图像变换(DCT和小波变换)

DCT&DWTUniversity of Science and Technology of Beijing沈政伟离散余弦变换（离散余弦变换（DCT）离散余弦变换（DiscreteCosineTransform，DCT）的变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。离散余弦变换DCT（Discrete Cosine Transform）是数码率压缩需要常用的一个变换编码方法。任何连续的实对称函数的付立叶变换中只含余弦项，因此余弦变换与付立叶变换一样有明确的物理意义。DCT是先将整体图像分成N*N像素块，然后对N*N像素块逐一进行DCT变换。由于大多数图像的高频分量较小，相应于图像高频分量的系数经常为零，加上人眼对高频成分的失真不太敏感，所以可用更粗的量化。因此，传送变换系数的数码率要大大小于传送图像像素所用的数码率。到达接收端后通过反离散余弦变换回到样值，虽然会有一定的失真，但人眼是可以接受的。一维离散余弦变换一维离散余弦变换一维DCT的变换核定义为式中，x,u=0,1,2,N1；一维DCT定义如下：设f(x)|x=0,1,N-1为离散的信号列。式中，u,x=0,1,2,N1。将变换式展开整理后，可以写成矩阵的形式，即F=Gf 其中 N=4时时一维DCT的逆变换IDCT定义为式中，x,u=0,1,2,N1。可见一维DCT的逆变换核与正变换核是相同的。二维离散余弦变换二维离散余弦变换考虑到两个变量，很容易将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为式中，C(u)和C(v)的定义同前面；x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。二维DCT定义如下：设f(x,y)为MN的数字图像矩阵，则式中：x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。二维DCT逆变换定义如下：式中：x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下：F=GfGT同时，由上面的两个式子可知二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即式中：C(u)和C(v)的定义同前；x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。通常根据可分离性，二维DCT可用两次一维DCT来完成，其算法流程与DFT类似，即 其中N是像块的水平、垂直像素数，一般取N=8。N大于8时效率增加不多而复杂性大为增加。8*8的二维数据块经DCT后变成8*8个变换系数，这些系数都有明确的物理意义。譬如当U=0，V=0时F(0，0)是原64个样值的平均，相当于直流分量，随着U，V值增加，相应系数分别代表逐步增加的水平空间频率和垂直空间频率分量的大小。当我们先只考虑水平方向上一行数据（8个像素）的情况时，如图1所示：可见图像信号被分解成为直流成分；以及从低频到高频的各种余弦成分；而DCT系数只是表示了该种成分所占原图像信号的份额大小；显然，恢复图像信息可以表示为这样一个矩阵形式：F(n)=C(n)*E(n)式中E(n)是一个基底，C(n)是DCT系数，F(n)则是图像信号。如果再考虑垂直方向上的变化，那么，就需要一个二维的基底，即该基底不仅要反映水平方向频率的变化；而且要反映垂直空间频率的变化；对应于8*8的像素块；其空间基底如图2所示：它是由64个像素值所组成的图像，通常也称之为基本图像。把它们称为基本图像是因为在离散余弦变换的反变换式中，任何像块都可以表示成64个系数的不同大小的组合。既然基本图像相当于变换域中的单一的系数，那么任何像元也可以看成由64个不同幅度的基本图像的组合。这与任何信号可以分解成基波和不同幅度的谐波的组合具有相同的物理意义。例：例：原图像为：原图像为：DCTDCT变换变换小波变换简介小波变换简介 小波变换的理论基础小波变换的理论基础信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Motherwavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。信号的时域和频域之间具有紧密的联系。Fourier变换（变换（FT）:离散离散Fourier变换变换:数字信号的离散数字信号的离散Fourier变换就是以数字变换就是以数字信号为系数的信号为系数的Fourier级数级数 有限数字信号的 FT正变换逆变换FT在信号处理中的局限性用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。在不少实际问题中，我们关心的是信号在局部范围中的特征,例如：在音乐信号中人们关心的是什么时刻演奏什么样的音符；对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；图像识别中的边缘检测关心的是信号突变部分的位置，即纹理结构。这些FT不能完成，需要引入时频局部化分析窗函数的举例Gaussian 函数 短时Fourier变换若 都是窗函数，则短时Fourier变换定义为短时Fourier变换也叫窗口Fourier变换短时FT是说明时频局部化分析思想的很好例子令 ，则短时FT为可以证明 和 都是窗函数，其确定的矩形窗口为短时FT同时给出了函数时域和频域的信息Parseval恒等式窗函数 的特点：随着 的变换，窗口在相空间不断平移；短时Fourier变换就是通过这些移动的窗口来提取被变换函数的信息；函数族 确定的时频窗口只是随 发生平移，窗口的大小和形状固定不变.实际中信号分析的要求：信号高频部分对应时域中的快变成分，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低。信号低频成分对应时域中的慢变成分，分析对时域分辨率要求低，对频域分辨率要求高。1.连续小波变换（连续小波变换（CWT）像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。下图表示了正弦波和小波的区别，由此可以看出，正弦波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的，而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0，小波趋于不规则、不对称。连续小波函数定义：设 ，则下面的函数族 叫小波分析或连续小波，叫基本小波或 小波。若 是窗函数，就叫为窗口小波 函数，一般我们恒假定 为窗口小波函数。连续小波函数的性质 如果 的中心及半径分别为 ，则 确定的时频窗口为：连续小波函数窗口的“变焦”特性:当a变小时，时域观察范围变窄，但频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动；当a变大时，时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动.窗口中心：窗口中心：时间窗半径：时间窗半径：频率窗半径：频率窗半径：窗口面积：窗口面积：正弦波和小波（a）正弦波曲线；(b)小波曲线一维连续小波的例子：Haar小波：一维连续小波的例子2.Mexico草帽小波：3.Morlet小波：从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信号的局部特征。连续小波变换（ContinuousWaveletTransform，CWT）用下式表示：上式表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（positon）的函数。一维连续小波变换定义定义1 设 是基本小波，是其生成的连 续小波，对 ，信号 的内积形 式连续小波变换定义为基本小波函数()的缩放和平移操作含义如下：(1)缩放。简单地讲，缩放就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小，则小波越窄，如图所示。小波的缩放操作(2)平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学上，函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图所示。小波的平移操作(a)小波函数(t)；(b)位移后的小波函数(t-k)CWT计算主要有如下五个步骤：第一步：取一个小波，将其与原始信号的开始一节进行比较。第二步：计算数值C，C表示小波与所取一节信号的相似程度，计算结果取决于所选小波的形状。第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整个信号，如所示。第四步：伸展小波，重复第一步至第三步，如图所示。计算系数值C计算平移后系数值C 计算尺度后系数值C第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表示信号频率越高；缩放因子scale越大，表示小波越宽，度量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。2.离散小波变换（离散小波变换（DWT）在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（DyadicWaveletTransform），它是离散小波变换（DiscreteWaveletTransform，DWT）的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法。这种方法实际上是一种信号分解的方法，在数字信号处理中常称为双通道子带编码。用滤波器执行离散小波变换的概念如所示。S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器组，其中一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值A（Approximations），另一个为高通滤波器，通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。小波分解示意图在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号的高频分量。实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样，把高频分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。由上图可以看出离散小波变换可以表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号经过一对互补的滤波器组进行的分解称为一级分解，信号的分解过程也可以不断进行下去，也就是说可以进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量进行连续分解，就可以得到信号不同分辨率下的低频分量，这也称为信号的多分辨率分析。如此进行下去，就会形成上图所示的一棵比较大的分解树，称其为信号的小波分解树（WaveletDecompositionTree）。实际中，分解的级数取决于要分析的信号数据特征及用户的具体需要。多级信号分解示意图（a）信号分解；(b)小波分数；（c）小波分解树离散小波变换在图像处理中的应用简介离散小波变换在图像处理中的应用简介1.用小波变换进行图像分解用小波变换进行图像分解使用小波变换完成图像分解的方法很多，例如，均匀分解（Uniform decomposition）、非 均 匀 分 解（Non-uniformdecomposition）、八带分解（Octave-banddecomposition）、小波包分解（Wavelet-packerdecomposition）等。其中八带分解是使用最广的一种分解方法，这种分解方法把低频部分分解成比较窄的频带，而对每一级分解得到的高频部分不再进一步进行分解。图为八带分解示意图，用于分解的原始图像采用Matlab提供的预存图像文件woman2.mat，小波基函数为“haar”小波。图（c）是用Matlab的小波工具箱编程进行分解得到的图像。八带分解示意图(a)一次二维DWT；(b)两次二维DWT；(c)Woman二级分解图2.用小波变换进行图像处理用小波变换进行图像处理 对静态二维数字图像，可先对其进行若干次二维DWT变换，将图像信息分解为高频成分H、V和D和低频成分A。对低频部分A，由于它对压缩的结果影响很大，因此可采用无损编码方法，如Huffman、DPCM等；对H、V和D部分，可对不同的层次采用不同策略的向量量化编码方法，这样便可大大减少数据量，而图像的解码过程刚好相反。整个编码、解码流程如图7-29所示。图像压缩编码、解码流程此外，还可以在对A、H、V和D部分编码后加上一个反馈环节，获取误差图像，并对其编码。这样压缩效果会更好。近年来，基于小波变换发展起来的图像编码有嵌入式零树小波编码EZW（EmbeddedZerotreeWavelet）及在EZW算法基础上改进的层树分级编码SPIHT（SetParitionInHierarchicalTrees）和最佳截断嵌入码块编码EBCOT（EmbeddedBlockCodingwithOptimized Truncation）等。ISO/IEC JTC1 SC29小 组 制 定 的JPEG2000静态图像编码标准中的图像变换技术就采用了离散小波变换，这些编码的最大特点是在不丢失重要信息的同时，能以较高的比率压缩图像数据，并且其算法计算量小。