极限存在性的判定与求法

会计学1极限存在性的判定与求法极限存在性的判定与求法2.3 极限存在性的判定和求法极限存在性的判定和求法第1页/共67页一、极限存在性的判定一、极限存在性的判定1 1、夹逼定理、夹逼定理定理定理应用夹逼定理求极限，关键是找到应用夹逼定理求极限，关键是找到g(x)、h(x)，不但要，不但要满足不等式，而且二者的极限要相等。满足不等式，而且二者的极限要相等。第2页/共67页设数列 xn,yn,zn 满足下列关系:(2)则(1)yn xn zn,n Z+(或从某一项开始);夹逼定理夹逼定理：第3页/共67页例例1答案答案 1第4页/共67页解解例例2 2第5页/共67页2 2、单调有界性定理、单调有界性定理定义定义有界有界。定义定义单调递增单调递增；单调递减单调递减。第6页/共67页定理定理 单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。第7页/共67页单调收敛准则单调收敛准则 单调减少有下界的数列必有极限.单调增加有上界的数列必有极限.通常说成：单调有界的数列必有极限通常说成：单调有界的数列必有极限.第8页/共67页例例3答案答案第9页/共67页例例 4.设证证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消拆项相消”法法第10页/共67页例5.求解解:令则利用夹逼准则可知第11页/共67页二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限第12页/共67页第13页/共67页首先看看在计算机上进行的数值计算结果：第14页/共67页0.10.99833416646828154750180.010.99998333341666645335270.0010.99999983333334163670970.00010.99999999833333341747730.000010.99999999998333322093200.0000010.99999999999983335552400.00000011.00000000000000000000000.000000011第15页/共67页第一个重要极限：第一个重要极限：其中的两个等号只在其中的两个等号只在x=0时成立时成立.设圆心角设圆心角 过点过点A作圆的切线与作圆的切线与OB的延长线交于点的延长线交于点C，又作，又作则则sin x=BD，tan x=AC，当当 时时首先证明不等式首先证明不等式BODACx第16页/共67页当当 时有时有即当即当 时时BODACx而当而当 时有时有 ,从而从而即当即当 时有时有这就证明了不等式这就证明了不等式 .第17页/共67页从而有从而有由夹逼准则，即得由夹逼准则，即得第18页/共67页第一个重要极限：第一个重要极限：这是因为，令u=a(x)，则u 0，于是第19页/共67页 解：解：例例3 例例4 解：解：重要极限重要极限(I)：第20页/共67页 例例5 解：解：重要极限重要极限(I)：第21页/共67页求故解例6第22页/共67页(2)求(1)请自己动手做一下例7第23页/共67页(1)解第24页/共67页(2)解第25页/共67页由三角函数公式求例8解故 原式第26页/共67页 解解 利用重要极限，有 例9第27页/共67页例例10.求解解:原式 第28页/共67页2.重要极限第29页/共67页变量代换下面证明第30页/共67页其中e是一个常数，其近似值为：e2.7182818284590。第二个重要极限：第二个重要极限：第31页/共67页下页n12345101001000 10000yn22.250 2.370 2.441 2.488 2.597 2.705 2.717 2.718第32页/共67页*证证由中学的牛顿二项式展开公式第33页/共67页类似地,有第34页/共67页第35页/共67页 等比数列求和 放大不等式每个括号小于 1.*证证第36页/共67页 综上所述,数列xn是单调增加且有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它纪为 e,即e 称为欧拉常数.第37页/共67页第38页/共67页由它能得到吗？如果可行,则可以利用极限运算性质得到所需的结论吗？进一步可得吗？第39页/共67页*证明证明 因为 x +,故不妨设 x 0.由实数知识,总可取 n N,使 n x n+1,故第40页/共67页第41页/共67页 我们作变量代换,将它归为 x +的情形即可.想想,作一个什么样的代换？*再证明再证明第42页/共67页第43页/共67页由 最后证明最后证明第44页/共67页现在证明第45页/共67页令t ,则 x 0时,故于是有证证第46页/共67页综上所述综上所述,得到以下公式得到以下公式第47页/共67页第48页/共67页第49页/共67页一般地第50页/共67页两个重要极限或注注:代表相同的表达式第51页/共67页第52页/共67页思考与练习思考与练习填空题填空题 (14)第53页/共67页重要极限重要极限(II)：例例1.求下列极限第54页/共67页第55页/共67页=e-1e=1。例例2 解：解：重要极限重要极限(II)：第56页/共67页例例3思考题：思考题：求极限求极限解解 原式原式第57页/共67页例4求解重要极限重要极限(II)：第58页/共67页(1)求例5解第59页/共67页解此题的另一解法：此题的另一解法：第60页/共67页 解解 注意：注意：第61页/共67页求例7解又故常用的方法第62页/共67页例例8 8 设有本金设有本金10001000元，若用连续复利计算，年利元，若用连续复利计算，年利 率为率为8%8%，问，问5 5年末可得本利和为多少？年末可得本利和为多少？解解 设复利一年计算一次，则一年末本利和为设复利一年计算一次，则一年末本利和为若复利一年计算若复利一年计算n次，则次，则x年末本利和为年末本利和为 x年末本利和为年末本利和为所以所以第63页/共67页例例9.已知求 c.第64页/共67页本周作业：本周作业：第65页/共67页答案：112.已知已知 求求a的值。的值。答案：1第66页/共67页