3-3-两个变量的独立性与函数分布解读课件

第三节第三节 两个变量的独立性与函数分布两个变量的独立性与函数分布Def:如果随机变量如果随机变量 X、Y 满足：对所有的实数满足：对所有的实数 x与与y，联合分布函数都等于边缘分布函数的乘积，联合分布函数都等于边缘分布函数的乘积：F(x,y)=FX(x)FY(y)则称则称 随机变量随机变量 X、Y 是相互独立的是相互独立的.(independent,缩写为：缩写为：ind)随机变量的独立就是事件独立性的推广随机变量的独立就是事件独立性的推广一一.随机变量的相互独立随机变量的相互独立.如何判断随机变量的独立如何判断随机变量的独立 按照独立性的定义按照独立性的定义联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即，联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即，F(x,y)=FX(x)FY(y)例例1 讨论下面讨论下面X、Y的独立性的独立性 (1 e 2x)(1 e y),当当 x、y 0 F(x,y)=0，其它其它 按照随机变量的类型按照随机变量的类型联合分布律等于边缘分布律的乘积联合分布律等于边缘分布律的乘积.即，即，pi j =pi p j 对全部对全部 i、j 成立成立 两个离散随机变量的独立两个离散随机变量的独立两个连续随机变量的独立两个连续随机变量的独立联合密度函数等于边缘密度函数的乘积联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。即，。即，p(x,y)=pX(x)pY(y)对全部对全部 x、y 成立成立 例例2 从从 1，2，3，4 中随机地取一个数中随机地取一个数 X，再从再从 1，X 中随机地取一个数中随机地取一个数 Y，判断判断 X、Y是是否独立？否独立？解解.联合分布律以及边缘分布律是：联合分布律以及边缘分布律是：显然显然 X、Y 不独立。不独立。X Y 1 2 3 4 pi 1 1/4 0 0 0 1/4 2 1/8 1/8 0 0 1/4 3 1/12 1/12 1/12 0 1/4 4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/4 p j 25/48 13/48 7/48 3/48 1解解例3 已知（X,Y)的分布率为(1)由分布律的性质知由分布律的性质知特别有特别有又又(2)因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以有所以有例例4 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？x0 即：即：对一切对一切x,y,均有：均有：故故X,Y 独立独立y 0解：解：解解由于由于X 与与Y 相互独立相互独立,例例5 例例6 已知已知 X、Y 的联合密度如下：判断他们是的联合密度如下：判断他们是否独立否独立?4xy,当当 0 x,y 1(1)p(x,y)=0，其它其它 8xy,当当 0 x y 1(2)p(x,y)=0，其它其它 因此因此 X、Y 相互独立相互独立X、Y 不独立不独立例例7 X、Y 服从服从二维正态分布二维正态分布 (X,Y)N(1,2;12,22;)证明证明 X、Y 相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是 =0。证明证明.(充分性充分性)已知参数已知参数 =0，因此因此 X、Y 相互独立；相互独立；(必要性必要性)已知已知X、Y 独立独立，特别取，特别取 x=1、y=2 ，根据根据 p(1,2)=pX(1)pY(2)因此可以证明因此可以证明 =0。补充补充 条件分布等于无条件分布也蕴涵了独立性条件分布等于无条件分布也蕴涵了独立性 p j|i=p j 或者是或者是 p i|j=pi ；pY|X(y|x)=pY(y)或者是或者是 pX|Y(x|y)=pX(x)回顾回顾 随机事件随机事件 A、B的相互独立。的相互独立。思考思考1 如何定义若干个随机变量的相互独立？如何定义若干个随机变量的相互独立？(P93).如何应用随机变量的独立如何应用随机变量的独立 两个随机变量的独立可以理解成：与这两两个随机变量的独立可以理解成：与这两个随机变量有关的所有随机事件都是独立的个随机变量有关的所有随机事件都是独立的比如：比如：(1)大多数的情况下，随机变量的独立性是用于：大多数的情况下，随机变量的独立性是用于：从各自的从各自的(边缘边缘)分布得到联合分布。分布得到联合分布。(P92的例题的例题)(2)可以证明，如果可以证明，如果 X,Y 相互独相互独 g()与与 h()都是连续都是连续(或者单调或者单调)函数，那么函数，那么 g(X)与与h(Y)也是相互独立的随机变量。也是相互独立的随机变量。(P94定理定理)如：若如：若 X,Y 为相互独立的为相互独立的 r.v，则，则aX+b,cY+d 也相互独立；也相互独立；X 2,Y 2 也相互独立；也相互独立；若两随机变量相互独立,且又有相同 的分布,不能说这两个随机变量相等.如XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5X,Y 相互独立，则X-1 1-1 10.25 0.25Y pij0.25 0.25注意注意由左表易得：故不能说他们相等二二.两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布已知r.v.(X,Y)的概率分布,g(x,y)为已知的二元函数,转化为与(X,Y)有关的事件问题方法求 Z=g(X,Y)的概率分布(X,Y)是离散随机向量是离散随机向量首先确定首先确定 Z=f(X,Y)所有可能的取值所有可能的取值 f(xi,yj)，相应的概率是相应的概率是 pi j；其次，把所有取相同值的；其次，把所有取相同值的 f(xi,yj)对应的概率相加。对应的概率相加。即:例例 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.得得因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以所以解解可得可得所以所以例例 设二维r.v.(X,Y)的概率分布为X Y pij-1 1 2-1 0求的概率分布解解 根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：P X+Y X-Y X Y Y/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得PX+Y-2 -1 0 1 2PX-Y-1 0 1 2 3PX Y-2 -1 0 1 PY/X-1 -1/2 0 1(X,Y)为为是连续随机向量是连续随机向量 根据联合密度函数根据联合密度函数 p(x,y)计算一个二重积分，得到计算一个二重积分，得到 Z=g(X,Y)的分布函数的分布函数 FZ(z)；把把 FZ(z)对对z 求导求导 则能够得出则能够得出 Z=g(X,Y)的密度函数的密度函数 pZ(z)。FZ(z)=P g(X,Y)z 计算两个随机变量函数分布的关键问题：计算两个随机变量函数分布的关键问题：这个二重积分能够被计算出来，或者是能够这个二重积分能够被计算出来，或者是能够被转化为二次积分的形式。被转化为二次积分的形式。连续随机变量和的分布连续随机变量和的分布 假定已知假定已知 X、Y 具有联合密度函数具有联合密度函数 p(x,y)，则则 Z=X+Y 的概率密度函数是如下积分：的概率密度函数是如下积分：特别的，当特别的，当 X、Y 独立时，有公式：独立时，有公式：证明:由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为由于由于X 与与Y 对称对称,当当 X,Y 独立时独立时,为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例10 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解:由卷积公式由卷积公式也即也即如图示如图示:于是于是解解例例11此时此时代入即可例例12（P95）已知已知 X、Y 独立同分布于独立同分布于N(0,1)，则则 Z=X+Y 的密度函数是的密度函数是即，即，Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2)。一般地，如果一般地，如果 X、Y 相互独立，并且有相互独立，并且有 X N(1,2)，Y N(2,2)，则则 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(1+2,2 2)分布的分布的“可加可加”(1).正态分布对两个参数都具有可加性正态分布对两个参数都具有可加性 更一般的，有限个相互独立的正态更一般的，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。随机变量的线性组合仍然服从正态分布。如果如果 X、Y 相互独立相互独立，并且，并且 X N(1,12)，Y N(2,22)，则则 X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(1+2,12+22)。(2).二项分布对于参数二项分布对于参数 n 具有可加性具有可加性二项分布可以表示成两点分布随机变量的和二项分布可以表示成两点分布随机变量的和 如果如果 X1、X2、Xn 相互独立同分布于相互独立同分布于B(1,p)，则有则有 X=X1+X2+Xn B(n,p)。如果如果 X B(n,p)，则可以分解则可以分解 X=X1+X2+Xn。如果如果 X、Y 相互独立，并且相互独立，并且 X B(n,p)，Y B(m,p)，则则 X+Y 服从二项分布服从二项分布 B(m+n,p)。(3).泊松分布对于参数泊松分布对于参数 具有具有可加性可加性如果如果 X、Y 相互独立，并且相互独立，并且 X (1)，Y (2)，则则 X+Y 服从泊松分布服从泊松分布 (1+2)。应用：应用：在第四章中，分布的在第四章中，分布的“可加性可加性”可以用来简化可以用来简化对于随机变量数字特征的计算，如期望与方差的对于随机变量数字特征的计算，如期望与方差的计算。计算。例例13 可以认为服务器遭受非法入侵的次数服从泊松分布。可以认为服务器遭受非法入侵的次数服从泊松分布。假定根据统计资料平均每分钟受到假定根据统计资料平均每分钟受到 的攻击次数服从参数的攻击次数服从参数为为1的泊松分布，的泊松分布，问开放服务器问开放服务器 5 分钟而至少受到一次入分钟而至少受到一次入侵的概率？侵的概率？解解.以以 X1，X5 分别记第分别记第1，第，第5 分钟非法入侵分钟非法入侵 的次数，所以的次数，所以X1，X5 独立同分布于独立同分布于 (1)。根据泊松分布的可加性，根据泊松分布的可加性，5 5 分钟里总的被攻击次数分钟里总的被攻击次数X X服从服从(5)5)，因此至少受到一次攻击的概率，因此至少受到一次攻击的概率p =1 P X=0 =1 1 0.0067=0.9933。连续随机变量的极值分布连续随机变量的极值分布则有则有故有故有推广推广例例14解解3.教材教材 106 页页 第第 17 题题；4.教材教材 107 页页 第第 19 题题；习题习题 3.35.教材教材 108 页页 第第 28 题题。