第二章 7 函数的连续性

二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 2.8 函数的连续性函数的连续性 第二章第二章 现实世界中很多变量是连续不断的现实世界中很多变量是连续不断的.如如气温气温、时间时间、物体的运动物体的运动等等，都是等等，都是连续变化的连续变化的.这种现象反映在这种现象反映在数学上数学上就是就是连续性连续性，函数的连续性是微积分的又一重要概念！函数的连续性是微积分的又一重要概念！可见可见,函数函数在点在点定义定义:在在的的某邻域内有定义某邻域内有定义,则称则称函数函数(1)在点在点即即(2)极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在;且且有定义有定义,存在存在;一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义若若在在某开区间内某开区间内每一点每一点都连续都连续,则称则称它它在该在该开区间内连续开区间内连续,或称它为或称它为该开区间内的该开区间内的连续函数连续函数.continue例如例如,在在上上连续连续.(有理整函数有理整函数)又如又如,有理分式函数有理分式函数在其在其定义域定义域内连续内连续.在在闭区间闭区间上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作只要只要都有都有对自变量对自变量x0的增量的增量有有函数的增量函数的增量左连续左连续右连续右连续当当时时,有有函数函数在点在点 x0连续连续有下列有下列等价命题等价命题:函数函数 y=f(x)在点在点 x0 连续连续的两种的两种等价定义等价定义:假设函数假设函数 f(x)在点在点 x0 的某临域内有定义的某临域内有定义.的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是问题：问题：什么样的函数什么样的函数 y=f(x)在点在点 x0 连续连续？例例1.证明函数证明函数在在内内连续连续.证证:即即这这说明说明在在内内连续连续.同样可证同样可证:函数函数在在内内连续连续.这说明，对于这说明，对于连续函数连续函数，极限符号极限符号与与函数符号函数符号可以交换可以交换.例如例如注意注意：对于：对于非非连续函数连续函数，极限符号极限符号与与函数符号函数符号不一定不一定可以交换可以交换.若函数若函数 f(x)在在开区间开区间(a,b)内内每一点每一点都连续都连续,而而且且 则则称函数称函数 f(x)在在在点在点 x=a 右右连续，连续，在点在点 x=b 左左连续连续,或称它为该或称它为该区间上的区间上的连续函数连续函数.闭区间闭区间a,b上连续上连续.在在在在(1)函数函数(2)函数函数不不存在存在;(3)函数函数存在存在,但但 不连续不连续:设设在点在点的的某去心邻域内某去心邻域内有定义有定义,则则这样的点这样的点下列情形下列情形之一之一函数函数 f(x)在在点点虽有定义虽有定义,但但虽有定义虽有定义,且且称为函数称为函数 f(x)的的间断点间断点.在在无定义无定义;二、二、函数的间断点函数的间断点间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在,若若称称若若称称第二类间断点第二类间断点:及及中中至少一个不存在至少一个不存在,称称若若其中有一个为其中有一个为振荡振荡,称称若若其中有一个为其中有一个为为可去间断点为可去间断点.为跳跃间断点为跳跃间断点.为无穷间断点为无穷间断点.为为振荡间断点振荡间断点.为其为其无穷无穷间断点间断点.为其为其振荡振荡间断点间断点.为为可去可去间断点间断点.例如例如:显然显然为其为其可去间断点可去间断点.(4)(5)为为其其跳跃间断点跳跃间断点.1.讨论函数讨论函数x=2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点.间断点的类型间断点的类型.2.设设时时提示提示:在在x=0连续函数连续函数.答案答案:x=1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点,练习题练习题 3 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.解解:间断点间断点为为无穷无穷间断点间断点;故故为为跳跃间断点跳跃间断点.内容小结内容小结左连续左连续右连续右连续第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型在点在点连续的等价形式连续的等价形式一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数的连续性 第二章第二章 定理定理2.连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数在其在其定义域内连续定义域内连续定理定理1.在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和,差差,连续的函数连续的函数.(利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)积积,商商 (分母不为分母不为 0)运算的结果运算的结果,仍是一个在该点仍是一个在该点例如例如,例如例如,在在上上连续单调递增，连续单调递增，其其反函数反函数(递减递减).(证明略证明略)在在 1,1 上也连续单调递增上也连续单调递增.单调递增单调递增(递减递减)也也连续连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则在在上上连续单调连续单调 递增递增,其其反函数反函数在在上也连续单调递增上也连续单调递增.又又如如,定理定理3.（连续函数的复合函数是连续的）连续函数的复合函数是连续的）若函数若函数在点在点 x0 连续，且连续，且函数函数在点在点 u0 连续，连续，则复合函数则复合函数在点在点 x0 连续，即连续，即定理定理3可修改为下面求复合函数极限的定理可修改为下面求复合函数极限的定理定理定理4 （复合函数求极限）（复合函数求极限）若函数若函数在点在点 x0 有极限，即有极限，即又函数又函数 f(x)点点 a 连续，连续，则复合函数则复合函数在点在点 x0 的的但但或者或者 在点在点 x0 无定义无定义(即即 x0 是可去间断点是可去间断点)极限存在，为极限存在，为若函数若函数 f(x)连续，则连续，则 f(x)一定连续一定连续.反之，若反之，若 f(x)连续，函数连续，函数 f(x)不一定连续不一定连续.x 为有理数为有理数 x 为无理数为无理数例如例如,是由连续函数链是由连续函数链因此因此在在上连续上连续.复合而成复合而成,补例补例.设设均在均在上上连续连续,证明函数证明函数也在也在上上连续连续.证证:根据连续函数运算法则根据连续函数运算法则,可知可知也在也在上连续上连续.二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在基本初等函数在定义区间定义区间内连续内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,的的连续区间为连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)的的连续区间为连续区间为的的定义域为定义域为因此它无连续点因此它无连续点而而例例1.求求解解:原式原式例例2.求求解解:令令则则原式原式说明说明:当当时时,有有利用连续函数的复合函数的连续性求极限利用连续函数的复合函数的连续性求极限例例3.求求解解:原式原式说明说明:若若则有则有例例4.求求解解:原式原式=例例5.5.设设解解:讨论复合函数讨论复合函数的连续性的连续性.故此时连续故此时连续;而而故故x=1为为第一类间断点第一类间断点.在点在点 x=1 不连续不连续,思考与练习思考与练习续续?反例反例 x 为有理数为有理数 x 为无理数为无理数处处间断处处间断,处处连续处处连续.反之是否成立反之是否成立?提示提示:“反之反之”不成立不成立.内容小结内容小结基本初等函数在基本初等函数在定义区间定义区间内连续内连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数在初等函数在定义区间定义区间内内连续连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.