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回扣7解析几何1直线方程的五种形式(1)点斜式：yy1k(xx1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)(2)斜截式：ykxb(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)(3)两点式：(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)(4)截距式：1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a0，b0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)(5)一般式：AxByC0(其中A，B不同时为0)2直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1l2k1k2.(2)两直线垂直l1l2k1k21.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略3三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离AB.(2)点到直线的距离d(其中点P(x0，y0)，直线方程为AxByC0)(3)两平行线间的距离d(其中两平行线方程分别为l1：AxByC10，l2：AxByC20)提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等4圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)5直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法；(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法6直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断弦长公式：AB|x1x2|y1y2|.7圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义PF1PF22a(2aF1F2)|PF1PF2|2a(2aF1F2)PFPM，点F不在直线l上，PMl于M标准方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e(0e1)e(e1)e1准线xx渐近线yx8.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断弦长公式：AB|x1x2|y1y2|.9解决范围、最值问题的常用解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域10定点问题的思路(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点11求解定值问题的两大途径(1)(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值12解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论1不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错2易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为yy0k(xx0)等3讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合5求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解6在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件7易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解8利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2aF1F2.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支9易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误10已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式0的限制尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“0”下进行1抛物线y2x2的焦点坐标为_答案解析抛物线y2x2，即为x2y，故焦点坐标为.2(2017江苏泰州中学模拟)若双曲线x21的焦点到渐近线的距离为2，则实数k的值是_答案8解析双曲线的一条渐近线方程为yx，一个焦点坐标为(，0)，由题意得2，解得k8.3直线3x4y50与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长为_答案2解析由于圆x2y24的圆心为O(0,0)，半径r2，而圆心O(0,0)到直线3x4y50的距离d1，AB222.4若椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成53两段，则此椭圆的离心率为_答案解析，c2b，又a2b2c2，5c24a2，e.5(2017江苏江阴中学检测)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是_答案(，1)解析设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为3，此时k，所以满足条件的直线l的斜率的取值范围是(，1).6已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB2，则CD_.答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R2，AB2，所以OM3，解得m，由解得A(3，)，B(0,2)，则AC的直线方程为y(x3)，BD的直线方程为y2x，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以CD4.7已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为_答案解析设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，e.8(2017江苏天一中学质检)若第一象限内的动点P(x，y)满足1，Rxy，则以P为圆心、R为半径且面积最小的圆的方程为_答案(x3)22解析因为点P(x，y)在第一象限，所以x0，y0.又因为1，Rxy，所以1，即x2y32xy，所以2xyx2y323,2xy230，即(1)(3)0，解得xy，当且仅当即x3，y时取等号当xy最小，即R最小时，圆的面积最小此时圆心P，半径R，所求圆的方程为(x3)22.9已知函数yf(x)ax12(a0且a1)的图象恒过定点A，设抛物线E：y24x上任意一点M到准线l的距离为d，则dMA的最小值为_答案解析当x10时，y1，故A(1，1)，设抛物线的焦点为F(1,0)，由抛物线的定义可知，dMA的最小值为AF.10在平面直角坐标系xOy中，设椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为y2，且经过点(1,0)(1)求椭圆T的方程；(2)设四边形ABCD是矩形，且四条边都与椭圆T相切求证：满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上(1)解因为椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为y2，所以椭圆T的焦点在y轴上，于是可设椭圆T的方程为1(ab0)因为椭圆T经过点(1,0)，所以解得故椭圆T的方程为x21.(2)证明由题意知，矩形ABCD是椭圆x21的外切矩形(i)若矩形ABCD的边与坐标轴不平行，则可设一组对边所在直线的方程为ykxm(k0)，则由消去y，得(k22)x22kmxm220，于是4k2m24(k22)(m22)0，化简得m.所以矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为ykx，即ykx.同理，另一组对边所在直线的方程为kyx，于是矩形的顶点坐标(x，y)满足(ykx)2(kyx)2(k22)(12k2)，即(1k2)(x2y2)3(1k2)，亦即x2y23.(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴平行，则四个顶点(1，)显然满足x2y23.故满足条件的所有矩形的顶点在定圆x2y23上
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