隐函数及参数方程确定

第 三 节 隐 函 数 的 导 数 及 由 参 数 方 程所 确 定 的 函 数 的 导 数一、由方程确定的隐函数的导数三、参数方程确定的函数的导数二、对数求导法 一 、 隐 函 数 的 导 数 . )( 0) ,F( 隐函数称为所确定的函数由方程xyyyx .)(显函数形式的函数称为xfy 0),( yxF )(xfy 隐函数的显化问 题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?隐 函 数 求 导 法 则 : 视 y=y(x) , 应用复合函数的求导法直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数. 例 1 . , )( 0 0 x yxdxdydxdy xyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解得求导方程两边对视 , ),( xxyy y解得, yx ex yedxdy ,0 , 0 yx时由原方程知000 yxyxx ex yedxdy .1dxdyx xe ye 0dxdy 例 2 . )23,23( ,3 33的切线方程及法线方程上点求过的方程为设曲线CxyyxC 解得求导方程两边对视 , , )( xxyy ,3333 22 yxyyyx )23,23(2 2)23,23( xy xyy .1于是，所求切线方程为, )23(23 xy . 03 yx即, 2323 xy法线方程为. xy 即注 本 例 中 的 方 程 形 为 F(x, y)=G(x, y), 其 确 定 的 y=y(x) 的 求 导 方 法 仍 然 是 .。 二 、 对 数 求 导 法利用隐函数求导法求显函数导数的方法。对 数 求 导 法 ： 先对 y=f(x)（0）两边取对数(或加绝对值后两边取对数), 然后利用隐函数的求导方法求出导数.适 用 范 围 : , )( )1( )(xvxu函数幂指型方、开方运算的函数。含有较多的乘、除、乘 )2( 例 3解 . , )0( sin yxxy x 求设等式两边取对数, 得, lnsinln xxy 得求导上式两边对 , x , 1sinlncos1 xxxxyy )1sinln(cos xxxxyy . )sinln(cos sin xxxxx x ? sin）（求出能否用问：xx显式求导法 例 4解 . )142)1(3 111()4( 1)1( 23 xxxex xxy x , |4|ln2|1|ln31|1|ln|ln xxxxy 得求导上式两边对 , x , 142)1(3 111 xxxyy . , )4( 1)1( 23 yex xxy x 求设等式两边取绝对值再取对数，得.) ) ,1()1 ,4()4 ,( , ),4()4,( 函数不恒正；上导数存在在 D 三 、 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 导 数 . , )( )( 参数方程所确定的函数称此函数为由此间的函数关系与可确定若xyty tx 例如 ,22ty tx 2xt , )2( , 22 xty 此参数方程确定的函数得.4)( 2xxyy 即消去参数 t问 题 : 消参数困难或无法消去参数时如何求导? );(I )( )( I )( 1 xtttxx txtxx xt 上有可导的反函数在对应的恒不为零单调、可导且在上若, I )( 上可导在又若ttyy dxdtdtdydxdyxy )( dtdxdtdy 1 ,)( )(tx ty )( )(tx tydtdxdtdydxdy ,I )( )( t ttyy txx 对且上可导在 , I )( )()( 1 xxyxtytyy : )( )( )( 的求导法确定xyytxx tyy 例 5解 )( )( tx tydxdy , cos1sin tttaa ta cossin2cos1 2sin 2 tdxdy .1 时的切线方程。在求摆线 2 )cos1( )sin( ttay ttax , ),12( , 2 ayaxt 时又当得 所求切线方程为 , )12( axay . )22( axy即 例 6解 .)( ;)( ,sin ,cos ,的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力 2 1 21 00 200 0tt gttvy tvx v xyo vxvyv0v. , , )1( 00可由切线的斜率来反映切线方向时刻的即轨迹在时刻的运动方向在tt )cos( )21sin()( )( 0 20 tv gttvtx tydxdy , cossin00 v gtv . cossin 0 000 v gtvdxdy tt 轴方向的分速度分别为、刻沿炮弹在 )2( 0 yxt 00 )cos( 0 ttttx tvdtdxv ; cos0 v 00 )21sin( 20 tttty gttvdtdyv , sin 00 gtv 时刻炮弹的速度为在 0t 22 yx vvv . sin2 2020020 tggtvv