高等数学高斯公式

高 斯 公 式物 理 意 义 -通 量 与 散 度小 结 思 考 题 作 业 flux divergence第 六 节 高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 高 斯 Gauss,K .F. (17771855) 德 国 数 学 家 、 物 理 学 家 、 天 文 学 家 格 林 公 式 把 平 面 上 的 闭 曲 线 积 分 与本 节 的 高 斯 公 式 表 达 了 空 间 闭 曲 面上 的 曲 面 积 分 与 曲 面 所 围 空 间 区 域 上 的它 有 明 确 的 物 理 背 景 三 重 积 分 的 关 系 .所 围 区 域 的 二 重 积 分 联 系 起 来 . 通 量 与 散 度 .高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 一 、 高 斯 公 式vzRyQxP d)( ,围 成由 分 片 光 滑 的 闭 曲 面设 空 间 闭 区 域 上在、函 数 ),(),(),( zyxRzyxQzyxP SRQP d)coscoscos( yxRxzQzyP dddddd高 斯 公 式 称 为 奥 高 公 式 ,或 奥 斯 特 洛 格 拉 斯 基公 式 .(俄 )1801 1861具 有 则 有 公 式一 阶 连 续 偏 导 数 ,或 高 斯 公 式的 整 个 边 界 曲 面 的是这 里 ,cos,cos .),(cos 处 的 法 向 量 的 方 向 余 弦上 点是 zyx 外 侧 , 高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 证 明 思 路 vzRyQxP d)( yxRxzQzyP dddddd 分 别 证 明 以 下 三 式 ,从 而 完 成 定 理 证 明 . yxzyxRvzR dd),(d zyzyxPvxP dd),(d xzzyxQvyQ dd),(d只 证 其 中 第 三 式 ,其 它 两 式 可 完 全 类 似 地 证 明 .高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 x yzO证 ),(: 22 yxzz :3 xyDyxyxzzyxz ),(),(),(: 21 设 空 间 区 域 母 线 平 行 于 z轴 的 柱 面 .),(: 11 yxzz vzRyQxP d)( yxRxzQzyP dddddd即 边 界 面 321 , 由三 部 分 组 成 : xyDxoy面 上 的 投 影 域 为在 xyD(取 下 侧 )(取 上 侧 )(取 外 侧 ) nn柱 面坐 标 轴的 边 界 曲 面 与 任 一 平 行假 设 域 .的 直 线 至 多 相 交 于 两 点高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 n x yzO xyD nnn由 三 重 积 分 的 计 算 法 xyD yxyxzyxRyxzyxR dd),(,),(, 12 vzRd ),( ),(21 dyxz yxz zzR yxxyD dd yxzyxRxyD yxz yxz dd),( ),( ),(21 yxzyxRvzR dd),(d投 影 法 (先 一 后 二 法 )高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 x yzOxyD nnn 由 曲 面 积 分 的 计 算 法 yxzyxR dd),( 1 取 下 侧 , 2 取 上 侧 , 3 取 外 侧xyD yxyxzyxR dd),(, 1 yxzyxR dd),( yxzyxR dd),( xyD yxyxzyxR dd),(, 2012 3 ),(: 22 yxzz ),(: 11 yxzz yxzyxRvzR dd),(d yxzyxR dd),(321 yxzyxR dd),( 一 投 ,二 代 ,三 定 号高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 xyD yxyxzyxRyxzyxR dd),(,),(, 12 yxzyxR dd),( yxzyxRvzR dd),(d于 是 xyD yxyxzyxRyxzyxR dd),(,),(, 12 vzRd高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 zyzyxPvxP dd),(d同 理 xzzyxQvyQ dd),(d vzRyQxP d)(合 并 以 上 三 式 得 自己证 yxzyxRvzR dd),(d 高 斯 公 式 yxRxzQzyP dddddd高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度若 区 域 的 边 界 曲 面 与 任 一 平 行 于 坐 标 轴的 直 线 的 交 点 多 于 两 点 时 ,可 以 引 进 几 张 辅 助 的曲 面 把 分 为 有 限 个 闭 区 域 , 使 得 每 个 闭 区 域 满足 假 设 条 件 ,并 注 意 到 沿 辅 助 曲 面 相 反 两 侧 的 两个 曲 面 积 分 的 绝 对 值 相 等 而 符 号 相 反 ,相 加 时 正好 抵 消 . 因 此 ,高 斯 公 式 对 这 样 的 闭 区 域 仍 是 正确 的 . vzRyQxP d)( 由 两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 系 知 SRQP d)coscoscos(高 斯 公 式 为 计 算 (闭 )曲 面 积 分 提 供 了它 能 简 化 曲 面 积 分 的 计 算 .一 个 新 途 径 ,表 达 了 空 间 闭 区 域 上 的 三 重 积 分 与 其边 界 曲 面 上 的 曲 面 积 分 之 间 的 关 系 .高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度高 斯 Gauss公 式 的 实 质 x yz O解 333 , zRyQxP zyxzyxI ddd)(3 222 dddsin3 22 rrr ,3 2xxP rrR dsindd3 20 0 0 4 球 例 ,dddddd 333 yxzxzyzyxI计 算 的为 球 面 2222 Rzyx ,3 2yyQ 23zzR 5512 R外 侧 . yxRxzQzyP dddddd vzRyQxP d)( 因 是 闭 曲 面 ,可利 用 高 斯 公 式 计 算 . 高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 使 用 Guass公 式 时 易 出 的 差 错 :(1) 搞 不 清 是 对 什 么 变 量 求 偏 导 ;RQP ,(2) 不 满 足 高 斯 公 式 的 条 件 , 用 公 式 计 算 ;(3) 忽 略 了 的 取 向 ,注 意 是 取 闭 曲 面 的外 侧 . vzRyQxP d)( 高 斯 公 式 yxRxzQzyP dddddd高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 有 时 可 作辅 助 面 , (将 辅 助 面 上 的 积 分 减 去 ).化 为 闭 曲 面 的 曲 面 积 分 , 然 后 利 用高 斯 公 式 .对 有 的 非 闭 曲 面 的 曲 面 积 分 ,高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 coscoscos 、 ,d)coscoscos( 222 Szyx )0(0222 hhzzzyx 及介 于 平 面锥 面例 计 算 曲 面 积 分 之 间下 侧 .的 法 向 量 的 方 向 余 弦 . 处在是 ),( zyx 为其 中 高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度部 分 的解 空 间 曲 面 在 xOy面 上 的,xyD 曲 面 不 是 为 利 用 高 斯 公 式 .投 影 域 为 x yz O nxyD h)(,: 2221 hyxhz ,1取 上 侧 1 .1 围 成 空 间 区 域 上在 补 构 成 封 闭 曲 面 ,使 用 高 斯 公 式 .封 闭 曲 面 , 1 n )ddd(2 vzvyvx vzyx d)(2 由 对 称 性Szyx d)coscoscos( 2221 0,),( 222 hzzyxzyx zD yxdd zzzh d2 20 vzd2 zzh d2 0 3 42 h 00 SRQP vzRyQxP d)coscoscos( d)( zzh d2 0高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 1 n nx yz Oh xyD先二后一法 1 d)coscoscos( 222 Szyx xyD yxh dd2 4h故 所 求 积 分 为 Szyx d)coscoscos( 222 .21 4h 1cos,0cos,0cos 1 d2 Sz )(,: 2221 hyxhz 11 4421 hh 高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 1 n n x yz Oh xyD4211 h yxyxS dddd001d 利 用 高 斯 公 式 计 算 三 重 积 分vzxyzxyI d)( 提 示 zRyQxP ,由 于 ,0 QP则 zxyzxyzR 22 2121 xzyzxyzR ,的 边 界 面 取 以 及是 由 平 面其 中 1,0,0,0 zzyx .122 围 在 第 一 挂 限 内 的 立 体圆 柱 面 yx高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 考 虑 到选 取 相 当 自 由 ， vzxyzxyI d)( 由 高 斯 公 式 外 yxzyxxyz dd)(21 2)(外的 侧 面由 ),(0:1 下底 面 z 故 10 220 d)cos(sin21cossind .2411 )( 轴 的 柱 面母 线 平 行 于 z ,)(1:2 构 成上和 上 面 z1 )(21 yx 21 yxddI 极 坐 标 ,0 QP 22 2121 xzyzxyzR xyD xy 高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 被 积 函 数 中 有 抽 象 函 数 ,故 无 法 直 接 计 算 . 如 直 接 计 算分 析 用 高 斯 公 式 .例 ,dd1dd1dd 333 yxzzyfyxzyzyfzzyxI 是 锥 面 22 zyx 4222 zyx 所 围 立 体 的 表 面 1222 zyx计 算 设 f(u)是 有 连 续 的 导 数 ,计 算和 球 面 及外 侧 .高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 xyzO 解 由 于 ,3xP ,3 2xxP ,31 22 yzyfzyQ 22 31 zzyfzzR 故 由 高 斯 公 式 vzyxI d)(3 222 dddsin3 4 rr rr d21 4).22(593 40 dsin = 20 d3 球 ,1 3yzyfzQ ,1 3zzyfyR 高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 xyzO x yzO解 (如 图 )221 xzy yxyzxzyzyxyI dd4dd)1(2dd)18( 2 )31(0 1 yx yz是 曲 线其 中 .2恒 大 于 计 算 曲 面 积 分 绕 y轴 旋 转 曲 面 方 程 为一 周 所 成 的 曲 面 , 它 的 法 向 量 与 y轴 正 向 的 夹 角 0 1x yz 绕 y轴 旋 转高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 n x yzOzyxzRyQxP ddd1 zyxyyy ddd)4418( yxyzxzyzyxyI dd4dd)1(2dd)18( 2 欲 求 vd:1补 取 右 侧 . 11 I 221 xzy 有 nn,3y 高 斯 公 式 312020 2 ddd y xzD xz yzx 31 22 ddd 222 )2(: zxDzx 柱坐标高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 20 3 d)2(2 .2 32 )32(2 34 yxyzxzyzyxyI dd4dd)1(2dd)18(1 2 求 ,3:1 y补 取 右 侧1 zxD xzdd16 2)2(16 2 222 )2(: zxDzx0 0zxD xzdd)1( 23故高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 21 11 I 1. 通 量为 向 量 场 设 有 一 向 量 场 kzyxRjzyxQizyxPA ),(),(),( 则 称 沿 场 中 有 向 曲 面 某 一 侧 的 曲 面 积 分 :通 量 . flux divergence穿 过 曲 面 这 一 侧 的),( zyxA高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度二 、 物 理 意 义 通 量 与 散 度上 式 即 为 通 量 的 计 算 公 式 yxRxzQzyP dddddd 2.散 度设 有 向 量 场 ),( zyxA 为 场 中 任 一 点 ,),( zyxP在 P点 的 某 邻 域 内 作 一 包 含 P点 在 其 内 的 闭 曲 面, 它 所 围 成 的 小 区 域 及 其 体 积 记 为 ,V 以表 示 从 内 穿 出 的 通 量 ,若 当 ,0V V即缩 成 P点 时 , 极 限 VV 0lim 0limV Pdydz Qdzdx RdxdyV 高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度记 为 ,div A 散 度 .存 在 ,则 该 极 限 值 就 称 为 向 量 场 在 P点 处 的A即 Adiv 0limV Pdydz Qdzdx RdxdyV 散 度 的 计 算 公 式 kzyxRjzyxQizyxPA ),(),(),( 设 RQP , 均 可 导 , ),( zyxA在则 点 处 的 散 度 为zRyQxPA div vzRyQxP d)( 高 斯 公 式 yxRxzQzyP ddddddAdiv .的 边 界 曲 面是 空 间 闭 区 域其 中 散 度 ： 单 位 时 间 单 位 体 积 内 所 产 生 的 流 体 质 量 的 平均 值 。 例 向 量 场 kzxjyeixyA z )1ln( 22 ).(div)0,1,1( AP 的 散 度在 点解 ,),( 2xyzyxP ,),( zyezyxQ )1ln(),( 2zxzyxR PxP PyQ PzR Adiv 2)( PzRyQxP ,12 Py 2 ,1Pze012 2 Pzxz zRyQxPA div高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 设 函 数 ,ln 222 zyxu ).()grad(div u则 222 1 zyx 解 222ln zyxu )ln(21 222 zyx 先 求 梯 度 .gradu222 zyx xxu 222 zyx yyu 222 zyx zzu 222222222grad zyx kzzyx jyzyx ixu 高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 再 求 ugrad 的 散 度 .,222 zyx xP ,222 zyx yQ 222 zyx zR ,)( 2222 222 zyx xzyxP ,)( 2222 222 zyx yzxyQ 2222 222 )( zyx zyxzR 222 1)grad(div zyxu 故高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度 222222222grad zyx kzzyx jyzyx ixu 设 函 数 ,ln 222 zyxu ).()grad(div u则 高 斯 Gauss公 式物 理 意 义 -通 量 与 散 度高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度三 、 小 结表 达 了 空 间 闭 区 域 上 的 三 重 积 分 与 其边 界 曲 面 上 的 曲 面 积 分 之 间 的 关 系 .高 斯 Gauss公 式 的 实 质(注 意 使 用 的 条 件 ) 思 考 题曲 面 应 满 足 什 么 条 件 才 能 使 高 斯 公 式 成 立 ？高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度解 答曲 面 应 是 分 片 光 滑 的 闭 曲 面 . 作 业习 题 11-6 (236页 ) 1.(1) (3) (5)高 斯 (Gauss)公 式 通 量 与 散 度