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直线、平面平行的判定与性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线、平面平行的判定与性质了解直线与平面、平面与平面间的位置关系;认识和理解空间中直线、平面平行的有关性质和判定;能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2017课标全国,6,5分线面平行的判定2016课标全国,19,12分线面平行的判定,三棱锥的体积线线平行的判定,体积公式2016四川,17,12分线面平行与面面垂直的判定探索性问题的求解分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查比较平稳,一般通过对图形或几何体的认识,考查直线与平面平行以及平面与平面平行的判定和性质,题型以解答题为主,偶尔也会出现在小题之中,以命题判断居多,难度适中,主要考查直线、平面平行间的转化思想,同时也考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力,分值约为6分.破考点【考点集训】考点直线、平面平行的判定与性质1.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列说法中正确的是()A.若m,n,mn,则B.若m,n,则mnC.若m,n,且m,n共面,则mnD.若mn,m,n,则答案C2.(2019届河南豫北六校11月联考,5)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的两点,且MN平面PAD,则() A.MNPDB.MNPAC.MNADD.以上均有可能答案B3.如图所示,平面四边形ABCD所在的平面与平面平行,且四边形ABCD在平面内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是.答案平行四边形4.(2019届山西太原五中期中考试,14)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上的一点,AP=a3,过P,M,N的平面与棱CD交于点Q,则PQ=.答案223a5.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:APGH.证明如图,连接AC,设AC交BD于O,连接MO.四边形ABCD是平行四边形,O是AC的中点.又M是PC的中点,MOPA.又MO平面BDM,PA平面BDM,PA平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH,APGH.6.(2019届河北邯郸10月调研,18)如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,ADBC,ABAD,且SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.(1)求证:AM平面SCD;(2)求三棱锥B-MAC的体积.解析(1)证明:取SC的中点N,连接MN,ND.M,N分别是SB,SC的中点,MNBC,且MN=12BC.ADBC,且AD=12BC,MNAD且MN=AD.四边形AMND为平行四边形,AMND.又AM平面SCD,ND平面SCD.AM平面SCD.(2)SA底面ABCD,SABC,又BCAB,SAAB=A,BC平面SAB,VB-MAC=VC-MAB=13SMABBC=1312(2)22=23.7.(2017河北衡水中学期中,18)如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,ABCD,点O是线段AB的中点,PO平面ABCD,PO=CD=DA=12AB=4,M是线段PA的中点.(1)证明:平面PBC平面ODM;(2)求点A到平面PCD的距离.解析(1)证明:由题意,得CDBO,且CD=BO,四边形OBCD为平行四边形,BCOD.BC平面PBC,OD平面PBC,OD平面PBC.又AO=OB,AM=MP,OMPB.又OM平面PBC,PB平面PBC,OM平面PBC.又OMOD=O,平面PBC平面ODM.(2)取CD的中点N,连接ON,PN,如图所示,则ONCD.PO平面ABCD,CD平面ABCD,POCD.又ONCD,POON=O,CD平面PNO.PN平面PNO,CDPN.ON,PN分别为ACD,PCD的公共边CD上的高.由题意可求得ON=23,则PN=27,设点A到平面PCD的距离为d.V三棱锥A-PCD=V三棱锥P-ACD,即1312427d=13124234,d=4217.即点A到平面PCD的距离为4217.炼技法【方法集训】方法1证明线面平行的方法1.(2019届湖北重点中学9月调研,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA底面ABCD,SA=AB=2,点M是SD的中点,ANSC,且交SC于点N.(1)求证:SB平面ACM;(2)求点C到平面AMN的距离.解析(1)证明:连接BD交AC于E,连接ME.四边形ABCD是正方形,E是BD的中点.又M是SD的中点,ME是DSB的中位线.MESB.又ME平面ACM,SB平面ACM,SB平面ACM.(2)由题意知DCSA,DCDA,又SADA=A,DC平面SAD,又AM平面SAD,AMDC.SA=AD,M是SD的中点,AMSD.又DCSD=D,AM平面SDC,又SC平面SDC,SCAM.SCAN,AMAN=A,SC平面AMN.于是CN平面AMN,则CN的长为点C到平面AMN的距离.在RtSAC中,SA=2,AC=22,SC=SA2+AC2=23,由AC2=CNSCCN=433,点C到平面AMN的距离为433.2.(2018江西南昌二中月考,19)在直三棱柱ABC-ABC中,BAC=90,AB=AC=2,AA=1,点M,N分别为AB和BC的中点.(1)证明:MN平面AACC;(2)求三棱锥A-MNC的体积.解析(1)证法一:连接AB,AC,因为三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,所以M为AB的中点.又因为N为BC的中点,所以MNAC,又MN平面AACC,AC平面AACC,所以MN平面AACC.证法二:取AB的中点P,连接MP,NP.因为M,N分别为AB和BC的中点,所以MPBB,NPAC,易知AABB,所以MPAA.因为MP平面AACC,AA平面AACC,所以MP平面AACC,同理,NP平面AACC.又MPNP=P,因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN,因此MN平面AACC.(2)解法一:连接BN,由题意知ANBC,因为平面ABC平面BBCC=BC,平面ABC平面BBCC,所以AN平面NBC.又AN=12BC=1,故VA-MNC=VN-AMC=12VN-ABC=12VA-NBC=16.解法二:连接BN.VA-MNC=VA-NBC-VM-NBC=12VA-NBC=16.方法2证明面面平行的方法1.(2018吉林长春质量监测,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.解析(1)证明:M,N分别为PD,AD的中点,MNPA,又MN平面PAB,PA平面PAB,MN平面PAB.在RtACD中,CAD=60,易知CN=AN,ACN=60.又BAC=60,CNAB.CN平面PAB,AB平面PAB,CN平面PAB.又CNMN=N,平面CMN平面PAB.(2)由(1)知,平面CMN平面PAB,点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离,ABC=90,CBAB.PA平面ABCD,PABC,BC平面PAB.AB=1,ABC=90,BAC=60,BC=3,三棱锥P-ABM的体积V=VM-PAB=VC-PAB=1312123=33.2.(2018安徽合肥一中模拟,18)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.(1)求证:BE平面DMF;(2)求证:平面BDE平面MNG.证明(1)连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,因为四边形ADEF为平行四边形,所以O为AE中点,又M为AB中点,所以MO为ABE的中位线,所以BEMO,又BE平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的对边AD,EF的中点,所以DEGN,又DE平面MNG,GN平面MNG,所以DE平面MNG.又M为AB的中点,N为AD的中点,所以MN为ABD的中位线,所以BDMN,因为BD平面MNG,MN平面MNG,所以BD平面MNG,因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE平面MNG.过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点直线、平面平行的判定与性质1.(2017课标全国,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A2.(2016课标全国,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求四面体NBCM的体积.解析(1)证明:由已知得AM=23AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TNBC,TN=12BC=2.(3分)又ADBC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(6分)(2)因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12PA.(9分)取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距离为5,故SBCM=1245=25.所以四面体NBCM的体积VNBCM=13SBCMPA2=453.(12分)3.(2014课标,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=34,求A到平面PBC的距离.解析(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)V=16PAABAD=36AB.又V=34,所以AB=32,所以PB=AB2+PA2=132.作AHPB交PB于H.由题设知BC平面PAB,因为AH平面PAB,所以BCAH,又BCBP=B,故AH平面PBC.又AH=PAABPB=31313,所以A到平面PBC的距离为31313.B组自主命题省(区、市)卷题组考点直线、平面平行的判定与性质1.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.解析(1)证明:如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EFAD且EF=12AD.又因为BCAD,BC=12AD,所以EFBC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF,因为CE平面PAB,BF平面PAB,因此CE平面PAB.(2)分别取BC,AD的中点M,N.连接PN交EF于点Q,连接MQ.因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF的中点,在平行四边形BCEF中,MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点得BNAD.因为PNBN=N,所以AD平面PBN,由BCAD得BC平面PBN,因为BC平面PBC,所以平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14,在RtMQH中,QH=14,MQ=2,所以sinQMH=28.所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28.2.(2016四川,17,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB平面PBD.解析(1)取棱AD的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:连接CM.因为ADBC,BC=12AD,所以BCAM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明:连接BM,由已知,PAAB,PACD,因为ADBC,BC=12AD,所以直线AB与CD相交,所以PA平面ABCD.因为BD平面ABCD,所以PABD.因为ADBC,BC=12AD,所以BCMD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.又BC=CD,所以四边形BCDM为菱形,所以MCBD,由(1)知MCAB,所以BDAB.又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.3.(2015山东,18,12分)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.证明(1)证法一:连接DG,CD,设CDGF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,ABBE=B,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CFHE,又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.4.(2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.(1)证明:GHEF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.解析(1)因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC.同理可证EFBC,因此GHEF.(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以POAC,同理可得POBD.又BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,所以GK底面ABCD,从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2得EBAB=KBDB=14,从而KB=14DB=12OB,即K为OB的中点.再由POGK得GK=12PO,即G是PB的中点,所以GH=12BC=4.由已知可得OB=42,PO=PB2-OB2=68-32=6,所以GK=3.故四边形GEFH的面积S=GH+EF2GK=4+823=18.C组教师专用题组考点直线、平面平行的判定与性质1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是() A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n答案B2.(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:ACFB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.证明(1)因为EFDB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDE=D,所以AC平面BDEF,因为FB平面BDEF,所以ACFB.(2)设FC的中点为I.连接GI,HI.在CEF中,因为G是CE的中点,所以GIEF.又EFDB,所以GIDB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.3.(2015北京,18,14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.解析(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2,所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积SVAB=3.又因为OC平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于13OCSVAB=33.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为33.4.(2015天津,17,13分)如图,已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证:EF平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1平面BCB1.证明(1)如图,连接A1B.在A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.(2)因为AB=AC,E为BC的中点,所以AEBC.因为AA1平面ABC,BB1AA1,所以BB1平面ABC,从而BB1AE.又因为BCBB1=B,所以AE平面BCB1,又因为AE平面AEA1,所以平面AEA1平面BCB1.5.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点C到平面PDA的距离.解析(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以ADBC.又因为AD平面PDA,BC平面PDA,所以BC平面PDA.(2)证明:取CD的中点,记为E,连接PE,因为PD=PC,所以PEDC.又因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=DC,PE平面PDC,所以PE平面ABCD.又BC平面ABCD,所以PEBC.因为四边形ABCD为长方形,所以BCDC.又因为PEDC=E,所以BC平面PDC.而PD平面PDC,所以BCPD.(3)连接AC.由(2)知,BCPD,又因为ADBC,所以ADPD,所以SPDA=12ADPD=1234=6.在RtPDE中,PE=PD2-DE2=42-32=7.SADC=12ADDC=1236=9.由(2)知,PE平面ABCD,则PE为三棱锥P-ADC的高.设点C到平面PDA的距离为d,由VC-PDA=VP-ADC,即13dSPDA=13PESADC,亦即136d=1379,得d=372.故点C到平面PDA的距离为372.6.(2014北京,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求证:C1F平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.解析(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC,所以BB1AB.又因为ABBC,所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FG=12AC.因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=AC2-BC2=3.所以三棱锥E-ABC的体积V=13SABCAA1=1312312=33.7.(2014山东,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC=12AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证:AP平面BEF;(2)求证:BE平面PAC.证明(1)设ACBE=O,连接OF,EC.由于E为AD的中点,AB=BC=12AD,ADBC,所以AEBC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在PAC中,可得APOF.又OF平面BEF,AP平面BEF,所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,因此BECD.又AP平面PCD,CD平面PCD,所以APCD,因此APBE.因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC.又APAC=A,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.8.(2014四川,18,12分)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.解析(1)证明:因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1AB,AA1AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC,所以AA1BC.又ACBC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC平面ACC1A1.(2)存在.证明如下:取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知可知O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线,所以MDAC且MD=12AC,OEAC且OE=12AC,因此MDOE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DEMO.因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE平面A1MC,即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.【三年模拟】时间:50分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019届吉林10月调研,3)已知直线a,b,l,平面,则下列命题中正确的个数为() 若,l,则l若al,bl,则ab若,l,则l若l,l,则A.0B.1C.2D.3答案B2.(2018山东聊城模拟,4)下列四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,则能得出平面ABC平面DEF的是()答案B3.(2019届湖南五市十校10月联考,8)若平面截三棱锥所得的截面为平行四边形,则该三棱锥的所有棱中与平面平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.1条或2条答案C4.(2018湖南长沙长郡中学调研考试,11)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABAD,BCAD,PA=AD=4,AB=BC=2,PA平面ABCD,点E是线段AB的中点,点F在线段PA上,且EF平面PCD,直线PD与平面CEF交于点H,则线段CH的长度为()A.2B.2C.22D.23答案C二、填空题(共5分)5.(2017安徽师大附中期中,15)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F平面D1AE,若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2,则F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长是.答案2三、解答题(共40分)6.(2019届河南豫南九校11月联考,18)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD底面ABCD,PAD=ABC=90,设PE=2EB.(1)求证:AEBC;(2)若直线AB平面PCD,且DC=2AB,求证:直线PD平面ACE.证明(1)侧面PAD底面ABCD,且PAD=90,PA底面ABCD.又BC底面ABCD,PABC.又ABC=90,PAAB=A,BC平面PAB.又AE平面PAB,AEBC.(2)AB平面PCD,AB平面ABCD,且平面ABCD平面PCD=DC,ABDC.如图,连接BD交AC于点M,连接EM.ABDC,ABD=BDC.又AMB=DMC,AMBCMD,ABCD=MBDM.又DC=2AB,DM=2MB.又PE=2EB,PDEM.又PD平面EAC,EM平面EAC,PD平面ACE.7.(2019届广东佛山9月调研,18)如图,在三棱锥F-ACE与三棱锥F-ABC中,ACE和ABC都是边长为2的等边三角形,H,D分别为FB,AC的中点,EFBD,EF=12BD.(1)试在平面EFC内作一条直线l,使得Pl时,均有PH平面ABC(作出直线l并证明);(2)求两棱锥体积之和的最大值.解析(1)如图,设FC的中点为I,EC的中点为G,连接GI,则直线GI即为所作直线l.证明:连接GH,HI,因为H,I分别为FB,FC的中点,所以HIBC,又HI平面ABC,BC平面ABC,所以HI平面ABC.因为G,I分别为EC,FC的中点,所以GIEF.因为EFBD,所以GIBD.又GIHI=I,GI、HI平面GHI,所以平面GHI平面ABC.由PGI知PH平面GHI,所以PH平面ABC.(2)因为EFBD,所以EF与BD确定一个平面.连接DE,因为AE=CE,D为AC的中点,所以DEAC,同理DBAC.又DBDE=D,所以AC平面BDEF.所以VF-ACE+VF-ABC=VA-BDEF+VC-BDEF=13S四边形BDEFAC=13(EF+BD)h2AC,其中,2EF=BD=3,h为梯形BDEF的高,hED,当平面ACE平面ABC时,hmax=ED=3,所以(VF-ACE+VF-ABC)max=1332+3322=32.8.(2019届广东珠海一中期中考试,20)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是菱形,ACBD=O,PAC是边长为2的等边三角形,PB=PD=6,AP=4AF.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)在线段PB上是否存在一点M,使得CM平面BDF?如果存在,求出BMBP的值;如果不存在,请说明理由.解析(1)底面ABCD是菱形,ACBD=O,O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,POAC,POBD.ACBD=O,AC平面ABCD,BD平面ABCD,PO底面ABCD.在等边PAC中,AC=2,PO=3.在PBD中,PB=PD=6,则BO=(6)2-(3)2=3,BD=23.VP-ABCD=13S菱形ABCDPO=13122233=2.(2)存在.如图,过C作CEBD交AB的延长线于E,过E作EHBF交PA于H,交PB于M.CEBD,BD平面BDF,CE平面BDF,CE平面BDF.EHBF,BF平面BDF,EH平面BDF,EH平面BDF.又CEEH=E,CE平面CEM,EH平面CEM,平面BDF平面CEM.又CM平面CEM,CM平面BDF.BDCE,DCBE,四边形BECD为平行四边形.DC=BE=AB,B为AE的中点.AF=14AP,EHBF,H为PA的中点.在PAE中,M为中线PB与中线EH的交点.M为PAE的重心,BMBP=13.9.(2018河南六市三模,18)已知空间几何体ABCDE中,BCD与CDE均是边长为2的等边三角形,ABC是腰长为3的等腰三角形,平面CDE平面BCD,平面ABC平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出证明;(2)求三棱锥E-ABC的体积.解析(1)如图所示,取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,则MN即为所求.证明:连接EM,EN,取BC的中点H,连接AH,ABC是腰长为3的等腰三角形,BC=2,H为BC的中点,AHBC,又平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,AH平面ABC,AH平面BCD,同理可证EN平面BCD,ENAH,EN平面ABC,AH平面ABC,EN平面ABC.又M,N分别为BD,DC的中点,MNBC,MN平面ABC,BC平面ABC,MN平面ABC.又MNEN=N,MN平面EMN,EN平面EMN,平面EMN平面ABC,又EF平面EMN,EF平面ABC,即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH,取CH的中点G,连接NG,则NGDH,由(1)可知EN平面ABC,点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等,又BCD是边长为2的等边三角形,DHBC,又平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,DH平面BCD,DH平面ABC,NG平面ABC,易知DH=3,NG=32,又SABC=12BCAH=12232-12=22,VE-ABC=13SABCNG=63.
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