隐函数存在定理

隐函数的概念 显函数: 因变量可由自变量的某一表达式来表示的函数. 例如, 隐函数: 自变量与因变量之间的对应关系是由某一个方程式所确定的函数. 例如, ,sin1 3 xy .22 yxz , 3/23/23/2 ayx .03333 xyzzyx 隐函数的一般定义: 设有一方程其中 若存在对任一 有唯一确定的 与之对应, 使得 满足上述方程, 则称由上述方程确定了一个定义在 值域含于 的隐函数. 如果把此隐函数记为,0),( yxF .,: RYRXRYXF , RJRI ,Ix Jy),( yx ,I J 则成立恒等式 注1. 隐函数不一定能化为显函数, 也不一定需要化为显函数. 上面把隐函数仍记为 这与它能否用显函数表示无关. 注2. 不是任一方程 都能确定隐函数. 例如, ,),( JyIxxfy .,0)(,( IxxfxF ),(xfy 0),( yxF.01 22 yx 注3. 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的取值范围. 例如, 由方程可确定如下两个隐函数 注4. 类似可定义多元隐函数. 例如, 由方程 确定的隐函数122 yx,1,0,1,1,1 2 yxxy .0,1,1,1,1 2 yxxy 0),( zyxF ).,( yxfz 隐函数存在性条件分析 当函数 满足怎样一些条件时, 由方程 能确定一个隐函数 并使该隐函数具有连续、可微等良好性质? (a) 把上述隐函数 看作曲面与坐标平面 的交线, 故至少要求该交集非空, 即存在 满足),( yxF0),( yxF ),(xfy )(xfy ),( yxFz 0z ),( 000 yxP .0),( 00 yxF (b) 为使 在 连续, 应要求在点 连续. (c) 为使 在 可导, 即曲线在点 存在切线, 而此切线是曲面在点 的切平面与 的交线, 故应要求 在点 可微, 且)(xfy 0 x ),( yxF0P )(xfy 0 x )(xfy ),( yxFz 0z),( yxF ).0,0(),(),( 0000 yxFyxF yx0P0P 0P 隐函数存在定理(单个方程情形) 定理1 设 满足下列条件: (i) 在 上连续; (ii) (iii)则 (1) 在 的某邻域 内, 由方程 唯一地确定了一个定义在 上的隐函数 满足),( yxFyx FF , byyaxxD |,|:| 00;0),( 00 yxF .0),( 00 yxFy ,00),( yxF ,( 0 x),(xfy ).( 00 xfy 0P )( 0PU)0 x 换句话说, 存在函数 定义在 上, 当 时, 有 且 (2) 在 上连续; (3) 在 上有连续的导数, 且),(xfy ),( 00 xx ),( 00 xxx),()(,( 0PUxfx ,0)(,( xfxF );( 00 xfy )(xfy ),( 00 xx)(xfy ),( 00 xx .),( ),()( yxF yxFxf yx 注1. 一方面, 定理1中的条件仅是存在隐函数的充分条件, 而非必要条件. 例如, 方程显然 但仍能确定唯一隐函数另一方面, 定理1中的条件又是非常重要的.例如, (双纽线), 在 同样不满足条件(iii), 而在该点无论,0),( 3 xyyxF,0)0,0( yF .31xy 0)(),( 22222 yxyxyxF)0,0( 多小的邻域内都不存在唯一的隐函数(见图). 注2. 必须注意, 定理1是一个局部性的隐函数存在定理. 例如, 从双纽线图形可以看出, 除了 三点以外, 曲线上其余各点处都存在局部隐函数 (这不难用定理1加以检验).)0,1(),0,1(),0,0( )(xfy 注3. 在方程 中, 与 的地位是平等的. 当条件(iii)改为 时, 将在点 的局部由方程 确定唯一的隐函数 定理1相应的全部结论均成立. 例1 方程 能否在原点的某邻域内确定隐函数 或0),( yxF x y 0),( 00 yxFx),( 000 yxP 0),( yxF),(ygx xyexy sincos )(xfy ?)(ygx 多元隐函数存在定理 定理2 设 满足下列条件: (i) 偏导数 和 在上连续, 其中 (ii) (iii) 则 ),( 21 yxxxF n ),2,1( niF ix yF byyniaxxD iii |),2,1(|:| )0()0( ;0,0 bai ;0),( )0()0()0(2)0(1 yxxxF n .0),( )0()0()0(2)0(1 yxxxF ny (1) 存在 的一个邻域使得在点 的某邻域内, 方程 唯一地确定一个定义在 的 元隐函数 满足换句话说, 存在函数),( )0()0(2)0(10 nxxxQ ),( 0QU),( )0()0()0(2)0(10 yxxxP n0),( 21 yxxxF n)( 0QU n ),( 21 nxxxfy ).,( )0()0(2)0(1)0( nxxxfy ),(),(),( 02121 QUxxxxxxfy nn 使得当 时, 有且 (2) 在 内连续; (3) 在 内有连续的偏导数, 且)(),( 021 QUxxx n ,0),(,( 2121 nn xxxfxxxF );,( )0()0(2)0(1)0( nxxxfy ),( 21 nxxxfy )( 0QU),( 21 nxxxfy )( 0QU .,2,1,),( ),( 21 21 niyxxxF yxxxFxf ny nxi i 例3 设 问方程是否能在原点 的某邻域唯一地确定一个定义在 的某邻域的可微函数 使得若能, 求,sin xyzz )0,0,0( ),( yxfz )0,0().,(),(sin yxxyfyxf ., yzxz 隐函数存在定理(方程组情形) 不失一般性, 我们先研究两个方程和四个变量的方程组在什么条件下可以确定 是 的函数并且 关于 有连续的偏导数. 0),( ,0),( vuyxG vuyxF vu, yx,),(),( yxvvyxuu vu, yx, 定理3 设函数 和 满足: (i) 在点 的某邻域 内, 和 对各变元有连续偏导数; (ii) (iii) ),( vuyxF ),( vuyxG),( 00000 vuyxP )( 0PU FG ,0)( 0 PF ;0)( 0 PG .0),( ),( 0 Pvu GFJ 则 (1) 在点 的某邻域 内, 方程组唯一地确定一组函数 它们定义在 的某邻域 内, 当时, 有 且满足0P )( 0PU 0),( ,0),( vuyxG vuyxF ),(),( yxvvyxuu ),( 00 yx D Dyx ),(,),( vuyx 和 (2) 和 在 内连续; (3) 和 在 内有关于 的连续偏导数, 且),(),( 000000 yxvvyxuu ;),(,0),(),(,( ,0),(),(,( DyxyxvyxuyxG yxvyxuyxF ),( yxu ),( yxv D),( yxu ),( yxv D yx, 例4 问在点 附近是否存在连续可微函数 和 满足 且,),( ),(1 vx GFJxu ,),( ),(1 vy GFJyu ,),( ),(1 xu GFJxv .),( ),(1 yu GFJyv )1,0(),( yxf ),( yxg ,1)1,0(,1)1,0( gf .0),(),( ,0),(),( 33 xyxyfyxg yyxxgyxf 解:设则 和 在点 的附近存在对各变元的连续偏导数, 且,),( ,),( 33 xyuvvuyxG yxvuvuyxF ,0)1,1,1,0(,0)1,1,1,0( GF )1,1,1,0( F G .031 0333),( ),( )1,1,1,0(22)1,1,1,0( vy xuvu GFJ 方程组情形的更一般情形 定理4 课本237页定理17.5 定理5 设 和 满足: (i) 在点 的某邻域 内, 对各变元有连续偏导数; (ii) (iii) ),( zyxF ),( zyxG),( 0000 zyxP )( 0PU,0)( 0 PF ;0)( 0 PG .0),( ),( 0 Pzy GFJ 则在 的某邻域内, 方程组 唯一地确定一组函数 它们定义在 的某邻域 内且在 内可微, 还满足当 时, 有0P 0),(,0),( zyxGzyxF ),(),( xgyxfz 0 x I I ),(),( 0000 xgyxfz Ix .0)(),(,(,0)(),(,( xgxfxGxgxfxF 例5 点 在方程 及 所表示的曲面上, 证明在这点的一个邻域内, 两曲面的交线能用形如 的一对方程表示, 并求 解: 令则有 显然, 在点)2,1,1( 5)( 222 zyx2)( 22 yzx )(),( xgyxfz ,dxdz .dxdy,2)(),( ,5)(),( 22 222 yzxzyxG zyxzyxF .0)2,1,1(,0)2,1,1( GF GF, 的任何邻域内有连续的偏导数, 且由隐函数组存在定理知, 在点 的某一邻域内可唯一确定隐函数组它们定义在 的某邻域内, 满足 和)2,1,1(0 P .0422 42)()( )()(),( ),( 00 000 PGPG PFPFzy GF zy zyP )2,1,1( ),(),( xgyxfz 1 0 x ,2)1( f,1)1( g .0)(),(,(,0)(),(,( xfxgxGxfxgxF 这表明两曲面的交线在点 附近能用形如 的一对方程表示. 方程组两边对 求导得解这个关于 和 的线性方程组得)2,1,1( )(),( xgyxfz x ,02)1)(2 ,0)22()(2 222 yyzzx zzyyxzyx y z , 2 2322 yx zxzxyzyy .2 222 x zyxzxz 反函数组 设有定义在平面点集 上的函数组 (a) 记 若对任意 都有唯一的点 使得(a)式成立, 这时可确定两个定义在 上的函数 (b)D ,),(),(),( Dyxyxvvyxuu .),(),(),(),(|),( DyxyxvyxuvuvuD ,),( Dvu ,),( Dyx D),(),( vuyyvuxx 在 上满足恒等式则称函数组(b)是函数组(a)的反函数组. 定理6 设函数组(a)满足: (i) 在 的某邻域 内对 有连续偏导数; (ii) D ),(),(),(),( vuyvuxvvvuyvuxuu ),( 000 yxP D yx,);,(),( 000000 yxvvyxuu (iii)则在 的某邻域 内存在唯一的一组反函数 满足当 时, 且.0),( ),( ),( 00 yxyx vu ),( 000 vuQ D),(),( vuyyvuxx ),(),( 000000 vuyyvuxx Dvu ),( ,),( Dyx );,(),(),(),( vuyvuxvvvuyvuxuu 且反函数 在 内存在连续的偏导数其中),(),( vuyyvuxx D,1 yvJux ,1 yuJvx ,1 xvJuy .1 xuJvy .),( ),( yx vuJ 例6 求下列函数组的反函数组的偏导数: 解:函数组分别关于 求偏导数得.cos,sin yxevyxeu xx u .sincos0 ,cossin1 uyyxyuxuxe uyyxyuxuxe xx 即解得.sin)cos(0 ,cos)sin(1 uyyxuxye uyyxuxye xx ,)cos(sin sinsincos cossin sin0 cos1 xyyxe yxyxye yxye yx yxux xxx 同理, 由函数组分别关于 求偏导数可求得 和.)cos(sin cossincos cossin 0cos 1sin xyyxe yeyxye yxye ye yeuy x xxx xx vvx .vy