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第3课时定点、定值、探索性问题题型一定点问题例1(2016镇江模拟)已知椭圆1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点(1)解设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.椭圆的方程为y21.(2)证明由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由题意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，将代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mtb0)，焦点F(c,0)，因为，将点B(c，)的坐标代入方程得1.由结合a2b2c2，得a，b1.故所求椭圆方程为y21.(2)由得(2t2)y22ty220.因为l为切线，所以(2t)24(t22)(22)0，即t2220.设圆与x轴的交点为T(x0,0)，则(x0，y1)，(x0，y2)因为MN为圆的直径，故x2y1y20.当t0时，不符合题意，故t0.因为y1，y2，所以y1y2，代入结合得，要使上式为零，当且仅当x1，解得x01.所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(1,0)与(1,0)，即椭圆的两个焦点题型二定值问题例2如图，已知椭圆C：1，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A(点A在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线yx上(1)求直线AB的方程；(2)若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线yx于点M，N，证明：OMON为定值(1)解首先B(0，2)设E(，)，则A(2，22)把A的坐标代入椭圆方程，得(1)21，即220.则(0舍去)，得A(3，1)由kAB，得直线AB的方程为yx2，即x3y60.(2)证明设M(m，m)，N(n，n)，P(x0，y0)，则x3y12.由A，P，M共线，即，得(x03)(m1)(y01)(m3)，则m.由B，P，N共线，即，得x0(n2)(y02)n，则n.所以mn3.从而OMON|m|n|6为定值思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得(2016大庆第二次教学质量检测)已知椭圆C：1(ab0)的离心率是，其左，右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，A1BA2的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：x2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，求证：DEDF为定值(1)解由已知，可得解得a2，b.故所求椭圆方程为1.(2)证明由题意可得A1(2,0)，A2(2,0)设P(x0，y0)，由题意可得2x0b0)的左，右焦点分别为F1，F2，右顶点，上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab.(1)若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；(2)若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q.试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由解(1)由题意，得点A(a,0)，B(0，b)，直线AB的方程为1，即bxayab0.由题设，得ab，化简得a2b21.e，即a23b2.由，解得椭圆C的方程为4y21.(2)点F1在以PQ为直径的圆上由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，由得(b2a2k2)x22ka2xa2a2b20，(*)则(2ka2)24(b2a2k2)(a2a2b2)0，化简得1b2a2k20，k21，点P在第二象限，k1.把k1代入方程(*)，得x22a2xa40，解得xa2，从而yb2，P(a2，b2)从而直线PF2的方程为yb2(xa2)，令x0，得y，Q(0，)从而(a2c，b2)，(c，)，又a2b21，a2b2c2，从而c(a2c)0，0.点F1在以PQ为直径的圆上20设而不求，整体代换典例(16分)椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k20，证明为定值，并求出这个定值思想方法指导对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值规范解答解(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y.由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.4分(2)设P(x0，y0)(y00)，又F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x(x0)yy00，lPF2：y0x(x0)yy00.由题意知 .由于点P在椭圆上，所以y1.所以.8分因为m，2x02，可得，所以mx0，因此mb0)的离心率为，且过点A(0，1)(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点求证：直线MN恒过定点P(0，)(1)解由题意知，e，b1，所以a2c21，解得a2，所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明设直线l1的方程为ykx1.联立方程组得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xM，yM.同理可得xN，yN.则kMP，kNP，所以kMPkNP，故直线MN恒过定点P(0，)2(2016云南师范大学附属中学月考)已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于，且过点(1，)(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若1，2，求证：12为定值(1)解设椭圆C的方程为1(ab0)，a25，b21，椭圆C的标准方程为y21.(2)证明设点A，B，M的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，点F的坐标为(2,0)显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是yk(x2)，联立得(15k2)x220k2x20k250，x1x2，x1x2.又1，2，将各点坐标代入，得1，2，1210.故12为定值3椭圆E：1(ab0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点(1)求椭圆E的标准方程；(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值(1)解因为e，所以ca，a2b2(a)2.又椭圆过点(，)，所以1.由，解得a26，b24，所以椭圆E的标准方程为1.(2)证明设直线l：ykx1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，联立得(3k22)x26kx90.x1x2，x1x2，易知B(0，2)，故kBCkBDk2k23k(3k22)2.所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值4(2017江苏命题专家原创)已知椭圆C：1 (ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆C过点M(0，)，且MF1F2为正三角形(1)求椭圆C的方程；(2)垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，过点P(4，0)的直线PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点(1)解椭圆C过点M(0，)，b，又MF1F2为正三角形，且MF1MF2a，a2，ca1，椭圆C的方程为1.(2)证明由题意知，直线PB的斜率存在，且过点P(4,0)设直线PB的方程为yk(x4)，B(x1，y1)，E(x2，y2)，则A(x1，y1)由得(34k2)x232k2x64k2120，则x1x2，x1x2，直线AE的方程为yy2(xx2)，令y0，得xx2，将y1k(x14)，y2k(x24)，代入式，得x，将式代入式，整理得x1.直线AE与x轴相交于定点(1,0) 5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x324y204(1)求C1，C2的标准方程；(2)是否存在直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同的两点M，N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)设抛物线C2：y22px(p0)，则有2p(x0)，据此验证四个点知(3，2)，(4,4)在C2上，易求得C2的标准方程为y24x.设椭圆C1：1(ab0)，把点(2,0)，(，)代入得解得所以C1的标准方程为y21.(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2.所以y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k21，由，即0，得x1x2y1y20.(*)将代入(*)式，得0，解得k2，所以存在直线l满足条件，且直线l的方程为2xy20或2xy20.
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