闭区间上连续函数性质

2.6 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质1、 性 质 1 ( ) , , ( ) , f x a b f x a b若 在 上 连 续 则 在 上 有 界2、 性 质 2 ( ) , , ( ) , f x a b f x a b m M若 在 上 连 续 则 在 上 必 有 最 小 值 和 最 大 值1 2 1 2, , , ( ) , ( ) , , x x a b f x m f x M x a b 即 使 得 且 对 有( )m f x M 3、 性 质 3 零 点 存 在 定 理 （ 或 称 根 的 存 在 性 定 理 ） 0( ) , , ( ) ( ) 0, ( , ),f x a b f a f b x a b 若 在 上 连 续 且 有 则0( ) 0f x 使 得 【 2-6-1】 4、 性 质 4 （ 介 值 定 理 ）( ) , , , , , ,f x a b M m c a b 设 在 上 连 续 最 大 最 小 值 分 别 为 则 对0 0 , , ( )x a b f x c 使 得证 明 ： 1 2( ) , ( ) ,f x m f x M 设 则1 2 , ( ) ,x x f x若 则 为 常 量 函 数 结 论 显 然 成 立 1 2 1 2 1 2, , , , , , x x x x x x a b c a b 若 不 妨 设 则 对1 2, , c m c M x x a b 若 或 则 对 应 的 或, , ( , ), ( ) ( ) ,c m M c m M F x f x c 若 则 令 则 有1 2( ) 0, ( ) 0F x m c F x M c 0 1 2 0 0( , ) , , ( ) , ( )x x x a b F x c f x c 使 得 即 【 2-6-2】 5、 应 用 举 例例 1 1 2 1 2( ) ( , ) , : , ( , ), ,f x a b x x a b x x 设 在 内 连 续 证 明 对1 2 1 2 0 1 2( ) ( ), ( ), ( ), , ,f x f x c f x f x x x x 设 则 对0( )f x c使 得证 明 ： 1 2 1 2( ) ( , ) , , ( , ), , ( )f x a b x x a b x x f x 在 内 连 续 对 有 在1 2 1 2 , ( ) , ,x x f x x x M m内 连 续 ,因 而 在 上 有 最 大 最 小 值1 2 ( ), ( ) , f x f x m M且 有 1 2 ( ), ( ) , c f x f x c m M 0 1 2 0 , , ( )x x x f x c 依 介 值 定 理 知 使 得 【 2-6-3】 例 2 ( ) 0,1 , 0 ( ) 1, 0,1,f x f x x 设 在 上 连 续 且 满 足0 0 0: (0,1), ( )x f x x 证 明 使 得证 明 ： ( ) ( ) , ( ) 0,1 ,F x f x x F x 令 则 在 上 连 续 且 有(0) (0) 0, (1) (1) 1 0F f F f 0 0 0 0(0,1), ( ) 0, ( )x F x f x x 使 得 即例 3 22 ( 1,1)x x 证 明 方 程 在 内 必 有 实 根证 明 ： 2 1( ) 2 , ( ) 1,1 , ( 1) , (1) 12xf x x f x f f 令 则 在 上 连 续 且 有 0 20 0 0 0(0,1), ( ) 0, 2 ,xx f x x x 使 得 即 因 此 就 是 方 程 的 根【 2-6-4】 6、 反 函 数 连 续 性 定 理( ) , , ( ) , ,f x a b f x a b设 在 上 连 续 若 在 上 严 格 单 调 递 增( ) , ( ), ( )y f x a b x y x x 则 在 上 存 在 反 函 数 且 在 ( ), ( )f a f b 上 也 连 续 且 也 是 单 调 递 增 函 数对 于 单 调 递 减 函 数 也 有 类 似 的 结 论本 节 作 业 ： P53 40 41 【 2-6-5】