（江苏专用）高考数学大一轮复习 第六章 平面向量与复数 第33课 平面向量的概念与线性运算 文-人教版高三全册数学试题

第33课 平面向量的概念与线性运算(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P67练习4改编)化简：+=.【答案】0【解析】注意结果不是0，是零向量.2.(必修4P62习题5改编)判断下列四个命题：若ab，则a=b；若|a|=|b|，则a=b；若|a|b|，则ab；若ab，bc，则ac.其中正确的个数是.【答案】0【解析】对于，a与b的长度可能不相同，故错；对于，a与b的模相等，但方向不一定相同，故错；对于，向量不能比较大小，故错；对于，若b=0，则a与c不一定平行，故错.3.(必修4P57习题2改编)对于非零向量a，b，“ab”是“a+b=0”成立的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【解析】由a+b=0，可得a=-b，即得ab，但ab，不一定有a=-b，所以“ab”是“a+b=0”成立的必要不充分条件.4.(必修4P60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF中，+=.(第4题)【答案】【解析】因为=，所以+=+=.5.(必修4P68习题10改编)在ABC中，若|=|=|-|，则ABC的形状是.【答案】等边三角形【解析】由-=，知三角形的三边相等，所以ABC是等边三角形.1.向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的长度(或模).2.几个特殊的向量(1)零向量：长度为零的向量，记作0，其方向是任意的.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.3.向量的加法(1)运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是以公共点为起点的对角线所对应的向量.(2)运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，即由第一个向量的起点指向第二个向量的终点为和向量.4.向量的减法将两个已知向量平移到公共起点，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点的向量.注意方向指向被减向量.5.向量的数乘实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|=|a|.(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，a=0.注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算.6.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a.【要点导学】要点导学各个击破向量的线性运算例1如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，N是对角线AC上的点，且=3，设=a，=b，试用a，b分别表示.(例1)【思维引导】观察图形中线段AM，MN与AB，AD的关系即可.【解答】因为M是BC的中点，所以=b，所以=+=a+b.因为=3，所以=(a+b)，所以=-=-a+b.【精要点评】正确运用向量的加法和减法是解答本题的关键.变式1(2015北京卷)在ABC中，点M，N满足=2=.若=x+y，则x=，y=.【答案】-【解析】=+=+=+(-)=-.变式2(2015南京二模)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若=+(，R)，则+=.(变式2)【答案】【解析】因为O，E分别是AC，AO的中点，所以=+=+=+(-)=+.又=+=+(+)=(+)+，故+=.例2如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线.(例2)(1)设=，试将用，表示出来；(2)设=x=y，求证：+为定值.【解答】(1)=+=+=+(-)=(1-)+.(2)由(1)知=(1-)+=(1-)x+y，因为G是OAB的重心，所以=(+)=+.因为不共线，所以所以+=3(1-)+3=3.所以+为定值.变式在直角梯形ABCD中，A=90，B=30，AB=2，BC=2，点E在线段CD上，若=+，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由题意可求得AD=1，CD=，所以=2.因为点E在线段CD上，所以=(01).因为=+，又=+=+2=+，所以=1，即=.因为01，所以0.向量的平行和共线问题例3已知非零向量a和b不共线.(1)若=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线；(2)若ka+b和a+kb共线，求实数k的值.【思维引导】结合向量的线性运算先证明向量共线，进而证明三点共线.【解答】(1)因为=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，所以=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.所以与共线.又有公共点B，所以A，B，D三点共线.(2)因为ka+b与a+kb共线，所以存在实数，使得ka+b=(a+kb)，即ka+b=a+kb，所以(k-)a=(k-1)b.因为a，b是两个不共线的非零向量，所以k-=k-1=0，所以k2-1=0，所以k=1.经检验，k=1均符合题意.【精要点评】利用平面向量基本定理进行点共线和向量共线的相关运算时，如果已知点共线，则很容易得到向量共线；如果已知向量共线来证明点共线，必须找到这两个向量的公共点.变式1已知非零向量a和b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设tR，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，问：是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上?若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由.【解答】由题设知，=d-c=2b-3a，=e-c=(t-3)a+tb，因为C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k，即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为a，b不共线，所以有解得t=.故存在实数t=，使C，D，E三点在一条直线上.变式2在ABC中，已知=a，=b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足=+a+b，则动点P的轨迹为.(变式2)【答案】直线AD【解析】依题意，由=+a+b，得-=(a+b)，即=(+).如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于点M，则=，所以A，P，D三点共线，即点P的轨迹是AD所在的直线.1.下列命题中为真命题的是.(填序号)对任意两向量a，b，a-b与b-a是相反向量；在ABC中，+-=0；在四边形ABCD中，(+)-(+)=0；在ABC中，-=.【答案】【解析】是真命题，因为(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0，所以a-b与b-a是相反向量.是真命题，因为+-=-=0，所以命题成立.是假命题，因为+=+=，所以(+)-(+)=-=+0，所以该命题不成立.是假命题，因为-=+=，所以该命题不成立.2.(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，且=3，用表示为.【答案】=-+【解析】由题知=+=+=+(-)=-+.3.如图，若=，则=.(用表示)(第3题)【答案】-+【解析】=+=+=+(-)=-+.4.如图，在ABC中，|=|，延长CB到D，使，若=+，则-=.(第4题)【答案】3【解析】由题意可知，B是DC的中点，故=(+)，即=2-，所以=2，=-1，则-=3.5.如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示.(第5题)【解答】设=x，则=x，=+=e1-x，=e1-x，又=x，由+=，得x+e1-x=e2，解得x=e2-e1，即=e2-e1，由=-=e1-x，得=-e1+e2.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第6566页.【检测与评估】第六章平面向量与复数第33课平面向量的概念与线性运算一、 填空题 1.化简：(+)+=. 2.若向量a，b不共线，且a+mb与-(b-2a)共线，则实数m的值为. 3.在ABC中，M为BC边上一点，N为AM的中点，若=+，则+的值为. 4.在ABC中，点M，N满足=3=.若=x+y，则x+y=. 5.(2014苏锡常镇三模)已知平面内四点O，A，B，C满足=2，=3，那么=. 6.已知D，E，F分别是ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，给出下列命题：=-a-b；=a+b；=-a+b；+=0.其中正确的命题是.(填序号) 7.已知O是ABC所在平面内的一点，D为边BC的中点，且2+=0，则下列结论中正确的是.(填序号)=2；=； =3；2=. 8.在ABC中，D在线段BC上，=2.若=m+n，则=.二、 解答题 9.如图，四边形OADB为平行四边形，点C为对角线AB，OD的交点，向量=a，=b.又BM=BC，CN=CD，试用a，b表示.(第9题)10.设a，b是不共线的两个非零向量.(1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值；(3)设=ma，=nb，=a+b，其中m，n，均为实数，m0，n0，若M，P，N三点共线，求证：+=1.11.在OBC中，已知点A是BC的中点，D是OB上的点，且OD=2DB，DC和OA交于点E，设=a，=b.(1)用a，b表示向量；(2)若=，求实数的值.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知向量c=+，其中a，b均为非零向量，则|c|的取值范围是.13.在ABC所在平面上有一点P，使得+=，则点P的位置在 .【检测与评估答案】第六章平面向量与复数第33课平面向量的概念与线性运算1.【解析】原式=+=.2.-【解析】因为a+mb与-(b-2a)共线，所以存在实数(0)使得-(b-2a)=(a+mb)成立，即(2-)a=(m+1)b.因为向量a，b不共线，所以所以m=-.3.【解析】设=x+y，x+y=1.因为N为AM的中点，所以=x+y=+，所以+=(x+y)=.4.【解析】=+=+=+(-)=-，所以x=，y=-，x+y=.5. -5【解析】=(+)(-)=+-=(-+-)-=-=-2-3=-5.6. 【解析】=+=-=-a-b，=+=a+b，=(+)=-a+b，所以+=0.7. 【解析】因为D为边BC的中点，所以由2+=0，得+=-2=2，即2=2，所以=.8. 【解析】因为=+=+=2，所以=+=m+n，所以m=，n=，所以=.9. =+=+=+=+(-)=+=a+b，=(+)=a+b，=-=a-b.10. (1) 因为=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，而=-=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2，所以与共线.又与有公共点B，所以A，B，C三点共线.(2) 因为8a+kb与ka+2b共线，所以存在实数，使得8a+kb=(ka+2b)=ka+2b，从而解得=2，故k=2=4.(3) 因为M，P，N三点共线，所以存在实数，使得=，即-=(-)，所以=a+b，因为a，b不共线，所以所以+=+=1.11. (1) 如图，(第11题)=+=+2=+2(-)=2-=2a-b.=+=+2=+2-2=2-=2a-b.(2) 因为=，所以=-=-=a-b.又=+=2a-b-b=2a-b，因为，所以存在实数k，例得=k，所以a-b=k，即解得12.0，2【解析】与均为单位向量，当它们共线同向时，|c|取得最大值2；当它们共线反向时，|c|取得最小值0，故|c|的取值范围是0，2.13.线段AC的三等分点处(靠近点A)【解析】因为+=，所以+=-=+=，所以=-=2，所以与共线，又与有公共点P，所以A，P，C三点共线，故点P位于线段AC的三等分点处(靠近点A).