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三元二次方程三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面称之为所表示的曲面称之为二次曲面二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌 以下用截痕法和类比的方法讨论这以下用截痕法和类比的方法讨论这9种二次种二次曲面的标准方程曲面的标准方程 适当选取直角坐标系，可得到二次曲面的标适当选取直角坐标系，可得到二次曲面的标准方程，除退化的之外，共有准方程，除退化的之外，共有9种标准方程。种标准方程。一、椭球面一、椭球面旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成方程可写为方程可写为球面球面方程可写为方程可写为截痕法截痕法 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.二、单叶双曲面二、单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线.实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xyoz双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.xyoz截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得双曲线均可得双曲线.xyoz单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.双叶双曲面双叶双曲面三、双叶双曲面三、双叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面xyo四、二次锥面四、二次锥面类比法：类比法：截痕法：截痕法：五、椭圆抛物面五、椭圆抛物面当当a=b时时旋转抛物面旋转抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 无截痕无截痕.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线xyzo与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.xyzozxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：六、双曲抛物面六、双曲抛物面xyzoxyzoxyzoxyzoxyzoxyzoxyzoxyzo双曲抛物面也称鞍面双曲抛物面也称鞍面xyzo七、二次曲面七、二次曲面想一想，下面给出的二次方程表示的几何图形是什么？想一想，下面给出的二次方程表示的几何图形是什么？或或退化的退化的二次曲面二次曲面 适当选取直角坐标系，可得到二次曲面的标适当选取直角坐标系，可得到二次曲面的标准方程，除退化的之外，共有准方程，除退化的之外，共有9种标准方程。种标准方程。除以前讲过的椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、除以前讲过的椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、二次锥面、椭圆抛物面、双曲抛物面外其余三种二次曲二次锥面、椭圆抛物面、双曲抛物面外其余三种二次曲面就是我们所熟悉的三种二次柱面：面就是我们所熟悉的三种二次柱面：练练 习习 题题练习练习：P.50:79(2)(3),80(2),81(1)(3)作业作业：P.50:79(1)(4),80(1)(3),81(2)(4)END
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