高等数学-第七章-定积分应用与广义积分-7-2(3)空间立体的体积ppt课件

第二节定积分的几何应用 三、空间立体的体积三、空间立体的体积 1.已知平行截面面积的已知平行截面面积的 空间立体体积空间立体体积 2.旋转体的体积旋转体的体积第七章第七章第二节定积分的几何应用 三、空间立体的体积 1.已知 1.已知平行截面面积的空间立体体积已知平行截面面积的空间立体体积 设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x),则对应于小区间则对应于小区间因此所求立体体积为因此所求立体体积为上连续上连续,的体积元素为的体积元素为OdV 1.已知平行截面面积的空间立体体积 设所给立体垂直于x例例1解解取坐标系如图取坐标系如图 底圆方程为底圆方程为yxoA(x)三角形边长三角形边长高为：高为：例1解取坐标系如图底圆方程为yxoA(x)三角形边长高为：2.旋转体的体积旋转体的体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线称为一条直线旋转一周而成的立体这直线称为旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2.旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内情形情形1G1xyoG1G1xyoxyoxyoxyoxyo G1 绕绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积轴旋转一周所得旋转体的体积则以则以 f(x)为高，为高，以以dx 为底的窄边矩形为底的窄边矩形平面图形平面图形G1：由连续曲线：由连续曲线 y=f(x)，直线直线 x=a,x=b 及及 x 轴轴 所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形.绕绕 x 轴旋转而成的圆柱体轴旋转而成的圆柱体情形1G1xyoG1G1xyoxyoxyoxyoxyo 的体积便是的体积便是体积元素：体积元素：G1xyoxyoxyoxyoxyoG1 绕绕 x 轴轴旋转的旋转体的体积：旋转的旋转体的体积：的体积便是体积元素：G1xyoxyoxyoxyoxyoG1 例例2解解直线直线 方程为方程为建立坐标系，如图建立坐标系，如图.连接坐标原点连接坐标原点O及点及点P(h,R)的直线，直线的直线，直线x=h 及及 x 轴围成一个直角三角形轴围成一个直角三角形.将它绕将它绕x 轴旋转一周构成一个底半径为轴旋转一周构成一个底半径为R，高为，高为h的的圆锥体，计算该圆锥体的体积圆锥体，计算该圆锥体的体积.例2解直线 方程为建立坐标系，如图.连接坐标原点O及点以以 dx 为底的窄边矩形绕为底的窄边矩形绕 x 轴旋转而成的圆柱轴旋转而成的圆柱体的体积为体的体积为以 dx 为底的窄边矩形绕 x 轴旋转而成的圆柱体的体积为用用“柱壳法柱壳法”：将旋转体分割成一系将旋转体分割成一系列以列以y轴轴为中心轴的为中心轴的曲顶环柱体曲顶环柱体.xOyabG1G1 绕绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积轴旋转一周所得旋转体的体积用“柱壳法”：将旋转体分割成一系列以y轴为中心轴的曲顶环柱体o(dx)可以证明：可以证明：体积元素体积元素 G1 绕绕 y 轴旋转的旋转体的体积：轴旋转的旋转体的体积：xabG1oy yo(dx)可以证明：体积元素 G1 绕 y 轴旋转的旋转情形情形2 G2 绕绕 y 轴旋转轴旋转G2 绕绕 x 轴旋转轴旋转cdy 情形2 G2 绕 y 轴旋转G2 绕 x 轴旋转cdy 解解例例3解例3（方法（方法1）（方法1）(方法方法2)柱壳法柱壳法(方法2)柱壳法例例4解解体积元素为体积元素为:(方法方法1)422xyo MP Q例4解体积元素为:(方法1)422xyo MP Q(方法方法2)42 2xyo(方法2)42 2xyo例例5(综合题综合题)解解(1)xyo1例5(综合题)解(1)xyo1(2)(3)xyo1x(2)(3)xyo1x高等数学-第七章-定积分应用与广义积分-7-2(3)空间立体的体积ppt课件高等数学-第七章-定积分应用与广义积分-7-2(3)空间立体的体积ppt课件例例6(综合题综合题)解解所以所以 c=0,又由题设，知又由题设，知知识点：知识点：平面图形的面积平面图形的面积 旋转体的体积旋转体的体积 函数的极值、最值函数的极值、最值例6(综合题)解所以 c=0,又由题设，知知识点：高等数学-第七章-定积分应用与广义积分-7-2(3)空间立体的体积ppt课件高等数学-第七章-定积分应用与广义积分-7-2(3)空间立体的体积ppt课件内容小结内容小结二、旋转体的体积二、旋转体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非坐标轴直线旋转一周绕非坐标轴直线旋转一周内容小结二、旋转体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积绕备用题备用题例例1-1 一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并与并与底面交成底面交成 角角,解解 如图所示取坐标系如图所示取坐标系,则圆的方程为则圆的方程为垂直于垂直于x 轴轴 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面积为其面积为计算该平面截圆柱体所得立体的体积计算该平面截圆柱体所得立体的体积.备用题例1-1 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,利用对称性利用对称性思考思考 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积?利用对称性思考 可否选择 y 作积分变量?此时截面面积提示提示:提示:计算由椭圆计算由椭圆所围图形绕所围图形绕 x 轴旋转轴旋转而成的椭球体的体积而成的椭球体的体积.解解 (方法方法1)利用直角坐标方程利用直角坐标方程则则(利用对称性利用对称性)例例2-1计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积.解(方法方法2)利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程则则特别当特别当b=a 时时,就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积(方法2)利用椭圆参数方程则特别当b=a 时,就得例例 3-1 解解(1)绕绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为轴旋转一周所成旋转体的体积为xOy例 3-1 分别绕分别绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积轴旋转一周所得的旋转体的体积之差之差.这个图形绕这个图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的轴旋转一周所得旋转体的体积可以看成平面图形体积可以看成平面图形 OABC 与与 OBC1CBA(2)绕绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积轴旋转一周所成旋转体的体积分析分析xOy分别绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积之差.这个图形绕 y(方法方法1)OB 的方程为的方程为)AB 的方程为的方程为)1CBAxOy从而所求的体积为从而所求的体积为(方法1)OB 的方程为)AB 的方程为)1CBAxOy从高等数学-第七章-定积分应用与广义积分-7-2(3)空间立体的体积ppt课件(方法方法2)xOy由公式由公式得得(方法2)xOy由公式得试用定积分求圆试用定积分求圆绕绕 x 轴轴上上 半圆为：半圆为：下下解解(方法方法1)利用对称性利用对称性旋转而成的环体体积旋转而成的环体体积 V.例例3-2xyo试用定积分求圆绕 x 轴上半圆为：下解(方法1)利用对(方法方法2)用柱壳法用柱壳法注注 上式可变形为上式可变形为右右半圆为半圆为左左此式反映了环体微元的另一种取法此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示如图所示).o(方法2)用柱壳法注 上式可变形为右半圆为左此式反设平面图形设平面图形 A 由由与与图形图形 A 绕直线绕直线 x2 旋转旋转解解若选若选 x 为积分变量，则为积分变量，则旋转体的体积为旋转体的体积为若选若选 y 为积分变量为积分变量,则则 例例4-1所确定所确定,求求一周所得旋转体的体积一周所得旋转体的体积.设平面图形 A 由与图形 A 绕直线 x2 旋转解若选 x例例4-2在在 x0 时为连续的非负函数时为连续的非负函数,绕直线绕直线 xt 旋转一周旋转一周证明证明:证证利用柱壳法利用柱壳法所成旋转体体积所成旋转体体积,则则例4-2在 x0 时为连续的非负函数,绕直线 xt故故故解解例例5-1(2003年考研年考研)解例5-1(2003年考研)由于该切线过原点，由于该切线过原点，得得即即从而切线方程为从而切线方程为所以平面图形所以平面图形 D 的面积的面积oxy(e,1)1e由于该切线过原点，得即从而切线方程为所以平面图形 D 的面积三角形绕直线三角形绕直线 x=e 旋转一周所得圆锥体旋转一周所得圆锥体的体积为的体积为x=e 旋转所得旋转体的体积为旋转所得旋转体的体积为oxy(e,1)1e三角形绕直线 x=e 旋转一周所得圆锥体x=e 旋转所得旋转于是所得旋转体的体积为于是所得旋转体的体积为oxy(e,1)1e于是所得旋转体的体积为oxy(e,1)1e