第三届全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案及评分标准(非数学类2011)_

第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准（非数学类,2011）一、（本题共4小题，每题6分，共24分）计算题2lim(l+7(1-吨+对)人TO22解：因为(1+X)A一幺2(1-111(1+兀)ln(l+x)a_ex-w(lln(l+x)22加ln(l+x)大TO1n(l+A)reYlimA0e2e1limA02n(l+x)-2ex-1=e2limA-()1.-ln(l+x)-2X0x2所以.(1+x)A-elimA-02（1一1叫+功o若0HO,则当充分大，使得211时,oean=cos-cos“222ooecos=cos-cos2n22222o.ecossin2农2并010sinTooo.e=COSI*COS7cos戸三泗亍ee二COScosrCOS222.esinTe.e177SinrT220sinTsin02sinT2这时，.sinOsinOliman=lim=28T0C.(J02sinT3.求jjsgn(jcy-)dxdy,其中D=(x,y)10x2,0y2D解：设Dj=(x,y)0x,0y2Dr=(兀,y)I丄Sx2,0y2兀2分4分6分D3=(x,y)-x2,-yjjdxdy=1+j=1+2In2,Jjdxdy=3-21n2.DuD2丄XO32xy-V)dxdy=Jjdxdy-jjdxdy=2-4ln2.D3917_197714求幕级数-a-2w-2的和函数，并求级数工丁的和.刃=12川=200Q1解：令5(x)=-x2w-2,则其的定义区间为(-V2,V2).V.xe(-2,2),=i222于是,*(_J2,J2).S(x)=2+x2(2-x2)2Xz/=!congjj,2. 如果存在正整数p,使得lim(cz-)=2,则lim=.n-oo1“T8fjp证明：1.由lim色=d,3M0使Wan0,3gN,当nN时,nooIa-lN|,当川M时，一1oc“Toenx11而A+AJ=d(卄i)p+厂%所以，悝d(n+l)p+i一Qp+i_免山lim仏=0.知lim虻山中二A.界TRflPITAn12分从而lim叽中+=lim-一(n+1)+is(刃+1)/9+/Q(“+i)p+j2VmgN,3/7,p.igN,(0zoo.所以,moyyip16分三、(15分)设函数.f(x)在闭区间-1，1上具有连续的三阶导数，且/(-1)=0,/(1)=1,广(0)=0.求证：在开区间(-1,1)内至少存在一点心使得广(兀)=3证.山马克劳林公式，得/(兀)=.f(0)+/(0)+f“()x3,介于0与jiZ间，兀w1,13分2!3!在上式中分别取x=l和x=-l,得1=/(I)=/(0)+占.厂(0)+g.nJ，o5v1()=/(-I)=/(0)+言厂(0)-言广偽)，-1“20）有一质4四、（15分）在平面上，有一条从点（。,0）向右的射线，线密度为Q.在点（0,力）处（其中方0）有一质量为加的质点.求射线对该质点的引力.解：在兀轴的兀处取一小段dx,其质量是至ij质点的距离为、+十dF=Gmpdx（其中g为引力常数）.fr+Q这个引力在水平方向的分量为dF严呼噴2从而（/T+JT）rGmpxdx%+扌严Gmp7d(x2)丁!斤+计=-Gmp(h2x2yU2而在竖直方向的分量为心絆*故GmphdxFy=(h2x2r2Gmph2sec2dtGmpa/?3sec3/arctanh/r/2厂/fcostdt=1LhIarctanh所求引力向量为F=（Fv,Fy）.五.（15分）设z（x,0是由方程厂（2+丄，z-）=0确定的隐函数,xyUE：疋乎+y2孚=0和疋|4+厂(兀+刃亠+：/4=0dxdydxoxoyoy解:Qrjc）7c）7Q7I对方程两边求导，（亍-一）耳+宁=（）,一耳+（F+r）Qdxfdxoydyy-1由此解得，斜眉+帀斜沖+耳）所以，x2+/=0dxdy将上式再求导，x2+y2=-2xfdx2dydxdxdxdydy相加得到，疋害+g+y）茫+y普dxdy，这一小段与质点的引力是5分Gmph2+/10分、.a-sinarctanh）15分且具有连续的二阶偏导数求05分10分15分4六.(15分)设函数.f(x)连续，a,b,c为常数，是单位球面x2+y2+z2=1.记第一型曲面积分I=f(ax+by+cz)dS求证：I=2龙J/(Vtz2+方+c2u)duL-1解：由为的面积为4兀可见：当a,b,c都为零时，等式成立.2分当它们不全为零时，可知：原点到平面Q+by+cz+d=O的距离是7a2+/?2+(?设平面心/厂+c,其中固定.则血丨是原点到平面化的距离，从而yla2+Z?2+c2-u1.8分两平面PH和匕+d“截单位球为的截下的部分上，被积函数取值为fa1+Z?2+c，j.10分这部分摊开可以看成一个细长条.这个细长条的长是2龙、：1-/,宽是它的面积是2加，故V1-W2我们得证.15分5