线性回归方程的求法

必 修 3(第 二 章 统 计 )知 识 结 构 收 集 数 据 (随 机 抽 样 ) 整 理 、 分 析 数 据估 计 、 推 断简单随机抽样 分层抽样 系统抽样 用 样 本 估 计 总 体 变 量 间 的 相 关 关 系 用 样 本的 频 率分 布 估计 总 体分 布 用 样 本数 字 特征 估 计总 体 数字 特 征 线性回归分析 统 计 的 基 本 思 想y=f(x) y=f(x) y=f(x) 实 际 样 本模 拟抽 样分 析 两 个 变 量 的 关 系 不 相 关相 关关 系函 数 关 系 线 性 相 关非 线 性 相 关现 实 生 活 中 两 个 变 量 间 的 关 系 有 哪 些 呢 ？ 思 考 ： 相 关 关 系 与 函 数 关 系 有 怎 样 的 不 同 ？函 数 关 系 中 的 两 个 变 量 间 是 一 种 确 定 性 关 系相 关 关 系 是 一 种 非 确 定 性 关 系 函 数 关 系 是 一 种 理 想 的 关 系 模 型 相 关 关 系 在 现 实 生 活 中 大 量 存 在 ， 是 更 一般 的 情 况 自 变 量 取 值 一 定 时 ， 因 变 量 的 取 值 带 有 一定 随 机 性 的 两 个 变 量 之 间 的 关 系 叫 做 相 关 关 系 。1、 定 义 ： 1） ： 相 关 关 系 是 一 种 不 确 定 性 关 系 ；注 对 具 有 相 关 关 系 的 两 个 变 量 进 行统 计 分 析 的 方 法 叫 回 归 分 析 。2） ： 2、 现 实 生 活 中 存 在 着 大 量 的 相 关 关 系 。探 索 ： 水 稻 产 量 y与 施 肥 量 x之 间 大 致 有 何规 律 ？ 10 20 30 40 50500450400350300 发 现 ： 图 中 各 点 ， 大 致 分 布 在 某 条 直 线 附 近 。探 索 2： 在 这 些 点 附 近 可 画 直 线 不 止 一 条 ， 哪 条 直 线 最 能 代 表 x与 y之 间 的 关 系 呢 ？xy 施 化 肥 量水 稻 产 量施 化 肥 量 x 15 20 25 30 35 40 45水 稻 产 量 y 330 345 365 405 445 450 455散 点 图 10 20 30 40 50500450400350300 xy 施 化 肥 量水 稻 产 量n 2i ii=1Q(a,b)= (y -bx -a) 取 最 小 值 时 ,a,b的 值 .i i(x ,y )ii(x ,y ) |ii|y -y 怎 样 求 回 归 直 线 ？ 最 小 二 乘 法 ： y=bx+a (x,y) 称 为 样 本 点 的 中 心 。 n (x -x)(y -y)i ii=1b= n 2(x -x)ii=1a=y-bx. n n1 1其 中 x = x ,y = y .i in ni=1 i=1n i ii=1n 22ii=1x y -nxy= ,x -nx （ 3） 对 两 个 变 量 进 行 的 线 性 分 析 叫 做 线 性 回 归 分 析 。2、 回 归 直 线 方 程 ： n ni i i ii=1 i=1n n 22 2i ii=1 i=1(x - x)(y - y) x - nxyb = = ,(x - x) x - nxa = y - bx y（ 2） 相 应 的 直 线 叫 做 回 归 直 线 。（ 1） 所 求 直 线 方 程 叫 做 回 归 直 线 方 程 ； 其 中 y=bx+a（ 注 意 回 归 直 线 一 定 经 过 样 本 点 的 中 心 ） 例 1 假 设 关 于 某 设 备 的 使 用 年 限 x和 所 有 支 出 的 维 修 费 用 y(万元 )有 如 下 的 统 计 数 据 ：x 2 3 4 5 6Y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若 由 此 资 料 所 知 y对 x呈 线 性 相 关 关 系 ， 试 求 ：回 归 直 线 方 程1.估 计 使 用 年 限 为 10年 时 ， 维 修 费 用 是 多 少 ？解 题 步 骤 ：作 散 点 图2.把 数 据 列 表 ， 计 算 相 应 的 值 ， 求 出 回 归 系 数3.写 出 回 归 方 程 ,并 按 要 求 进 行 预 测 说 明 。 例 2 （ 2007年 广 东 ） 下 表 提 供 了 某 厂 节 能 降 耗 技 术 改 造 后 生 产甲 产 品 过 程 中 记 录 的 产 量 x（ 吨 ） 与 相 应 的 生 产 能 耗 y (吨 标 准煤 )的 几 组 对 应 数 据 。X 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5请 画 出 上 表 数 据 的 散 点 图请 根 据 上 表 提 供 的 数 据 ， 用 最 小 二 乘 法 求 出 y关 于 x的 性 回 归 方 程 y bx a (3)已 知 该 厂 技 改 前 100吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 为 90吨 标 准 煤 ， 试 根 据 （ 2） 求 出 的 线 性 回 归 方 程 ， 预 测 生 产 100 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 比 技 改 前 降 低 多 少 吨 标 准 煤 ？（ 参 考 数 值 ： 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5 ） 小 结 ： 求 回 归 直 线 方 程 的 步 骤 n n i i i ii=1 i=1n n 22 2i ii=1 i=1(x - x)(y - y) x - nxyb = = ,(x - x) x - nxa = y - bx y（ 2） 所 求 直 线 方 程 叫 做 回 归 直 线 方 程 ； 其 中 y=bx+a（ 1） 作 散 点 图 ， 通 过 图 看 出 样 本 点 是 否 呈 条 状 分 布 ， 进 而 判 断 两 个 量 是 否 具 有 线 性 相 关 关 系 。（ 3） 根 据 回 归 方 程 ， 并 按 要 求 进 行 预 测 说 明 。 相 关 系 数 1.计 算 公 式 2 相 关 系 数 的 性 质 (1)|r| 1 (2)|r|越 接 近 于 1， 相 关 程 度 越 大 ； |r|越 接近 于 0， 相 关 程 度 越 小 问 题 ： 达 到 怎 样 程 度 ， x、 y线 性 相 关 呢 ？ 它们 的 相 关 程 度 怎 样 呢 ？ n i ii=1n n2 2i ii=1 i=1(x - x)(y - y)r = (x - x) (y - y) 负 相 关 正 相 关 n (x -x)(y -y)i ii=1r= n n2 2(x -x) (y -y)i ii=1 i=1相 关 系 数 正 相 关 ； 负 相 关 通 常 ， r -1,-0.75-负 相 关 很 强 ; r 0.75,1正 相 关 很 强 ; r -0.75,-0.3-负 相 关 一 般 ; r 0.3, 0.75正 相 关 一 般 ; r -0.25, 0.25-相 关 性 较 弱 ; 第 一 章 统 计 案 例1.1回 归 分 析 的 基 本 思 想 及 其 初 步 应 用（ 第 二 课 时 ） a. 比 数 学 3 中 “ 回 归 ” 增 加 的 内容数 学 统 计 画 散 点 图 了 解 最 小 二 乘 法的 思 想 求 回 归 直 线 方 程y bx a1. 用 回 归 直 线 方 程解 决 应 用 问 题 选 修 - 统 计 案 例 引 入 线 性 回 归 模 型y bx a e 了 解 模 型 中 随 机 误 差 项 e产生 的 原 因 了 解 相 关 指 数 R2 和 模 型 拟合 的 效 果 之 间 的 关 系 了 解 残 差 图 的 作 用 利 用 线 性 回 归 模 型 解 决 一 类非 线 性 回 归 问 题5. 正 确 理 解 分 析 方 法 与 结 果 什 么 是 回 归 分 析 ：“回 归 ” 一 词 是 由 英 国 生 物 学 家 F.Galton在 研 究 人 体 身 高 的 遗 传 问 题 时 首 先 提 出 的 。 根 据 遗 传 学 的 观 点 ， 子 辈 的 身 高 受 父 辈 影 响 ， 以 X记 父 辈 身 高 ， Y记 子 辈 身 高 。虽 然 子 辈 身 高 一 般 受 父 辈 影 响 ， 但 同 样 身 高 的 父 亲 ， 其 子 身 高 并 不 一 致 ， 因 此 ，X和 Y之 间 存 在 一 种 相 关 关 系 。 一 般 而 言 ， 父 辈 身 高 者 ， 其 子 辈 身 高 也 高 ， 依 此 推 论 ， 祖 祖 辈 辈 遗 传 下 来 ， 身高 必 然 向 两 极 分 化 ， 而 事 实 上 并 非 如 此 ， 显 然 有 一 种 力 量 将 身 高 拉 向 中 心 ， 即 子 辈的 身 高 有 向 中 心 回 归 的 特 点 。 “ 回 归 ” 一 词 即 源 于 此 。 虽 然 这 种 向 中 心 回 归 的 现 象 只 是 特 定 领 域 里 的 结 论 ， 并 不 具 有 普 遍 性 ， 但 从 它所 描 述 的 关 于 X为 自 变 量 ， Y为 不 确 定 的 因 变 量 这 种 变 量 间 的 关 系 看 ， 和 我 们 现 在 的回 归 含 义 是 相 同 的 。 不 过 ， 现 代 回 归 分 析 虽 然 沿 用 了 “ 回 归 ” 一 词 ， 但 内 容 已 有 很 大 变 化 ， 它 是 一 种 应 用于 许 多 领 域 的 广 泛 的 分 析 研 究 方 法 ， 在 经 济 理 论 研 究 和 实 证 研 究 中 也 发 挥 着 重 要 作 用 。 回 归 分 析 的 内 容 与 步 骤 ：统 计 检 验 通 过 后 ， 最 后 是 利 用 回 归 模 型 ， 根 据 自 变 量 去 估 计 、 预 测 因 变 量 。 回 归 分 析 通 过 一 个 变 量 或 一 些 变 量 的 变 化 解 释 另 一 变 量 的 变 化 。 其 主 要 内 容 和 步 骤 是 ，首 先 根 据 理 论 和 对 问 题 的 分 析 判 断 ， 将 变 量 分 为 自 变 量 和 因 变 量 ；其 次 ， 设 法 找 出 合 适 的 数 学 方 程 式 （ 即 回 归 模 型 ） 描 述 变 量 间 的 关 系 ；由 于 涉 及 到 的 变 量 具 有 不 确 定 性 ， 接 着 还 要 对 回 归 模 型 进 行 统 计 检 验 ； 例 1 从 某 大 学 中 随 机 选 取 8名 女 大 学 生 ， 其 身 高 和 体 重 数 据 如 表 1-1所 示 。编 号 1 2 3 4 5 6 7 8身 高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170体 重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59求 根 据 一 名 女 大 学 生 的 身 高 预 报 她 的 体 重 的 回 归 方 程 ， 并 预 报 一 名 身 高 为172cm的 女 大 学 生 的 体 重 。案 例 1： 女 大 学 生 的 身 高 与 体 重解 ： 1、 选 取 身 高 为 自 变 量 x， 体 重 为 因 变 量 y， 作 散 点 图 ：2、 由 散 点 图 知 道 身 高 和 体 重 有 比 较 好 的线 性 相 关 关 系 ， 因 此 可 以 用 线 性 回 归 方 程刻 画 它 们 之 间 的 关 系 。3、 从 散 点 图 还 看 到 ， 样 本 点 散 布 在 某 一 条直 线 的 附 近 ， 而 不 是 在 一 条 直 线 上 ， 所 以不 能 用 一 次 函 数 y=bx+a描 述 它 们 关 系 。 我 们 可 以 用 下 面 的 线 性 回 归 模 型 来 表 示 ：y=bx+a+e， 其 中 a和 b为 模 型 的 未 知 参 数 ，e称 为 随 机 误 差 。 思 考 P3产 生 随 机 误 差 项 e的 原 因 是 什 么 ？ 思 考 P4产 生 随 机 误 差 项 e的 原 因 是 什 么 ？随 机 误 差 e的 来 源 (可 以 推 广 到 一 般 ） ：1、 其 它 因 素 的 影 响 ： 影 响 身 高 y 的 因 素 不 只 是 体 重 x， 可 能 还 包 括 遗 传 基 因 、 饮 食 习 惯 、 生 长 环 境 等 因 素 ；2、 用 线 性 回 归 模 型 近 似 真 实 模 型 所 引 起 的 误 差 ；3、 身 高 y 的 观 测 误 差 。 函 数 模 型 与 回 归 模 型 之 间 的 差 别函 数 模 型 ： abxy 回 归 模 型 ： eabxy 可 以 提 供选 择 模 型 的 准 则 函 数 模 型 与 回 归 模 型 之 间 的 差 别函 数 模 型 ： abxy 回 归 模 型 ： eabxy 线 性 回 归 模 型 y=bx+a+e增 加 了 随 机 误 差 项 e， 因 变 量 y的 值 由自 变 量 x和 随 机 误 差 项 e共 同 确 定 ， 即 自 变 量 x只 能 解 析 部 分 y的 变化 。 在 统 计 中 ， 我 们 也 把 自 变 量 x称 为 解 析 变 量 ， 因 变 量y称 为 预 报 变 量 。 例 1 从 某 大 学 中 随 机 选 取 8名 女 大 学 生 ， 其 身 高 和 体 重 数 据 如 表 1-1所 示 。编 号 1 2 3 4 5 6 7 8身 高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170体 重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59求 根 据 一 名 女 大 学 生 的 身 高 预 报 她 的 体 重 的 回 归 方 程 ， 并 预 报 一 名 身 高 为172cm的 女 大 学 生 的 体 重 。案 例 1： 女 大 学 生 的 身 高 与 体 重解 ： 1、 选 取 身 高 为 自 变 量 x， 体 重 为 因 变 量 y， 作 散 点 图 ：2、 由 散 点 图 知 道 身 高 和 体 重 有 比 较 好 的线 性 相 关 关 系 ， 因 此 可 以 用 线 性 回 归 方 程刻 画 它 们 之 间 的 关 系 。3、 从 散 点 图 还 看 到 ， 样 本 点 散 布 在 某 一 条直 线 的 附 近 ， 而 不 是 在 一 条 直 线 上 ， 所 以 不 能 用 一 次 函 数 y=bx+a描 述 它 们 关 系 。 我 们 可 以 用 下 面 的 线 性 回 归 模 型 来 表 示 ：y=bx+a+e， 其 中 a和 b为 模 型 的 未 知 参 数 ，e称 为 随 机 误 差 。 例 1 从 某 大 学 中 随 机 选 取 8名 女 大 学 生 ， 其 身 高 和 体 重 数 据 如 表 1-1所 示 。5943616454505748体 重 /kg 170155165175170157165165身 高 /cm 87654321编 号求 根 据 一 名 女 大 学 生 的 身 高 预 报 她 的 体 重 的 回 归 方 程 ， 并 预 报 一 名 身 高 为172cm的 女 大 学 生 的 体 重 。根 据 最 小 二 乘 法 估 计 和 就 是 未 知 参 数 a和 b的 最 好 估 计 ，a b制 表 xi2xi yiyixi 7 8 合 计654321i 2i i ix y x x y n ni=1 i=1 ， ， ， . 例 1 从 某 大 学 中 随 机 选 取 8名 女 大 学 生 ， 其 身 高 和 体 重 数 据 如 表 1-1所 示 。5943616454505748体 重 /kg 170155165175170157165165身 高 /cm 87654321编 号求 根 据 一 名 女 大 学 生 的 身 高 预 报 她 的 体 重 的 回 归 方 程 ， 并 预 报 一 名 身 高 为172cm的 女 大 学 生 的 体 重 。根 据 最 小 二 乘 法 估 计 和 就 是 未 知 参 数 a和 b的 最 好 估 计 ，a b于 是 有 b= 1 221 0.849n i ii n ii x y nx yx nx 85.712a y bx 所 以 回 归 方 程 是 0.849 85.712y x 所 以 ， 对 于 身 高 为 172cm的 女 大 学 生 ， 由 回 归 方 程 可 以 预 报 其 体 重 为 0.849 72 85.712 60.316( )y kg ( , )x y 称 为样 本 点 的 中 心探 究 P4：身 高 为 172cm的 女 大 学 生 的 体 重 一 定 是 60.316kg吗 ？ 如果 不 是 ， 你 能 解 析 一 下 原 因 吗 ？ 探 究 P4：身 高 为 172cm的 女 大 学 生 的 体 重 一 定 是 60.316kg吗 ？如 果 不 是 ， 你 能 解 析 一 下 原 因 吗 ？答 ： 身 高 为 172cm的 女 大 学 生 的 体 重 不 一 定 是 60.316kg， 但 一 般 可 以 认 为 她 的 体 重 在 60.316kg左 右 。 对 回 归 模 型 进 行 统 计 检 验 表 1-4列 出 了 女 大 学 生 身 高 和 体 重 的 原 始 数 据 以 及 相 应 的 残 差 数 据 。 在 研 究 两 个 变 量 间 的 关 系 时 ， 首 先 要 根 据 散 点 图 来 粗 略 判 断 它 们 是 否 线 性 相 关 ，是 否 可 以 用 回 归 模 型 来 拟 合 数 据 。残 差 分 析 与 残 差 图 的 定 义 ： 然 后 ， 我 们 可 以 通 过 残 差 来 判 断 模 型 拟 合 的 效 果 ， 判 断 原 始数 据 中 是 否 存 在 可 疑 数 据 ， 这 方 面 的 分 析 工 作 称 为 残 差 分 析 。1 2, , , ne e e 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8身 高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170体 重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59残 差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382 我 们 可 以 利 用 图 形 来 分 析 残 差 特 性 ， 作 图 时 纵 坐 标 为 残 差 ， 横 坐 标 可 以 选 为 样 本编 号 ， 或 身 高 数 据 ， 或 体 重 估 计 值 等 ， 这 样 作 出 的 图 形 称 为 残 差 图 。 残 差 图 的 制 作 及 作 用 。 坐 标 纵 轴 为 残 差 变 量 ， 横 轴 可 以 有 不 同 的 选 择 ； 若 模 型 选 择 的 正 确 ， 残 差 图 中 的 点 应 该 分 布 在 以横 轴 为 心 的 带 形 区 域 ； 对 于 远 离 横 轴 的 点 ， 要 特 别 注 意 。身高与体重残差图 异常点 错 误 数 据 模 型 问 题 几 点 说 明 ： 第 一 个 样 本 点 和 第 6个 样 本 点 的 残 差 比 较 大 ， 需 要 确 认 在 采 集 过 程 中 是 否 有 人 为的 错 误 。 如 果 数 据 采 集 有 错 误 ， 就 予 以 纠 正 ， 然 后 再 重 新 利 用 线 性 回 归 模 型 拟 合 数据 ； 如 果 数 据 采 集 没 有 错 误 ， 则 需 要 寻 找 其 他 的 原 因 。 另 外 ， 残 差 点 比 较 均 匀 地 落 在 水 平 的 带 状 区 域 中 ， 说 明 选 用 的 模 型 计 较 合 适 ， 这样 的 带 状 区 域 的 宽 度 越 窄 ， 说 明 模 型 拟 合 精 度 越 高 ， 回 归 方 程 的 预 报 精 度 越 高 。 样 本 决 定 系 数 （ 判 定 系 数 ）1.回 归 平 方 和 占 总 偏 差 平 方 和 的 比 例 2 22 1 12 2 1 1 1 n ni ii in ni ii iy y y yR y y y y 我 们 可 以 用 相 关 指 数 R2来 刻 画 回 归 的 效 果 ， 其 计 算 公 式 是 22 1 21( )1 1( )n i ii n ii y yR y y 残 差 平 方 和 。总 偏 差 平 方 和显 然 ， R2的 值 越 大 ， 说 明 残 差 平 方 和 越 小 ， 也 就 是 说 模 型 拟 合 效 果 越 好 。在 线 性 回 归 模 型 中 ， R2表 示 解 析 变 量 对 预 报 变 量 变 化 的 贡 献 率 。 R2越 接 近 1， 表 示 回 归 的 效 果 越 好 （ 因 为 R2越 接 近 1， 表 示 解 析 变 量 和 预 报 变 量 的线 性 相 关 性 越 强 ） 。 如 果 某 组 数 据 可 能 采 取 几 种 不 同 回 归 方 程 进 行 回 归 分 析 ， 则 可 以 通 过 比 较 R 2的 值来 做 出 选 择 ， 即 选 取 R2较 大 的 模 型 作 为 这 组 数 据 的 模 型 。总 的 来 说 ：相 关 指 数 R2是 度 量 模 型 拟 合 效 果 的 一 种 指 标 。在 线 性 模 型 中 ， 它 代 表 自 变 量 刻 画 预 报 变 量 的 能 力 。 我 们 可 以 用 相 关 指 数 R2来 刻 画 回 归 的 效 果 ， 其 计 算 公 式 是 22 1 21( )1 1( )n i ii n ii y yR y y 残 差 平 方 和 。总 偏 差 平 方 和 1354总 计 0.36128.361残 差 变 量 0.64225.639解 释 变 量 比 例平 方 和来 源表 1-3 从 表 3-1中 可 以 看 出 ， 解 析 变 量 对 总 效 应 约 贡 献 了 64%， 即 R2 0.64， 可 以 叙 述 为“ 身 高 解 析 了 64%的 体 重 变 化 ” ， 而 随 机 误 差 贡 献 了 剩 余 的 36%。 所 以 ， 身 高 对 体 重 的 效 应 比 随 机 误 差 的 效 应 大 得 多 。 用 身 高 预 报 体 重 时 ， 需 要 注 意 下 列 问 题 ：1、 回 归 方 程 只 适 用 于 我 们 所 研 究 的 样 本 的 总 体 ；2、 我 们 所 建 立 的 回 归 方 程 一 般 都 有 时 间 性 ；3、 样 本 采 集 的 范 围 会 影 响 回 归 方 程 的 适 用 范 围 ；4、 不 能 期 望 回 归 方 程 得 到 的 预 报 值 就 是 预 报 变 量 的 精 确 值 。 事 实 上 ， 它 是 预 报 变 量 的 可 能 取 值 的 平 均 值 。这 些 问 题 也 使 用 于 其 他 问 题 。涉 及 到 统 计 的 一 些 思 想 ：模 型 适 用 的 总 体 ；模 型 的 时 间 性 ；样 本 的 取 值 范 围 对 模 型 的 影 响 ； 模 型 预 报 结 果 的 正 确 理 解 。 小 结 ： 一 般 地 ， 建 立 回 归 模 型 的 基 本 步 骤 为 ：（ 1） 确 定 研 究 对 象 ， 明 确 哪 个 变 量 是 解 析 变 量 ， 哪 个 变 量 是 预 报 变 量 。（ 2） 画 出 确 定 好 的 解 析 变 量 和 预 报 变 量 的 散 点 图 ， 观 察 它 们 之 间 的 关 系 （ 如 是 否 存 在 线 性 关 系 等 ） 。（ 3） 由 经 验 确 定 回 归 方 程 的 类 型 （ 如 我 们 观 察 到 数 据 呈 线 性 关 系 ， 则 选 用 线 性 回 归 方 程 y=bx+a） .（ 4） 按 一 定 规 则 估 计 回 归 方 程 中 的 参 数 （ 如 最 小 二 乘 法 ） 。（ 5） 得 出 结 果 后 分 析 残 差 图 是 否 有 异 常 （ 个 别 数 据 对 应 残 差 过 大 ， 或 残 差 呈 现 不 随 机 的 规 律 性 ， 等 等 ） ， 过 存 在 异 常 ， 则 检 查 数 据 是 否 有 误 ， 或 模 型 是 否 合 适 等 。 建 构 数 学 模 型 我 们 将 y=bx+a+e 称 为 线 性 回 归 模 型 其 中 a, b为 模 型 的 未 知 参 数 ， 解 释 变 量 x， 预 报 变 量 y，e称 为 随 机 误 差 。 思 考 1： e产 生 的 主 要 原 因 是 什 么 ？ (1)所 用 确 定 函 数 模 型 不 恰 当 ； (2)忽 略 了 某 些 因 素 的 影 响 ； (3)观 测 误 差 。 思 考 2： 如 何 检 查 拟 合 效 果 的 好 坏 ？（ 1） 散 点 图（ 2） 相 关 系 数（ 3） 残 差 分 析（ 4） 回 归 效 果 的 相 关 系 数 ii yye ni ii yy1 2)( 21 22 )( )(1 yy yyR ini ii 被 害 棉 花 红 铃 虫 喜 高 温 高 湿 ， 适 宜 各 虫态 发 育 的 温 度 为 25一 32C， 相 对 湿度 为 80 一 100 ， 低 于 20C和 高 于35C卵 不 能 孵 化 ， 相 对 湿 度 60 以下 成 虫 不 产 卵 。 冬 季 月 平 均 气 温 低于 一 4 8 时 ， 红 铃 虫 就 不 能 越 冬而 被 冻 死 。 问 题 情 景 1953年 ， 18省 发 生 红 铃 虫 大 灾 害 ， 受 灾面 积 300万 公 顷 ， 损 失 皮 棉 约 二 十 万 吨 。 温 度 xoC 21 23 25 27 29 32 35产 卵 数 y/个 7 11 21 24 66 115 325例 2、 现 收 集 了 一 只 红 铃 虫 的 产 卵 数 y和 温 度 x之 间 的7组 观 测 数 据 列 于 下 表 ：（ 1） 试 建 立 产 卵 数 y与 温 度 x之 间 的 回 归 方程 ； 并 预 测 温 度 为 28oC时 产 卵 数 目 。（ 2） 你 所 建 立 的 模 型 中 温 度 在 多 大 程 度 上解 释 了 产 卵 数 的 变 化 ？ 问 题 呈 现 ： 假 设 线 性 回 归 方 程 为 ： =bx+a选 变 量画 散 点 图选 模 型分 析 和 预 测估 计 参 数 由 计 算 器 得 ： 线 性 回 归 方 程 为 y=19.87x-463.73相 关 指 数 R2=r20.8642=0.7464 解 ： 选 取 气 温 为 解 释 变 量 x， 产 卵 数 为 预报 变 量 y。所 以 ， 一 次 函 数 模 型 中 温 度 解 释 了 74.64%的 产 卵 数 变 化 。问 题 探 究 050100150200250300350 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 方 案 1当 x=28时 ， y =19.87 28-463.73 93 9366！ ?模 型 不 好 ？奇 怪 ？ y=bx2+a 变 换 y=bx+a非 线 性 关 系 线 性 关 系 方 案 2问 题 选 用 y=bx2+a ， 还 是 y=bx2+cx+a ？问 题 3 产 卵 数 气温问 题 2 如 何 求 a、 b ？合 作 探 究 方 案 2解 答平 方 变 换 ： 令 t=x2， 产 卵 数 y和 温 度 x之 间 二 次 函 数 模 型 y=bx2+a就 转 化 为 产 卵 数 y和 温 度 的 平 方 t之 间 线 性 回 归 模 型 y=bt+a温 度 21 23 25 27 29 32 35温 度 的 平 方 t 441 529 625 729 841 1024 1225产 卵 数 y/个 7 11 21 24 66 115 325作 散 点 图 ， 并 由 计 算 器 得 ： y和 t之 间 的 线 性 回 归 方 程 为y=0.367t-202.54， 相 关 指 数 R2=r2 0.8962=0.802将 t=x 2代 入 线 性 回 归 方 程 得 ： y=0.367x2 -202.54当 x=28时 ， y=0.367 282-202.54 85， 且 R2=0.802，所 以 ， 二 次 函 数 模 型 中 温 度 解释 了 80.2%的 产 卵 数 变 化 。 t367 -20 .54 R2=r2 .8962=0.802y=0.367x2 -202.54 问 题 变 换 y=bx+a非 线 性 关 系 线 性 关 系2110cxy c问 题 如 何 选 取 指 数 函 数 的 底 ?产 卵 数 气温 指 数 函 数 模 型 方 案 3合 作 探 究 对 数 令 ， 则 就 转 换 为 z=bx+a 对 数 变 换 ： 在 中 两 边 取 常 用 对 数 得2110c xy c2 21 1 1 2 2 1lg lg( 10 ) lg lg10 lg lg10 lgc x c xy c c c c x c x c 2110c xy c1 2lg , lg ,z y a c b c 方 案 3解 答温 度 xoC 21 23 25 27 29 32 35z=lgy 0.85 1.04 1.32 1.38 1.82 2.06 2.51产 卵 数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 xz由 计 算 器 得 ： z关 于 x的 线 性 回 归 方 程为 z=0.118x-1.665 ，相 关 指 数 R 2=r20.99252=0.985当 x=28oC 时 ， y 44 ， 指 数 回 归 模 型 中温 度 解 释 了 98.5%的 产 卵 数 的 变 化 最 好 的 模 型 是哪 个 ? 产 卵 数 气温产 卵 数 气温线 性 模 型 二 次 函 数 模 型 指 数 函 数 模 型 函 数 模 型 相 关 指 数 R2线 性 回 归 模 型 0.7464二 次 函 数 模 型 0.802指 数 函 数 模 型 0.985最 好 的 模 型 是 哪 个 ?比一比 选 修 1-2： P13-3练 习 小 结 :（ 1） 如 何 发 现 两 个 变 量 的 关 系 ？（ 2） 如 何 选 用 、 建 立 适 当 的 非 线 性 回 归 模 型 ？（ 3） 如 何 比 较 不 同 模 型 的 拟 合 效 果 ？ 归 纳 小 结