杨辉三角和二项式系数的性质

会计学1杨辉三角和二项式系数的性质杨辉三角和二项式系数的性质复习1.什么叫二项式定理？通项公式？2.什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？第1页/共14页二项式系数的性质(a+b)1 1 1(a+b)2 1 2 1(a+b)3 1 3 3 1(a+b)4 1 4 6 4 1(a+b)5 1 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 递推法第2页/共14页 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：一 一 一 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十五 二十 十五 六 一第3页/共14页 这个表称为杨辉三角。在详解九章算法一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年1662 年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。第4页/共14页定义域0,1,2,n 61420O63r f(r)令当n=6时,其图象是7个孤立点第5页/共14页 1.对称性 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。2.增减性与最大值 3.各二项式系数和当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；当n是奇数时，中间的两项 ，相等，且同时取得最大值。第6页/共14页例:证明:在(a+b)n展开式中,奇数项 的二项式系数的和等于偶 数项的二项式系数的和.第7页/共14页例一、选择填空：1.(1x)13 的展开式中系数最小的项是 （）(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （）(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1CD4或5-2-10941093第8页/共14页例二、已知 的展开式中只有第10项系数最大，求第五项。解：依题意，为偶数，且变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？第9页/共14页解：（1）中间项有两项：（2）T3，T7，T12，T13 的系数分别为：例三、已知二项式(a+b)15（1）求二项展开式中的中间项；（2）比较T3，T7，T12，T13各项系数的大小，并说明理由。第10页/共14页例四、已知a,bN，m,n Z，且2m+n=0，如果二项式(ax m+bx n)12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a:b 的取值范围。解：令m(12 r)+nr=0，将 n=2m 代入，解得 r =4故T5 为常数项，且系数最大。第11页/共14页作业见课本小结（1）二项式系数的三个性质。（2）数学思想：函数思想。a 单调性；b 图象；c 最值。（3）数学方法：赋值法、递推法研究题：求二项式(x+2)7 展开式中系数最大的项，试归纳出求形如(ax+b)n 展开式中系数最大项的方法或步骤。第12页/共14页解：设最大项为 ，则：即即则展开式中最大项为第13页/共14页