部分多一项）；（3）计算上、下两部分的平均值（）计算上、下两部分的平均值（xa，ya），），和（和（xb，yb）；）；2024/4/2785（2）*两点平均定线法：步骤：（1）将资料 xi 由大到小排方程式：方程式：（5）通过）通过a、b两点连成一直线，即两点连成一直线，即 y 依依 x 变回归直线。变回归直线。（4）将实测点据与平均值点据点在同一坐标纸上；将实测点据与平均值点据点在同一坐标纸上；2024/4/2786方程式：（5）通过a、b两点连成一直线，即 y 依 x 变回（3）*多点平均定线法多点平均定线法当实测点据较散乱时可用此法。当实测点据较散乱时可用此法。步骤：步骤：（1）将资料）将资料 xi 由大到小排列由大到小排列(yi 与之对应与之对应)；（2）取相邻两点的平均值，再取平均值的平均值）取相邻两点的平均值，再取平均值的平均值，分别得，分别得 到四点、八到四点、八 点点平均值。平均值。（3）将实测点据与平均值点据点在同一坐标纸上；）将实测点据与平均值点据点在同一坐标纸上；（4）通过平均值点据作一条直线（或曲线），再按解析几何法）通过平均值点据作一条直线（或曲线），再按解析几何法 求直线方程。求直线方程。2024/4/2787（3）*多点平均定线法当实测点据较散乱时可用此法。步骤：（12 2、相关分析法、相关分析法（2 2）回归线）回归线将两系列的随机变量对应值点绘在坐标纸上，将两系列的随机变量对应值点绘在坐标纸上，若点据的分布趋势呈直线，则证明两系列的变若点据的分布趋势呈直线，则证明两系列的变 量之间存在直线相关，可通过点据配合一条最量之间存在直线相关，可通过点据配合一条最 佳的直线，此直线称变量之间的回归线。佳的直线，此直线称变量之间的回归线。即两个变量之间的关系即两个变量之间的关系 可近似的配成一条直线可近似的配成一条直线（1 1）简单直线相关）简单直线相关2024/4/27882、相关分析法（2）回归线将两系列的随机变量对应值点绘在（3 3）回归方程）回归方程描述回归线的方程式称变量之间的回归方程描述回归线的方程式称变量之间的回归方程y y 依依 x x 变回归方程式变回归方程式baxy+=)(xxssyyxy-=-g348式式x x 依依 y y 变回归方程式变回归方程式byax+=)(yyssxxyx-=-g2024/4/2789（3）回归方程描述回归线的方程式称变量之间的回归方程y xyxyx0y0 x0y0y0y y i2=最小最小x0 x x i2=最小最小y 依依 x 变回归方程式变回归方程式x 依依 y 变回归方程式变回归方程式2024/4/2790 xyxyx0y0 x0y0y0y y i2=最小x03 3、相关系数、相关系数和回归系数和回归系数其中其中：10（1）=0（2）=1（3）统计相关统计相关完全相关完全相关零相关零相关（1 1）相关系数）相关系数：计算式计算式：346式式2024/4/27913、相关系数和回归系数其中：0 0，正相关，正相关 0 0，在统计相关的计算中，因两变量之间在统计相关的计算中，因两变量之间不是函数关系，回归线也只是实测点据的不是函数关系，回归线也只是实测点据的 最佳配合线，故相关分析也存在误差。最佳配合线，故相关分析也存在误差。4 4、相关分析的误差、相关分析的误差2024/4/2793 在统计相关的计算中，因两变量之间4、相关分析的误差2（1 1）回归直线误差（）回归直线误差（y y 依依 x x 变回归变回归)一般可按均一般可按均方误差或机方误差或机误计算误计算1均方误差均方误差)(2-=nyysiy总体总体 2)(2-=nyysiy样本样本 334949式式（n-2n-2）相当于自由度，当只有两个测点时，相当于自由度，当只有两个测点时，直线必过此二点，无误差；若有三个点，会出直线必过此二点，无误差；若有三个点，会出现点线之间的离差，此是因多一个点据所造成现点线之间的离差，此是因多一个点据所造成的；若有的；若有n n个点据，则认为将有（个点据，则认为将有（n-2n-2）个点个点引起误差。引起误差。2024/4/2794（1）回归直线误差（y 依 x 变回归)一般可按均方误差22机误机误E Ey y=0.6745=0.6745 s sy y33回归直线误差的几何意义回归直线误差的几何意义最大误差范最大误差范 围可认为是围可认为是 3 3s sy y 或或 4 4E Ey y。11散点图中的实有点据散点图中的实有点据 68.3%68.3%落在落在(y Sy Sy y)范围内；范围内；22散点图中的实有点据散点图中的实有点据 99.799.7落在落在(y 3Sy 3Sy y)范围内；范围内；33散点图中的实有点据散点图中的实有点据 50%50%落在落在(y Ey Ey y)范围内；范围内；44散点图中的实有点据散点图中的实有点据 99.399.3落在落在(y 4Ey 4Ey y)范围内。范围内。2024/4/27952机误Ey=0.6745 sy3回归直线误差的几何意义最yxyxSy-Sy3Sy-3SyEy-Ey4Ey-4Ey2024/4/2796yxyxSy-Sy3Sy-3SyEy-Ey4Ey-4Ey20（2 2）相关系数误差）相关系数误差计算式：计算式：1标准误差标准误差：2机误机误：E =0.6745 s335151式式335252式式最大误差最大误差 4 4 E E。4 4 E E=99.3%99.3%即总体相关系数的机率为：即总体相关系数的机率为：2024/4/2797（2）相关系数误差计算式：1标准误差：2机误：E=5 5、相关分析时应注意的问题、相关分析时应注意的问题（1 1）观测项数）观测项数 n n n n 应有一定的长度，以减小误差，一般的应有一定的长度，以减小误差，一般的应不少于应不少于10101515项。项。（2 2）判别相关的可靠性）判别相关的可靠性 总体不相关的两个变量，由于抽样的原因，总体不相关的两个变量，由于抽样的原因，不一定为零。不一定为零。2024/4/27985、相关分析时应注意的问题（1）观测项数 n n 应有一般的，当一般的，当 0.8，且回归线误差，且回归线误差 Sy不大于均值不大于均值时，即可认为变量是相关的，分析成果可用。时，即可认为变量是相关的，分析成果可用。的的1015y（1）可用）可用 sy或或 Ey y 来判别来判别t 检验法检验法样本相关系数分布变成另一变量样本相关系数分布变成另一变量 t 的分布。的分布。（2）*采用统计检验法来判别。采用统计检验法来判别。2024/4/2799一般的，当 0.8，且回归线误差 Sy不大于均值时，即可f()A区区B区区如图：若计算的如图：若计算的值位于值位于A、B区（区（A、B面积共占面积共占 k%），），即：即：可以判定总体是相关的，可以判定总体是相关的，时，时，但犯错误的可能性是但犯错误的可能性是 k%，这是因为这是因为既使总体不相关，样本相关系数既使总体不相关，样本相关系数也有也有 k%的可能性出现在的可能性出现在A，B区，区，此时却推断总体相关。此时却推断总体相关。2024/4/27100f()A区B区如图：若计算的值位于A、B区有有 n=12年的观测资料，得年的观测资料，得=0.88，若取信度若取信度=0.05，则查有则查有关表格可知：关表格可知：=0.58。，判定总体相关，但失误判定总体相关，但失误的可能性是的可能性是 5%。举例：举例：在水文统计中常选在水文统计中常选=0.05。n-2 0.10 0.05 0.02 0.010.98769 0.58 1210 2024/4/27101有 n=12年的观测资料，得=0.88，若取信度=0.
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