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2024/4/2326-12024/4/2326-22024/4/2326-32024/4/2326-42024/4/2326-52024/4/23图4-1-326-62024/4/2326-72024/4/2326-82024/4/23图4-1-426-92024/4/2326-102024/4/2326-112024/4/2326-12求证存在使设 可导，且在连续，证证：因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.1.3 推广推广 2024/4/23图4-1-5 26-142024/4/2326-152024/4/2326-162024/4/2326-172024/4/2326-182024/4/2326-19证证:设由推论可知 (常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.自证自证:经验经验:欲证时只需证在 I 上机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.1.4 证明等式2024/4/2326-21证证:设中值定理条件,即因为故因此应有机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明不等式例例4.1.5 2024/4/2326-23或或 设设用用Rolle定理定理2024/4/2326-242024/4/2326-252024/4/2326-262024/4/2326-272024/4/2326-282024/4/2326-291.设至少存在一点使证证:结论可变形为设则在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习2.2.试证至少存在一点使证证:法法1 用柯西中值定理.则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令因此 即分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.试证至少存在一点使法法2 令则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理机动 目录 上页 下页 返回 结束 Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 上.方程2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 证明对任意有证证：1.不妨设机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题使中值定理条件只是充分的,比如罗尔定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示证明提示:设证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:
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