极限的运算法则06757

会计学1极限的运算法则极限的运算法则06757定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得1.5 极限的四则运算法则极限的四则运算法则一、四则运算法则一、四则运算法则第1页/共30页有界，有界，第2页/共30页推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2结论结论:定理定理（保序性）（保序性）P46 定理定理5 保号性的推广保号性的推广第3页/共30页二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则定理定理.设设且且 x 满足满足时时,又又则有则有证证:取取则当则当时时故故因此因此式成立式成立.当当时时,有有当当时时,有有对上述对上述第4页/共30页 说明说明:若定理中若定理中则类似可得则类似可得定理定理.设设且且 x 满足满足时时,又又则有则有意义：意义：变量代换变量代换第5页/共30页三、求极限方法举例三、求极限方法举例三、求极限方法举例三、求极限方法举例例例1 1解解第6页/共30页注注:第7页/共30页解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2注：注：无穷大与非零有限数之积仍是无穷大；无穷大与非零有限数之积仍是无穷大；有限个无穷大之积仍是无穷大。有限个无穷大之积仍是无穷大。第8页/共30页解解例例3 3(消去零因子消去零因子法法)第9页/共30页例例4 4 求极限求极限解解:（分子有理化）（分子有理化）例例5 5 求极限求极限解：原式解：原式（分子分母同时有理化）（分子分母同时有理化）请思考解请思考解题方法题方法.第10页/共30页有理有理分式函数求极限小结：分式函数求极限小结：（1 1）分母不等于零，直接用法则；）分母不等于零，直接用法则；（2 2）分母等于零，分子不等于零，无穷大）分母等于零，分子不等于零，无穷大（3 3）分母等于零，分子等于零，消去零因子，）分母等于零，分子等于零，消去零因子，极限有可能存在极限有可能存在无理无理分式函数求极限：分式函数求极限：一般先有理化一般先有理化,然后求极限然后求极限.第11页/共30页例例6 6 求极限求极限解解通分通分注：注：无穷大之代数和是未定型。无穷大之代数和是未定型。无穷大的商就是无穷大的商就是 ，也是未定型。，也是未定型。第12页/共30页例例7 7 解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)第13页/共30页有理分式的极限小结有理分式的极限小结:2 2 无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除以分母中自变量的最高次幂除 分子分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.1“1“抓大头抓大头”:分子分母中只考虑最高次幂项分子分母中只考虑最高次幂项第14页/共30页练习：练习：第15页/共30页例例8 8 求极限求极限解解有理化有理化“抓大头抓大头”第16页/共30页解解第17页/共30页例例1010解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,第18页/共30页小结小结小结小结1.1.极限的四则运算法则、复合函数极限及其推论极限的四则运算法则、复合函数极限及其推论;2.2.极限求法极限求法:(3)(3)利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限(4)(4)利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.(1)(1)分式函数极限求法分式函数极限求法时时,用代入法用代入法(分母不为分母不为 0)0)时时,对对型型 ,约去公因子约去公因子时时,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“抓大头抓大头”(2)(2)复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变量第19页/共30页重点：重点：运用极限的四则运算、复合函数的极限运用极限的四则运算、复合函数的极限法则求极限法则求极限 难点：难点：求极限的一些技巧，极限不存在时的一求极限的一些技巧，极限不存在时的一些运算些运算 第20页/共30页思考思考题题1.1.在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，无极限，那么那么 是否有极限？是否有极限？是否有是否有极限？为什么？极限？为什么？3.3.试确定常数试确定常数a a使使2.2.已知已知，则（，则（）B B 必有必有C C都不一定存在都不一定存在A A 必有必有D D第21页/共30页4.4.已知已知在在的一个邻域内有界，若的一个邻域内有界，若，则必有（，则必有（）A A B B C C 不能确定不能确定D D极限不存在极限不存在5.5.若若与与的极限均存在，则的极限均存在，则的极限如何？（的极限如何？（）A A 必存在必存在 B B 必不存在必不存在 C C 不一定存在不一定存在 D D 极限必为零极限必为零第22页/共30页思考题解答思考题解答假设假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误1.1.没有极限没有极限有极限，有极限，不一定有极限不一定有极限极限不存在极限不存在如如第23页/共30页2.2.已知已知C C都不一定存在都不一定存在 正确选项为正确选项为例如例如当当时，极限均不存在。时，极限均不存在。第24页/共30页3.3.解解 :令令则则故故因此因此第25页/共30页4.4.已知已知在在的一个邻域内有界，若的一个邻域内有界，若，则必有（，则必有（）C C 不能确定不能确定极限不存在极限不存在正确选项为正确选项为例如例如当当时，时，当当时，时，第26页/共30页5.5.若若与与的极限均存在，则的极限均存在，则的极限如何？（的极限如何？（）A A 必存在必存在 B B 必不存在必不存在 C C 不一定存在不一定存在 D D 极限必为零极限必为零正确选项为正确选项为C C 不一定存在不一定存在 例如例如极限不存在极限不存在当当时，时，第27页/共30页作业：作业：P49 1（1、3、5、7、10、12、14）2（1、3），），3，4,5 第28页/共30页备用题备用题备用题备用题 设设设设解解:利用前一极限式可令利用前一极限式可令再利用后一极限式再利用后一极限式 ,得得可见可见是多项式是多项式 ,且且求求故故第29页/共30页