材料力学弯曲应力课件

5.1 纯弯曲纯弯曲 5.2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 5.4 弯曲切应力弯曲切应力 5.5 关于弯曲理论的基本假设关于弯曲理论的基本假设第五章 弯曲应力 5.6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施5.1 纯弯曲弯曲FSM内力内力应力应力应力应力=？5.1 纯弯曲弯曲 纯弯曲纯弯曲(pure bending)梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。MeM剪力剪力Fs 切应力切应力弯矩弯矩M 正应力正应力弯曲内力弯曲内力5.1 纯弯曲弯曲 横力弯曲横力弯曲(bending by transverse force)梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。5.1 纯弯曲弯曲纯弯曲变形特征纯弯曲变形特征5.1 纯弯曲弯曲横截面变形后仍为平面，只横截面变形后仍为平面，只是绕截面内某一轴线转动一是绕截面内某一轴线转动一个角度，且仍垂直于变形后个角度，且仍垂直于变形后的梁轴线。的梁轴线。1 平面假设平面假设纵向线纵向线aa和和bb 变为弧线，横变为弧线，横向线向线mm和和nn变形后仍为直变形后仍为直线，它们发生相对转动并与线，它们发生相对转动并与纵向线纵向线 和和 仍正交。仍正交。5.1 纯弯曲弯曲2 纵向纤维假设纵向纤维假设 设想梁是由无数层纵向纤维组成纵向纤维间无正应力纵向纤维间无正应力凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长中间中间必有必有一层纤维长一层纤维长度不变度不变中性层中性层中中性性层与横截面的交层与横截面的交线线中性轴中性轴梁的弯曲变形实际上是各横截面绕各自的中性轴转动了一梁的弯曲变形实际上是各横截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。5.2 纯弯曲弯曲时的正的正应力力1 变形几何关系变形几何关系取坐标系如图，y轴为对称轴；z轴为中性轴。x轴过原点的横截面法线。纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。5.2 纯弯曲弯曲时的正的正应力力2 物理关系物理关系纵向纤维只受拉或压，在比例极限范围内，由胡克定律:纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离y成正比。故，正应力沿截面高度呈线性分布。由纵向线应变的变化规律由纵向线应变的变化规律正应力的分布规律。正应力的分布规律。M中性轴的位置？中性轴的位置？5.2 纯弯曲弯曲时的正的正应力力 静力关系静力关系横截面上横截面上的内力系的内力系由平衡关系由平衡关系z轴（中性轴）通过截面形心。轴（中性轴）通过截面形心。梁截面的形心连线（轴线）也在中性层内，长度不变。梁截面的形心连线（轴线）也在中性层内，长度不变。5.2 纯弯曲弯曲时的正的正应力力即即因为因为y轴是对称轴，上式自然满足。轴是对称轴，上式自然满足。梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度为梁轴线变形后的曲率，它与梁所承受的弯矩成正比，为梁轴线变形后的曲率，它与梁所承受的弯矩成正比，与梁的抗弯刚度成反比与梁的抗弯刚度成反比5.2 纯弯曲弯曲时的正的正应力力变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系按弯曲变形形状判断，凸出一侧受拉，为拉应力；按弯曲变形形状判断，凸出一侧受拉，为拉应力；凹入一侧受压，为压应力。凹入一侧受压，为压应力。弯曲弯曲正应力正应力的正负号的正负号 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力5.2 纯弯曲弯曲时的正的正应力力 纯弯曲梁横截面上正应力的分布纯弯曲梁横截面上正应力的分布MM与中性轴距离相等与中性轴距离相等的的点，正应力点，正应力大小大小相等；相等；正应力大小与其到中性轴距离成正比；正应力大小与其到中性轴距离成正比；中性轴上中性轴上,正应力等于零正应力等于零反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。抗弯截面系数抗弯截面系数单位：单位：L35.2 纯弯曲弯曲时的正的正应力力u 由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况。u 公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。纯弯曲时正应力公式的适用性纯弯曲时正应力公式的适用性5.2 纯弯曲弯曲时的正的正应力力 常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面5.2 纯弯曲弯曲时的正的正应力力 纯弯曲时最大正应力计算纯弯曲时最大正应力计算截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称截面关于中性轴不对称截面关于中性轴不对称一些易混淆的概念 对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向外对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式力时的受力与变形形式 纯纯 弯弯 曲梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常曲梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态数的受力状态 中性轴横截面受拉与受压区的分界线中性轴横截面受拉与受压区的分界线 形心轴通过横截面形心的坐标轴形心轴通过横截面形心的坐标轴 弯曲刚度弯曲刚度EI代表梁截面抵抗弯曲变形的能力代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数抗弯截面系数Wz代表梁截面几何性质对弯曲强度代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响的影响中性轴与形心轴中性轴与形心轴对称弯曲与纯弯曲对称弯曲与纯弯曲 截面弯曲刚度与抗弯截面系数截面弯曲刚度与抗弯截面系数5.3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力工程中常见的平面弯曲是横力弯曲工程中常见的平面弯曲是横力弯曲横力弯曲时，横截面上有切应力横力弯曲时，横截面上有切应力平面假设不成立平面假设不成立纵向纤维间无正应力的纵向纤维间无正应力的纵向纤维假设也不成立纵向纤维假设也不成立实验和弹性力学理论的研究都表明：实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 的比值的比值 l/h 5 时，纯弯曲正应力公时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式弯曲正应力公式l/h 5的梁称为细长梁的梁称为细长梁u 纯弯曲或细长梁的横力弯曲纯弯曲或细长梁的横力弯曲公式适用范围公式适用范围u 横截面惯性积横截面惯性积Iyz=0u 弹性范围内弹性范围内l/h比值越大，精确程度越高比值越大，精确程度越高5.3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力l 最大正应力最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的。横力弯曲时，弯矩是变化的。引入符号：引入符号：则有：则有：抗弯截面系数抗弯截面系数l 比比较较拉压拉压:扭转扭转:tWTmaxmax=t5.3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力l常用截面的抗弯截面系数常用截面的抗弯截面系数u 矩形截面矩形截面u 圆形截面圆形截面u 截面为外径截面为外径D、内径、内径d(a a=d/D)的空的空心圆心圆:5.3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力例例1如图所示受均布载荷作用的简支梁。如图所示受均布载荷作用的简支梁。xMM1Mmax试求：试求：（1）11截面上1、2 两点的正应力。（2）此截面上的最大正应力。（3）全梁的最大正应力。（4）已知E=200GPa，求11截 面的曲率半径。解解（1 1）求支反力，画）求支反力，画M图并求截面弯矩图并求截面弯矩q=60kN/mAB1mL=3m11F FRARAF FRBRB12120180mm30mmzy5.3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力q=60kN/mAB1m2m11xMM1Mmax（2）求应力）求应力（3）求截面和全梁的最大应力）求截面和全梁的最大应力12120180mm30mmzy5.3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力q=60kN/mAB1m2m11xMM1Mmax（4）求截面的曲率半径）求截面的曲率半径12120180mm30mmzy5.3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力（1）如横截面为25a工字梁，求梁上的最大正应力（P353)。q=60kN/mAB1mL=3m11F FRARAF FRBRB例例2如图所示受均布载荷作用的简支梁。如图所示受均布载荷作用的简支梁。（2）如已知梁为钢制工字梁，=152 MPa求该梁的型号。（1）由型钢规格表查得25a号工字钢截面解解于是有（2）强度条件 要求：由型钢规格表查得28a号工字钢的Wz为5.3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力例例3解解 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。（1 1）求截面形心）求截面形心（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z zc c的惯性矩的惯性矩zcyzy1y25.3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力（3 3）作弯矩图）作弯矩图（4 4）强度校核）强度校核MMB截面截面5.3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力C截面截面MM梁满足强度条件梁满足强度条件将“T”改为“”是否合理？T脆性材料的最大正弯矩和最大负弯矩处比较。5.3 横力弯曲横力弯曲时的正的正应力力例题例题例题例题4 4 由由由由 n n 片薄片组成的梁，当每片薄片组成的梁，当每片薄片组成的梁，当每片薄片组成的梁，当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就片间的磨擦力甚小时，每一薄片就片间的磨擦力甚小时，每一薄片就片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，近似地认为每片上承担独立弯曲，近似地认为每片上承担独立弯曲，近似地认为每片上承担独立弯曲，近似地认为每片上承担的外力等于的外力等于的外力等于的外力等于zbFlh解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力解：每一薄片中的最大正应力zbFlh若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于