杨辉三角上课用

会计学1杨辉三角上课用杨辉三角上课用 把（把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，展开式的二项式系数取出来，当当n依次取依次取1，2，3，时，可列成下表：时，可列成下表：(a+b)11 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1上面的表叫做上面的表叫做二项式系数表二项式系数表(杨辉三角杨辉三角)1 在我国在我国,很早很早就有人研究过就有人研究过二项式系数表二项式系数表,南宋数学家杨南宋数学家杨辉于辉于12611261年在年在其所著的其所著的详详解九章算法解九章算法中就有出现中就有出现.欧洲认为是欧洲认为是16541654年帕斯卡年帕斯卡发现的，称为发现的，称为“帕斯卡三角帕斯卡三角”第1页/共32页(a+b)1 1 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1观察二项式系数表，寻求其规律：观察二项式系数表，寻求其规律：31015 思考 观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等第2页/共32页(2)递推性:除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.性质(3)各二项式系数的和.从第一项起至中间项从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小随后又逐渐减小.当n是偶数时，中间的一项 的二项式系数 取得 最大值 ；当n是奇数时，中间的两项 二项式系数 和 相等，且同时取得最大值。即即和和(a+b)1 1 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1(4)增减性与最大值.即即第3页/共32页 试证明在试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：即证：证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得 启示：在二项式定理中，对启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法赋值法.思考1 第4页/共32页题型一题型一题型一题型一求二项展开式中有关系数和的问题求二项展开式中有关系数和的问题求二项展开式中有关系数和的问题求二项展开式中有关系数和的问题(整理整理整理整理)例例1:在二项式在二项式(2x-3y)9展开式中展开式中,求求:(1)二项式系数之和二项式系数之和;(2)各项系数之和各项系数之和;(3)所有偶数项系数之和所有偶数项系数之和;(4)所有项系数绝对值的和所有项系数绝对值的和.第5页/共32页方法方法2:|a0|+|a1|+|a2|+|a9|,即为即为(2x+3y)9展式中各项系数展式中各项系数之和之和,令令x=y=1得得|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=59.即所有项系数绝对值的和为即所有项系数绝对值的和为59.第6页/共32页变式训练变式训练变式训练变式训练1:1:若若若若(1-2x+3x(1-2x+3x2 2)8 8=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a1414x x1414+a+a1515x x1515+a+a1616x x1616.求求求求:(1)a:(1)a1 1+a+a2 2+a+a1616;(2)a(2)a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a1414+a+a1616.解:(1)令x=0,得a0=1.令x=1,得a0+a1+a2+a16=28=256.a1+a2+a3+a16=255.(2)由(1)知,a0+a1+a2+a3+a15+a16=28,令x=-1得a0-a1+a2-a3+a14-a15+a16=68,二式相加得2(a0+a2+a4+a14+a16)=28+68,a0+a2+a4+a14+a16第7页/共32页题型二题型二题型二题型二求二项展开式中有关最大系数问题求二项展开式中有关最大系数问题求二项展开式中有关最大系数问题求二项展开式中有关最大系数问题例例例例2:(2:(1+2x)1+2x)n n的展开式中第的展开式中第的展开式中第的展开式中第6 6项与第项与第项与第项与第7 7项的系数相等项的系数相等项的系数相等项的系数相等,求求求求展开式中展开式中展开式中展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项二项式系数最大的项和系数最大的项二项式系数最大的项和系数最大的项二项式系数最大的项和系数最大的项.第8页/共32页 余数是余数是1 1，所以是所以是星期六星期六例例4、今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后的这天后的这一天是星期几？一天是星期几？三、整除问题三、整除问题第9页/共32页 例例 5:5:求求 的展开式中的展开式中 项项 的系数的系数.解解的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是第10页/共32页由题意知由题意知解得解得所以所以 的系数为的系数为:例题点评例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算第11页/共32页(-168)第12页/共32页题型题型 证明恒等式证明恒等式析析:本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为因为 由此分析求解由此分析求解两式相加两式相加第13页/共32页 求证：求证：证明：证明：倒序相加法倒序相加法 思考第14页/共32页求证求证：第15页/共32页例20证明：证明证明通项通项所以所以题型题型 证明不等式证明不等式利用二项式定理证明不等式利用二项式定理证明不等式,将展开式进行合理放缩将展开式进行合理放缩第16页/共32页探究：斜行规律（一）探究：斜行规律（一）第一条斜线上：第一条斜线上：第二条斜线上：第二条斜线上：第三条斜线上：第三条斜线上：第四条斜线上：第四条斜线上：猜想：猜想：在杨辉三角中，第在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）条斜线（从右上到左下）上前上前n个数字的和，等于个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第m+1条斜线上的第n个数.第17页/共32页1 11 11 1 1 1 （第第1 1条斜线条斜线）1 14 41010 （第第4 4条斜线条斜线）1 13 36 6 （第第3 3条斜线条斜线）1 12 23 3 （第第2 2条斜线条斜线）(nr)?第18页/共32页结论结论结论结论1 1：杨辉三角中，第杨辉三角中，第杨辉三角中，第杨辉三角中，第m m条斜条斜条斜条斜(从右上从右上从右上从右上到左下到左下到左下到左下)上前上前上前上前n n个数字的和，等于第个数字的和，等于第个数字的和，等于第个数字的和，等于第m+1m+1条斜线上第条斜线上第条斜线上第条斜线上第n n个数个数个数个数即即即即即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。第19页/共32页第第1行行 1 13第第5行行 1 5 10 10 5 1第第0行行1第第2行行 1 2 1第第4行行 1 4 6 4 1 125第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第3行行 1 3 3 118132134（二）（二）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1结论结论2 2：从第三个数起，任一数都等于前两个数的和：从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列 。第20页/共32页 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，斐波那契斐波那契“兔子繁殖问题兔子繁殖问题”趣味数趣味数学学第21页/共32页358第第0行行4101312679111214151 1）杨辉三角中的第）杨辉三角中的第1 1，3 3，7 7，1515，行，即第行的行，即第行的各个数字为奇数？各个数字为奇数？2 2n n-1-1除两端的1之外都是偶数.则第2n行的数字有什么特点？探究：横行规律第22页/共32页高考真题高考真题：（07湖南理湖南理15）将杨辉三角中的奇数换成将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成偶数换成0，得到如图所示的，得到如图所示的01数表，从上往下数：数表，从上往下数：第一次全行的数都为第一次全行的数都为1的是第一行，第二次全行的数都的是第一行，第二次全行的数都为为1的是第的是第3行，行，第第n次全行的数都为次全行的数都为1的是第的是第行行第一行第一行11第二行第二行101第三行第三行1111第四行第四行10001第五行第五行1100112n1第23页/共32页题型三题型三题型三题型三与杨辉三角有关的问题与杨辉三角有关的问题与杨辉三角有关的问题与杨辉三角有关的问题例例例例3:3:如图所示如图所示如图所示如图所示,在杨辉三角中在杨辉三角中在杨辉三角中在杨辉三角中,斜线斜线斜线斜线ABAB上方箭头所示的数组成上方箭头所示的数组成上方箭头所示的数组成上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列一个锯齿形的数列一个锯齿形的数列一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,:1,2,3,3,6,4,10,记这个数列的前记这个数列的前记这个数列的前记这个数列的前n n项项项项和为和为和为和为S(n),S(n),则则则则S(16)S(16)等于等于等于等于()()第24页/共32页第25页/共32页变式训练变式训练变式训练变式训练:如下图如下图如下图如下图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中在由二项式系数所构成的杨辉三角中在由二项式系数所构成的杨辉三角中在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第第第第_行中从左到右第行中从左到右第行中从左到右第行中从左到右第1414与第与第与第与第1515个数的比为个数的比为个数的比为个数的比为2 2：3.3.第26页/共32页答案:34第27页/共32页 在在(3x-2y)20的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)二项式二项式系数最大的项系数最大的项;(2);(2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项;(3);(3)系数最大的项系数最大的项;思考 第28页/共32页解解:(2):(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项项.则则 即 3(r+1)2(20-r)得 2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为第29页/共32页（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）r=5.即 3(r+1)2(20-r)得 2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为第30页/共32页1161解析解析第31页/共32页