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专题限时集训(九)第9讲数列的概念与表示、等差数列与等比数列(时间：45分钟) 1已知数列an满足a13，an12an1，那么数列an1()A是等差数列B是等比数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列也不是等比数列2在等差数列an中，若a1a5a9，则tan(a4a6)()A. B. C1 D13公差不为零的等差数列an中，a1a2a513，且a1，a2，a5成等比数列，则数列an的公差等于()A1 B2 C3 D44在数列an中，若a12，且对任意的正整数p，q都有apqapaq，则a8的值为()A256 B128 C64 D325已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6()A5 B7C6 D46在等差数列an中，已知公差d2，且a1，a3，a4成等比数列，则a2()A4 B6 C8 D107函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a30，则f(a1)f(a3)f(a5)的值()A恒为正数 B恒为负数C恒为0 D可正可负8已知数列an中，a1，an1则a2 012等于()A. B.C. D.9已知递增的等比数列an中，a2a83，a3a72，则_10观察下列等式11，2349，3456725，4567891049，照此规律，第n个等式为_11若关于x的方程x2xa0与x2xb0的四个根组成首项为的等差数列，则ab_12定义一种运算：(1at1at2a2a1a0)2tat12t1at22t2a12a0，其中ak0，1(k0，1，2，t1)，给定x1(1at1at2a2a1a0)，构造无穷数列xk：x2(1a0at1at2a2a1)，x3(1a1a0at1at2a3a2)，x4(1a2a1a0at1at2a4a3)，.(1)若x130，则x4_；(用数字作答)(2)若x122m322m22m11(mN*)，则满足xkx1(k2，kN*)的k的最小值为_(用含m的式子作答)13在数列an中，a1，点(an，an1)在直线yx上(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.14已知数列an中，a12，anan12n0(n2，nN*)(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列an的通项公式；(2)设bn，求bn的最大值15已知数列an满足：a1a2a3annan(n1，2，3，)，(1)求证：数列an1是等比数列；(2)令bn(2n)(an1)(n1，2，3，)，如果对任意nN*，都有bntt2，求实数t的取值范围专题限时集训(九)【基础演练】1B解析 由an12an1得an112(an1)，而a1120，所以2.故选B.2A解析 由等差数列的性质可知，a1a5a93a5，a4a62a5，所以a4a6(a1a5a9)，所以tan(a4a6)tan.故选A.3B解析 设数列an的公差为d.因为a1，a2，a5成等比数列，所以aa1a5，则(a1d)2a1(a14d)，得a1.又a1a2a53a15d13，由解得d2.故选B.4A解析 由apqapaq，令pn，q1，则an1ana1，即2，所以an是以2为公比的等比数列，首项为2，故a822728256.【提升训练】5A解析 由等比数列的性质可知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，又等比数列an中各项均为正数，所以a4a5a65.6B解析 由题意，aa1a4，则(a2d)2(a2d)(a22d)，即(a22)2(a22)(a24)，解得a26.故选B.7A解析 f(0)0，a30，f(a3)f(0)0，又a1a52a30，所以a1a5即f(a1)f(a5)，于是f(a1)f(a5)0.8C解析 当a1时，a221，a321，a42，a52.所以数列an的周期为4，而503，所以a2 012a4.故选C.9.解析 设等比数列an的公比为q，则由条件a3a7a2a82，又a2a83，且an是递增数列，知a20，解得a21，a82，所以q62，故q3.10n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2解析 依题意，等式的第一项依次为1，2，3，由此知等式的第n项为n；最后一项为1，4，7，10，由此知最后一项为3n2.于是，第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.故填n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.11.解析 设两个方程的根分别为x1、x4和x2、x3.因为x1x4x2x31，所以x1，x4，从而x2，x3.则ax1x4，bx2x3，或a，b.于是ab.12(1)29(2)2m4解析 (1)因为x12tat12t1at22t2a12a030，又因为2412312212030，所以一定有t4，a31，a21，a11，a00.因此，x424a223a122a02a31612312202129.(2)x1(110000,sdo4(m个0)10000,sdo4(m个0)1)x2(1110000,sdo4(m个0)10000,sdo4(m个0)xm2(10000,sdo4(m个0)110000,sdo4(m个0)1)xm3(110000,sdo4(m个0)110000,sdo4(m个0)x2m3(10000,sdo4(m个0)10000,sdo4(m个0)11)x2m4(110000,sdo4(m个0)10000,sdo4(m个0)1)x1，所以满足xkx1的k的最小值为2m4.13解：(1)由已知得an1an，即an1an.所以数列an是以为首项，为公差的等差数列，即an(n1).(2)由(1)得bn，即bn4，所以Tn441.14解：(1)因为a12，anan12n0(n2，nN*)，所以a26，a312.当n2时，anan12n，an1an22(n1)，a3a223，a2a122，所以ana12n(n1)32，即an2n(n1)3212n(n1)当n1时，a11(11)2也满足上式于是数列an的通项公式为ann(n1)(2)bn.令f(x)2x(x1)，则f(x)2，当x1时，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max.15解：(1)证明：由题可知：a1a2a3an1annan，a1a2a3anan1n1an1，可得2an1an1，即an11(an1)，又a11，所以数列an1是以为首项，为公比的等比数列(2)由(1)可得，an1，bn，由bn1bn0可得n3，由bn1bn3，所以b1b2b5bn，故bn有最大值b3b4，所以，对任意nN*，有bn，如果对任意nN*，都有bntt2，即bnt2t成立，则(bn)maxt2t，故有t2t，解得t或t，所以，实数t的取值范围是.
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