模拟电路与数字电路

数 字 逻 辑 电 路 本 课 程 为 模 拟 电 路 与 数 字 电 路 II ， 课 程 为 2.5个学 分 ， 属 专 业 基 础 课 . 本 课 程 具 有 较 强 的 实 践 性 ,有 广 泛 的 应 用 领 域 . 学 好 本 课 程 的 要 点 : 听 懂 每 一 堂 课 的 内 容 、 培 养 逻 辑思 维 方 法 、 勤 于 思 考 . 课 程 内 容 第 8章 数 字 逻 辑 基 础第 9章 组 合 逻 辑 电 路第 10章 时 序 逻 辑 电 路 引 论第 11章 时 序 逻 辑 电 路 的 分 析 与 设 计第 12章 存 储 器 和 可 编 程 逻 辑 器 件 第 13章 脉 冲 信 号 的 产 生 与 整 形 课 堂 要 求 认 真 听 讲 ,做 笔 记 ,少 睡 觉 按 时 到 教 室 听 课 作 业 认 真 做 考 核 方 式 卷 面 成 绩 课 堂 小 测 验 出 勤 率 作 业 上 课 提 问 一 、 模 拟 量 和 数 字 量模 拟 量 ： 模 拟 量 就 是 连 续 变 化 的 量 。 自 然 界 中 可 测 试 的 物 理 量 一 般 都 是 模 拟 量 ,例 如 温 度 ， 压 力 ， 距 离 ， 时 间 等 。 数 字 量 ： 数 字 量 是 离 散 的 量 。 数 字 量 一 般 是 将 模 拟 量 经 过 抽 样 、 量 化 和 编 码 后 而 得 到 的 。绪 论 数 字 电 路 是 指 使 用 数 字 信 号 ， 并 能 对 数 字 量进 行 算 术 运 算 和 逻 辑 运 算 的 电 路 。 1 2 3 4 5 76 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1218202224 262830323436 温 度 ( C) 时 间 （ 小 时 ）A.M P.M温 度 和 时 间 关 系 图 (用 模 拟 量 表 示 ) 1 2 3 4 5 76 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1218202224 262830323436 温 度 ( C) 时 间 （ 小 时 ）A.M P.M温 度 和 时 间 关 系 图 (用 采 样 值 表 示 ) 量 化 曲 线 1 2 3 4 5 76 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12时 间 （ 小 时 ）A.M P.M温 度 和 时 间 关 系 图 (用 数 字 形 式 表 示 ) 1001110100 10011 10011 10010 10010 10010 10011 10101 10111 11001 11011 11100 11101 11101 11101 11100 11011 11010 11001 10111 10110 10100 10011 1001030292827262524232221201918 (oc) 二 、 模 拟 和 数 字 系 统 的 几 个 实 例1） 音 频 有 线 扩 音 系 统音 频 有 线 扩 音 系 统 为 纯 模 拟 系 统 。 音 频 有 线 扩 音 系 统Audio public address system线 性 放 大 器原 始 声 波(Original sound waves)麦 克 风(Microphone)音 频Audiosignal Linearamplifier 放 大 后 的音 频 信 号Amplifiedaudio signal扬 声 器Speaker再 生 声 波Reproducedsound waves 2） CD 播 放 机 CD 播 放 机 为 数 模 混 合 系 统 。 音 频 信 号 的模 拟 再 生Analogreproductionof audio signal 扬 声 器Speaker声 波sound waves CD驱 动 器CD Drive 1 0 1 1 1 1 10 0 1数 字 数 据Digital data 线 性 放 大 器Linear amplifier数 模 转 换 器DA convterCD机 原 理 图 （ 单 声 道 ）Basic principle of a CD player 3） 数 字 钟带 数 字 显 示 的 数 字 钟 是 一 个 纯 数 字 系 统 。下 面 讨 论 一 个 带 数 字 显 示 的 三 位 计 时 系 统 。 计时电路 秒 个 位秒 十 位分 个 位三 位 计 时 器 示 意 图 定时激励信号产生电路 秒 脉 冲1s 脉冲个数记录电路 分 个位 二进 制码秒 十位 二进 制码秒 个位 二进 制码 码转换电路（译码器） 分 个位 显示 码秒 十位 显示 码秒 个位 显示 码 a bcdfega bcdfega bc dfeg 2) 电 路 中 器 件 工 作 于 “ 开 ” 和 “ 关 ” 两 种 状 态 ,研 究 电 路 的 输 出 和 输 入 的 逻 辑 关 系 ; 3) 电 路 既 能 进 行 “ 代 数 ” 运 算 ,也 能 进 行 “ 逻 辑 ” 运 算 ;4) 电 路 工 作 可 靠 ,精 度 高 ,抗 干 扰 性 能 好 .三 、 数 字 电 路 特 点 :1) 工 作 信 号 是 二 进 制 表 示 的 二 值 信 号 (具 有 “ 0” 和 “ 1”两 种 取 值 );5) 数 字 信 号 便 于 保 存 、 传 输 、 保 密 性 好 . 2.阎 石 主 编 ： 数 字 电 子 技 术 基 础 （ 第 四 版 ） ， 高 等 教 育 出 版 社 .(面 向 二 十 一 世 纪 教 材 ）1.寇 戈 蒋 立 平 主 编 ： 模 拟 电 路 与 数 字 电 路 ， 兵 器 工 业 出 版 社 .课 内 参 考 教 材 应 用 软 件 : Multisim EWB 8.1 数 制 与 BCD码 所 谓 “ 数 制 ” ， 指 进 位 计 数 制 ， 即 用 进 位 的 方 法 来 计数 .数 制 包 括 计 数 符 号 （ 数 码 ） 和 进 位 规 则 两 个 方 面 。常 用 数 制 有 十 进 制 、 二 进 制 、 八 进 制 、 十 二 进 制 、 十六 进 制 、 六 十 进 制 等 。第 8章 数 字 逻 辑 电 路 基 础 8.1.1 常 用 数 制 1. 十 进 制(1) 计 数 符 号 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.(3) 进 位 规 则 : 逢 十 进 一 .(2) 基 数 : 10.例 : 1987.45=1 103 +9 102 + 8 101 + 7 100 +4 10-1 +5 10-2 2. 二 进 制(1) 计 数 符 号 : 0, 1 .(2) 进 位 规 则 : 逢 二 进 一 .(3) 二 进 制 数 按 权 展 开 式 1n mi ii2 2a)N( 210122 2121212021)11.101( (4) 十 进 制 数 按 权 展 开 式 权 1n mi ii10 10a)N( 系 数 1） 数 字 装 置 简 单 可 靠 ；2） 二 进 制 数 运 算 规 则 简 单 ； 3） 数 字 电 路 既 可 以 进 行 算 术 运 算 ， 也 可 以 进 行 逻 辑 运 算 .3.十 六 进 制 和 八 进 制十 六 进 制 数 计 数 符 号 : 0,1, .,9,A,B,C,D,E,F.十 六 进 制 数 进 位 规 则 : 逢 十 六 进 一 . 1n mi ii16 16a)N(按 权 展 开 式 ：数 字 电 路 中 采 用 二 进 制 的 原 因 ： 2101 16111641613166 210116 16B16416D166)B4.D6( 例 :八 进 制 数 计 数 符 号 : 0,1, . . .6,7.八 进 制 数 进 位 规 则 : 逢 八 进 一 .按 权 展 开 式 ： 1n mi ii8 8a)N( 21018 85848386)45.63( 例 : 只 所 以 采 用 八 进 制 和 十 六 进 制 表 示 二 进 制 数 ,是因 为 它 们 之 间 的 转 换 很 直 观 、 方 便 。 用 四 位 二 进 制数 可 以 表 示 一 位 十 六 进 制 数 ， 用 三 位 二 进 制 数 可 以表 示 一 位 八 进 制 数 。例 ： (10110110)2=( )16 (10110110) 2=( )8B6266 4. 二 进 制 数 与 十 进 制 数 之 间 的 转 换(1)二 进 制 数 转 换 为 十 进 制 数 (按 权 展 开 法 )例 ： 310132 2121212121)101.1011( 125.05.0128 = (11.625)10 例 ： 数 制 转 换 还 可 以 采 用 基 数 连 乘 、 连 除 等 方 法 .10(87.5) 64 16 4 2 1 0.5 6 5 4 3 2 1 0 -11 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2(1010111.1)（ 2） 十 进 制 数 转 换 为 二 进 制 数 (提 取 2的 幂 法 ) 课 堂 练 习 (76.5)10=( )2 (25.125)10=( )2 (10110.1)2=( )101001100.111001.00122.5 复 习 几 种 常 见 的 数 制 ： 二 进 制 、 十 进 制 、 八 进制 、 十 六 进 制 。 几 种 常 见 进 制 之 间 的 转 换 ： (101101.1)2=( )10 (35.5)10=( )2 (D5) 16=( )2 45.5100011.111010101 8.1.2 几 种 简 单 的 编 码 用 四 位 二 进 制 代 码 来 表 示 一 位 十 进 制 数 码 ,这 样 的 代码 称 为 二 -十 进 制 码 ,或 BCD码 . 四 位 二 进 制 有 16种 不 同 的 组 合 ,可 以 在 这 16种 代 码 中任 选 10种 表 示 十 进 制 数 的 10个 不 同 符 号 ,选 择 方 法 很 多 .选择 方 法 不 同 ,就 能 得 到 不 同 的 编 码 形 式 .1. 二 - 十 进 制 码 (BCD码 )( Binary Coded Decimal codes) 常 见 的 BCD码 有 8421码 、 5421码 、 2421码 、 余 3码 和 格雷 码 等 。 十 进 制 数 8421码 5421码 2421码 余 3码0 0000 0000 0000 00111 0001 0001 0001 01002 0010 0010 0010 01013 0011 0011 0011 01104 0100 0100 0100 01115 0101 1000 1011 10006 0110 1001 1100 10017 0111 1010 1101 10108 1000 1011 1110 10119 1001 1100 1111 1100常 用 BCD码 (1) 有 权 BCD码 ： 每 位 数 码 都 有 确 定 的 位 权 的 码 ， 例 如 ： 8421码 、 5421码 、 2421码 . 如 : 5421码 1011代 表 5+0+2+1=8; 2421码 1100代 表 2+4+0+0=6. * 5421BCD码 和 2421BCD码 不 唯 一 . 图 . 例 : 2421BCD码 0110也 可 表 示 6,今 后 一 律 按 表 中 规 律 编 码 * 在 表 中 ： 8421BCD码 和 代 表 09的 二 进 制 数 一 一 对 应 ； 5421BCD码 的 前 5个 码 和 8421BCD码 相 同 ， 后 5个 码 在前 5个 码 的 基 础 上 加 1000构 成 ， 这 样 的 码 ， 前 5个 码 和 后 5 个 码 一 一 对 应 相 同 ， 仅 高 位 不 同 ； 2421BCD码 的 前 5个 码 和 8421BCD码 相 同 ， 后 5个 码 以中 心 对 称 取 反 ,这 样 的 码 称 为 自 反 代 码 .例 ： 40100 5101100000 91111 (2) 无 权 BCD码 ： 每 位 数 码 无 确 定 的 位 权 ， 例 如 ： 余 3码 . 余 3码 的 编 码 规 律 为 : 在 8421BCD码 上 加 0011,例 6的 余 3码 为 : 0110+0011=1001 图 8.1 2.转 换例 :用 8421BCD码 表 示 十 进 制 数 (73.5)10十 进 制 数 7 3 . 58421BCD码 0111 0011 . 0101故 (73.5)10 =(01110011.0101)8421BCD码思 考 :(00010101.0101) 8421BCD码 =( )2(73.5)10=( )21001001.1 1111.1(10110.1)2=( )8421BCD码00100010.0101 3. 格 雷 码 (Gray码 ) 格 雷 码 为 无 权 码 ,特 点 为 ： 相 邻 两 个 代 码 之 间 仅 有 一位 不 同 ,其 余 各 位 均 相 同 .具 有 这 种 特 点 的 代 码 称 为 循 环 码,格 雷 码 是 循 环 码 .（ P160 表 8.2） 格 雷 码 与 前 面 的 编 码 方 式 有 什 么 不 同 ？ 二 进 制 码B3B2B1B0 格 雷 码R3R2R1R000000001001000110100010101100111 0000000100110010011001110101 0100 二 进 制 码B3B2B1B0 格 雷 码R3R2R1R010001001101010111100110111101111 11001101111111101010101110011000设 四 位 二 进 制 码 为 B3B2B1B0,格 雷 码 为 R3R2R1R0, 编 码 的 可 靠 性01111000 如 果 用 触 发 器 表 示 计 数 器 的 状 态 ， 则 4个 触 发 器要 同 时 发 生 状 态 变 化 。 由 于 触 发 器 电 气 、 工 艺 方 面 的 差 别 ， 其 翻 转 的 速度 不 完 全 一 致 。 可 能 出 现 瞬 间 误 码 。011100001000瞬 间 误 码 可 靠 性 编 码代 码 本 身 具 有 一 种 特 性 和 能 力 ， 在代 码 形 成 过 程 中 不 易 出 错 ， 或 者 说代 码 出 错 容 易 发 现 。 二 进 制 码B3B2B1B0 格 雷 码R3R2R1R000000001001000110100010101100111 0000000100110010011001110101 0100 二 进 制 码B3B2B1B0 格 雷 码R3R2R1R010001001101010111100110111101111 11001101111111101010101110011000设 四 位 二 进 制 码 为 B3B2B1B0,格 雷 码 为 R3R2R1R0,如 何 用 B3B2B1B0来 表 示 R3R2R1R0？ 格 雷 码 和 四 位 二 进 制 码 之 间 的 关 系 :设 四 位 二 进 制 码 为 B3B2B1B0,格 雷 码 为 R3R2R1R0,则 R3=B3,R2=B3B2R1=B2 B1R0=B1 B0 其 中 ,为 异 或 运 算 符 ,其 运 算规 则 为 :若 两 运 算 数 相 同 ,结 果为 “ 0” ;两 运 算 数 不 同 ,结 果 为“ 1” .同 时 有 : B3=R3,B2=B3R2B1=B2 R1B 0=B1 R0 8.2 逻 辑 代 数 基 础 研 究 数 字 电 路 的 基 础 为 逻 辑 代 数 ， 由 英 国 数 学 家George Boole在 1847年 提 出 的 ， 逻 辑 代 数 也 称 布 尔 代 数 . 8.2.1 基 本 逻 辑 运 算 在 逻 辑 代 数 中 ,变 量 常 用 字 母 A,B,C,Y,Z, a,b,c,x.y.z等 表 示 ， 指 的 是 两 种 对 立 的 状 态 ,如 脉 冲 的有 和 无 、 开 关 的 接 通 和 断 开 、 命 题 的 正 确 和 错 误 等 。因 此 ， 变 量 的 取 值 只 能 是 “ 0” 或 “ 1” 。 逻 辑 代 数 中 只 有 三 种 基 本 逻 辑 运 算 ,即 “ 与 ” 、“ 或 ” 、 “ 非 ” 。 1. 与 逻 辑 运 算 定 义 ： 只 有 决 定 一 事 件 的 全 部 条 件 都 具 备 时 ， 这 件事 才 成 立 ； 如 果 有 一 个 或 一 个 以 上 条 件 不 具 备 ， 则 这 件 事就 不 成 立 。 这 样 的 因 果 关 系 称 为 “ 与 ” 逻 辑 关 系 。 与 逻 辑 电 路 状 态 表开 关 A状 态 开 关 B状 态 灯 F状 态 断 断 灭 断 合 灭 合 断 灭 合 合 亮 A BE F与 逻 辑 电 路 若 将 开 关 断 开 和 灯 的 熄 灭 状 态 用 逻 辑 量 “ 0” 表 示 ;将 开 关合 上 和 灯 亮 的 状 态 用 逻 辑 量 “ 1” 表 示 ,则 上 述 状 态 表 可 表示 为 : 与 逻 辑 真 值 表A B F=A B0 0 00 1 01 0 01 1 1 只 有 所 有 的 条 件 都 不具 备 时 ,这 件 事 就 不 成 立 .这 样 的 因 果 关 系 称 为 “ 或 ” 逻 辑关 系 。 或 逻 辑 真 值 表A B F=A+ B0 0 00 1 11 0 11 1 1 AB E F或 逻 辑 电 路 1AB F=A+B或 门 逻 辑 符 号 或 门 的 逻 辑 功 能 概 括 为 :1) 有 “ 1” 出 “ 1” ;2) 全 “ 0” 出 “ 0” . 3. 非 逻 辑 运 算 定 义 :假 定 事 件 F成 立 与 否 同 条 件 A的 具 备 与 否 有 关 ,若 A具 备 ,则 F不 成 立 ;若 A不 具 备 ,则 F成 立 .F和 A之 间 的 这种 因 果 关 系 称 为 “ 非 ” 逻 辑 关 系 . 1A F=A 非 门 逻 辑 符 号 非 逻 辑 真 值 表 A F=A 0 1 1 0 与 门 和 或 门 均 可 以 有 多 个 输 入 端 ,一 个 输 出 端AE F非 逻 辑 电 路 非 门 只 有 一 个 输 入 端 ,一 个 输 出 端 8.2.2 复 合 逻 辑 运 算1. 与 非 逻 辑 (将 与 逻 辑 和 非 逻 辑 组 合 而 成 ) 与 非 逻 辑 真 值 表A B F=A B0 0 10 1 11 0 11 1 0 2) 相 异 得 “ 1” .4.异 或 逻 辑异 或 逻 辑 的 函 数 式 为 ： F=AB+AB = A B =1AB F=A B异 或 门 逻 辑 符 号应 用 :若 A作 为 控 制 端 ,B作 为 信 号 输 入 端 .当 A=0时 ,F=B 当 A=1时 ,F=B在 大 规 模 集 成 电 路 中 ,可 作 为 极 性 控 制 电 路 使 用 =AB同 或 门 逻 辑 符 号F=A B. 同 或 逻 辑 真 值 表A B F=A B0 0 10 1 01 0 01 1 1 .对 照 异 或 和 同 或 逻 辑 真 值 表 ,可 以 发 现 : 同 或 和 异 或 互为 反 函 数 ,即 : A B = A B .5.同 或 逻 辑同 或 逻 辑 式 为 :F = A B + A B =A B.同 或 逻 辑 的 功 能 为 : 1) 相 同 得 “ 1” ;2) 相 异 得 “ 0” . 教 材 165页 ,表 8.12给 出 了 门 电 路 的 几 种 表 示 方 法 .本 课程 中 ， 均 采 用 “ 国 标 ” 。 国 外 流 行 的 电 路 符 号 常 见 于 外文 书 籍 中 ， 特 别 在 我 国 引 进 的 一 些 计 算 机 辅 助 分 析 和 设计 软 件 中 ， 常 使 用 这 些 符 号 。 A 1 L A LAB LB L 1ABA L=1AB L B =A LAB L 1、 逻 辑 状 态 和 逻 辑 电 平(1)逻 辑 状 态 : 逻 辑 1状 态逻 辑 0状 态(2)逻 辑 电 平 : 逻 辑 高 电 平 ,以 VH表 示逻 辑 低 电 平 ,以 VL表 示8.2.3 逻 辑 电 平 及 正 、 负 逻 辑 2、 正 、 负 逻 辑 门 电 路 的 输 入 、 输 出 为 二 值 信 号 ,用 “ 0” 和 “ 1” 表示 .这 里 的 “ 0” 、 “ 1” 一 般 用 两 个 不 同 电 平 值 来 表 示 . 1） .若 用 高 电 平 VH表 示 逻 辑 “ 1” ,用 低 电 平 VL表 示 逻辑 “ 0” ,则 称 为 正 逻 辑 约 定 ,简 称 正 逻 辑 ; 2） .若 用 高 电 平 VH表 示 逻 辑 “ 0” ,用 低 电 平 VL表 示 逻辑 “ 1” ,则 称 为 负 逻 辑 约 定 ,简 称 负 逻 辑 .在 本 课 程 中 ,如 不 作 特 殊 说 明 ,一 般 都 采 用 正 逻 辑 表 示 . 3. VH和 VL的 具 体 值 ,由 所 使 用 的 集 成 电 路 品 种 以 及 所加 电 源 电 压 而 定 ,有 两 种 常 用 的 集 成 电 路 : 1) TTL电 路 ,电 源 电 压 为 5伏 ,VH约 为 3V左 右 ,VL约 为0.2伏 左 右 ; 2) CMOS电 路 ,电 源 电 压 范 围 较 宽 ,CMOS4000系 列的 电 源 电 压 VDD为 318伏 . CMOS电 路 的 VH约 为 0.9 VDD,而 VL约 为 0伏 左 右 . 4.对 一 个 特 定 的 逻 辑 门 ,采 用 不 同 的 逻 辑 表 示 时 ,其 门的 名 称 也 就 不 同 . 正 负 逻 辑 转 换 举 例 电 平 真 值 表 正 逻 辑 (与 非 门 ) 负 逻 辑 (或 非 门 ) Vi1 Vi2 Vo A B Y A B Y VL VL VH 0 0 1 1 1 0 VL VH VH 0 1 1 1 0 0 VH VL VH 1 0 1 0 1 0 VH VH VL 1 1 0 0 0 1 8.2.4 基 本 定 律 和 规 则1. 逻 辑 函 数 的 相 等 因 此 ,如 两 个 函 数 的 真 值 表 相 等 ,则 这 两 个 函 数 一 定 相 等 . 设 有 两 个 逻 辑 :F1=f1(A1,A2,An) F2=f2(A1,A2,An) 如 果 对 于 A1,A2,An 的 任 何 一 组 取 值 (共 ?组 ), F1 和 F2均 相 等 ,则 称 F1和 F2相 等 . 例 :设 两 个 函 数 : F1=A+BC F2=(A+B)(A+C)求 证 :F1=F2解 :这 两 个 函 数 都 具 有 三 个 变 量 ,有 8组 逻 辑 取 值 ,可 以 列 出 F1和 F2的 真 值 表 A B C F1 F20 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1 由 表 可 见 ,对 于 A,B,C的 每 组 取值 ,函 数 F 1的 值 和 F2的 值 均 相 等 ,所 以 F1=F2. 自 等 律 A 1=A ; A+0=A 重 迭 律 A A=A ; A+A=A 交 换 律 A B= B A ; A+B=B+A 结 合 律 A(BC)=(AB)C ; A+(B+C)=(A+B)+C 分 配 律 A(B+C)=AB+AC ; A+BC=(A+B)(A+C) 反 演 律 A+B=AB ; AB=A + B 2. 基 本 定 律 0 1律 A 0=0 ; A+1=1 互 补 律 A A=0 ; A+A=1 还 原 律 A = A= 反 演 律 也 称 德 摩 根 定 理 ,是 一 个 非 常 有 用 的 定 理 .3. 逻 辑 代 数 的 三 条 规 则 (1) 代 入 规 则 任 何 一 个 含 有 变 量 x的 等 式 ,如 果 将 所 有 出 现 x的 位 置 ,都 用 一 个 逻 辑 函 数 式 F代 替 ,则 等 式 仍 然 成 立 . 例 : 已 知 等 式 A+B=A B ,有 函 数 式 F=B+C,则 用 F代 替 等 式 中 的 B, 有 A+(B+C)=A B+C 即 A+B+C=A B C 由 此 可 以 证 明 反 演 定 律 对 n变 量 仍 然 成 立 .(2) 反 演 规 则A1+A2+ +An = A1A2 An 设 F为 任 意 逻 辑 表 达 式 ,若 将 F中 所 有 运 算 符 、 常 量 及变 量 作 如 下 变 换 ： + 0 1 原 变 量 反 变 量 + 1 0 反 变 量 原 变 量 则 所 得 新 的 逻 辑 式 即 为 F的 反 函 数 ， 记 为 F。例 已 知 F=A B + A B, 根 据 上 述 规 则 可 得 ： F=(A+B)(A+B) 由 F求 反 函 数 注 意 ：1） 保 持 原 式 运 算 的 优 先 次 序 ；2） 原 式 中 的 不 属 于 单 变 量 上 的 非 号 不 变 ； 例 已 知 F=A+BC+DE, 则F=A B+C D+E (3) 对 偶 规 则 设 F为 任 意 逻 辑 表 达 式 ,若 将 F中 所 有 运 算 符 和 常 量 作如 下 变 换 ： + 0 1 + 1 0 则 所 得 新 的 逻 辑 表 达 式 即 为 F的 对 偶 式 ， 记 为 F.F=(A+B)(C+D)例 有 F=A B + C D例 有 F=A+B+C+D+E F=A B C D E 对 偶 是 相 互 的 ,F和 F互 为 对 偶 式 .求 对 偶 式 注 意 ： 1） 保 持 原 式 运 算 的 优 先 次 序 ；2） 原 式 中 的 长 短 “ 非 ” 号 不 变 ；3） 单 变 量 的 对 偶 式 为 自 己 。 对 偶 规 则 ： 若 有 两 个 逻 辑 表 达 式 F和 G相 等 ， 则 各 自 的 对 偶 式 F和 G也 相 等 。使 用 对 偶 规 则 可 使 得 某 些 表 达 式 的 证 明 更 加 方 便 。已 知 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)对 偶 关 系例 ： 练 习 ： 8.8（ 3） 4.常 用 公 式1） 消 去 律 AB+AB=A证 明 ：AB+AB=A (B+B)=A1=A 对 偶 关 系 (A+B)(A+B)=A该 公 式 说 明 :两 个 乘 积 项 相 加 时 ,若 它 们 只 有 一 个 因 子不 同 (如 一 项 中 有 B,另 一 项 中 有 B),而 其 余 因 子 完 全 相同 ,则 这 两 项 可 以 合 并 成 一 项 ,且 能 消 去 那 个 不 同 的 因子 (即 B和 B).ABC+ABC=? 2) 吸 收 律 1 A+AB=A证 明 ：A+AB=A(1+B)=A1=A 对 偶 关 系 A(A+B)=A该 公 式 说 明 :两 个 乘 积 项 相 加 时 ,若 其 中 一 项 是 另 一 项的 因 子 ,则 另 一 项 是 多 余 的 .A+ABCD=? 3) 吸 收 律 2 A+AB=A+B证 明 ： 对 偶 关 系A+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B) =A+B A(A+B)=AB该 公 式 说 明 :两 乘 积 项 相 加 时 ,若 其 中 一 项 的 非 是 另 一 项的 因 子 ,则 此 因 子 是 多 余 的 .AB+ABC=? 4） 包 含 律 AB+AC+BC=AB+AC证 明 ：AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+AC 对 偶 关 系 (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)该 公 式 说 明 :三 个 乘 积 项 相 加 时 ,其 中 两 个 乘 积 项 中 ,一 项含 有 原 变 量 A,另 一 项 含 有 反 变 量 A ,而 这 两 项 的 其 余 因 子都 是 第 三 个 乘 积 的 因 子 ,则 第 三 个 乘 积 项 是 多 余 的 . 5) 关 于 异 或 和 同 或 运 算对 奇 数 个 变 量 而 言 ， 有 A1A2. An=A1 A2 . An对 偶 数 个 变 量 而 言 ， 有 A1A2. An=A1 A2 . An该 公 式 可 以 推 广 为 :AB+AC+BCDE=AB+AC 例 证 : A1 A2 A3 = A1 A2 A3 证 明 ： A1 A2 A3 = A1 A2 A3 = A1 A2 A3+ （ A1 A2） A3 = A1 A2 A3+ （ A1 A2） A3 = A1 A2 A3 异 或 和 同 或 的 其 他 性 质 :A 0=AA 1=AA A=0A (B C)=(A B ) CA (B C)=AB AC(证 明 ) A 1=AA 0 =AA A= 1A (B C)=(A B) CA+(B C )=(A+B) (A+C)利 用 异 或 门 可 实 现 数 字 信 号 的 极 性 控 制 .同 或 功 能 由 异 或 门 实 现 .注 意 : A (B+C)=A B+A C 8.2.5 逻 辑 函 数 的 标 准 形 式1. 函 数 的 “ 与 或 ” 式 和 “ 或 与 ” 式 “ 与 或 ” 式 ， 指 一 个 函 数 表 达 式 中 包 含 若 干 个 “ 与 ”项 ， 这 些 “ 与 ” 项 的 “ 或 ” 表 示 这 个 函 数 。 “或 与 ” 式 ， 指 一 个 函 数 表 达 式 中 包 含 若 干 个 “ 或 ”项 ， 这 些 “ 或 ” 项 的 “ 与 ” 表 示 这 个 函 数 。例 ： F(A,B,C,D)=A+BC+ABCD例 ： F(A,B,C)=(A+B)(A+C)(A+B+C) 2. 逻 辑 函 数 的 两 种 标 准 形 式1） 最 小 项 的 概 念 (1） 最 小 项 特 点 最 小 项 是 “ 与 ” 项 。 n个 变 量 构 成 的 每 个 最 小 项 ， 一 定 是 包 含 n个 因 子 的 乘 积 项 ； 在 各 个 最 小 项 中 ， 每 个 变 量 必 须 以 原 变 量 或 反 变 量 形 式 作 为 因 子 出 现 一 次 ， 而 且 仅 出 现 一 次 。有 A、 B两 变 量 的 最 小 项 共 有 ？ ？例 ： F(A,B,C,D)=A+BC+ABCD 例 有 A、 B两 变 量 的 最 小 项 共 有 四 项 (22)：A BA B A B A B例 有 A、 B、 C三 变 量 的 最 小 项 共 有 八 项 (23)：ABC、 ABC、 ABC、 ABC、 ABC、 ABC、 ABC、 ABC（ 2） 最 小 项 编 号 任 一 个 最 小 项 用 mi 表 示 ， m表 示 最 小 项 ， 下 标 i 为 使 该 最 小 项 为 1的 变 量 取 值 所 对 应 的 等 效 十 进 制 数 。CBA CBAm 0 m1000 0010 1 CBA BCA CBA CBA CAB ABC m2 m3 m4 m5 m6 m7010 011 100 101 110 1112 3 4 5 6 7最 小 项二 进 制 数十 进 制 数编 号 (3) 最 小 项 的 性 质 变 量 任 取 一 组 值 ， 仅 有 一 个 最 小 项 为 1， 其 他 最 小 项 为 零 ； n变 量 的 全 体 最 小 项 之 和 为 1；0 0 1A B C 0 0 0 m0CBA m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC 1-n2 0i imF1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 000000 000000 100000 010000 001000 000100 000010 000001 111111三 变 量 全 部 最 小 项 真 值 表 p172 不 同 的 最 小 项 相 与 ， 结 果 为 0； 两 最 小 项 相 邻 ， 相 邻 最 小 项 相 “ 或 ” ， 可 以 合 并 成 一 项 ， 并 可 以 消 去 一 个 变 量 因 子 。相 邻 的 概 念 ： 两 最 小 项 如 仅 有 一 个 变 量 因 子 不 同 ， 其 他变 量 均 相 同 ， 则 称 这 两 个 最 小 项 相 邻 .相 邻 最 小 项 相 “ 或 ” 的 情 况 ：例 ： A B C+A B C =B C 任 一 n 变 量 的 最 小 项 ， 必 定 和 其 他 n 个 不 同 最 小项 相 邻 。2） 最 大 项 的 概 念（ 1） 最 大 项 特 点 最 大 项 是 “ 或 ” 项 。 n个 变 量 构 成 的 每 个 最 大 项 ， 一 定 是 包 含 n个 因 子 的 “ 或 ” 项 ； 在 各 个 最 大 项 中 ， 每 个 变 量 必 须 以 原 变 量 或 反 变 量 形 式 作 为 因 子 出 现 一 次 ， 而 且 仅 出 现 一 次 。 例 有 A、 B两 变 量 的 最 大 项 共 有 四 项 ：例 有 A、 B、 C三 变 量 的 最 大 项 共 有 八 项 ：A+ BA+ B A+ BA+ BA+B+C、 A+B+C、 A+B+C、 A+B+C、A+B+C、 A+B+C、 A+B+C、 A+B+C(2) 最 大 项 编 号 任 一 个 最 大 项 用 Mi 表 示 ， M表 示 最 大 项 ， i怎 么求 得 ? 下 标 i 为 使 该 最 大 项 为 0的 变 量 取 值 所 对 应 的 等 效十 进 制 数 。 A+B+C =M4(3) 最 大 项 的 性 质 P173 变 量 任 取 一 组 值 ， 仅 有 一 个 最 大 项 为 0， 其 它 最 大 项 为 1； n变 量 的 全 体 最 大 项 之 积 为 0； 不 同 的 最 大 项 相 或 ， 结 果 为 1；例 ： 有 最 大 项 A +B+ C,要 使 该 最 大 项 为 0， A、 B、 C的 取 值 应 为 1、 0、 0， 二 进 制 数 100所 等 效 的 十 进 制 数 为 4， 所 以 两 相 邻 的 最 大 项 相 “ 与 ” ， 可 以 合 并 成 一 项 ， 并 可 以 消 去 一 个 变 量 因 子 。相 邻 的 概 念 ： 两 最 大 项 如 仅 有 一 个 变 量 因 子 不 同 ， 其 他 变 量 均 相 同 ， 则 称 这 两 个 最 大 项 相 邻 。相 邻 最 大 项 相 “ 与 ” 的 情 况 ：任 一 n 变 量 的 最 大 项 ， 必 定 和 其 他 n 个 不 同 最 大 项相 邻 。例 ： (A+B+C)(A+B+C)=A+B 3) 最 小 项 和 最 大 项 的 关 系编 号 下 标 相 同 的 最 小 项 和 最 大 项 互 为 反 函 数 ， 即Mi = mi 或 mi = Mi4) 逻 辑 函 数 的 最 小 项 之 和 形 式例 ：例 如 : m0 = ABC = A+B+C = M0MO = A+B+C = ABC = mO 标 准 的 与 或 式 任 一 逻 辑 函 数 都 可 以 表 达 为 最 小 项 之 和 的 形 式 ,而 且是 唯 一 的 .例 : F(A,B,C) = A B +A C 该 式 不 是 最 小 项 之 和 形 式=m（ 1， 3， 6， 7）=AB（ C+C） +AC（ B+B）=ABC+ABC+ABC+ABC=m(2 , 4 , 6)=(2 , 4 , 6)F(A,B,C) = ABC + ABC +ABC5） 逻 辑 函 数 的 最 大 项 之 积 的 形 式 标 准 的 或 与 式注 意 :对 最 小 项 编号 时 应 按 变 量 的高 低 位 顺 序 编 号 。 例 ： = M (0 , 2 , 4 )= (0 , 2 , 4 )F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)任 一 逻 辑 函 数 都 可 以 表 达 为 最 大 项 之 积 的 形 式 ,而 且是 唯 一 的 . = M (1 , 4 , 5 , 6 )例 : F(A,B,C) = (A + C )(B + C) =(A+B B+C)(A A+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) 6) 最 小 项 之 和 的 形 式 和 最 大 项 之 积 的 形 式 之 间 的 关 系若 F = mi则 F = mjj iF = mj j i= mj j i F(A,B,C)=m1+m3+m4+m6+m7F(A,B,C)=m0+m2+m5= Mj j i F(A,B,C)=m0+m2+m5=m0 m2m5 =M0 M2M5 例 : F (A , B , C) = m(1 , 2 , 4 , 5)= M (0 , 3 , 6 , 7 )例 : F (A , B , C) = M(0 , 2 , 3 , 7)= m (1 , 4 , 5 , 6 )练 习 ： 1. 逻 辑 函 数 F(A,B,C)= m(0,3,5) , 则 其 反 函数 F= m( ), 对 偶 函 数 F = m( )； 2.F (A , B , C) = （ A C) (A B )的 最 小 项 之 和 的 表 达 式为 （ ） ， 最 大 项 之 积 的 表 达 式 （ ） 3. 真 值 表 与 逻 辑 表 达 式 真 值 表 与 逻 辑 表 达 式 都 是 表 示 逻 辑 函 数 的 方 法 。（ 1） 由 逻 辑 函 数 式 列 真 值 表 由 逻 辑 函 数 式 列 真 值 表 可 采 用 三 种 方 法 ， 以 例 说 明 ：例 ： 试 列 出 下 列 逻 辑 函 数 式 的 真 值 表 。 F（ A， B， C） =AB+BC 方 法 一 ： 将 A、 B、 C三 变 量 的 所 有 取 值 的 组 合 （ 共 八 种 ） ， 分 别 代 入 函 数 式 ， 逐 一 算 出 函 数 值 ， 填 入 真 值 表 中 。A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1 方 法 二 ： 先 将 函 数 式 F表 示 为 最 小 项 之 和 的 形 式 ： =m（ 3， 6， 7） =AB（ C+C） +BC（ A+A）=ABC+ABC+ABC F(A,B,C) =AB+BC A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1最 后 根 据 最 小 项 的 性 质 ， 在 真 值 表 中 对 应 于 ABC取 值 为011、 110、 111处 填 “ 1” ， 其 它 位 置 填 “ 0” 。 方 法 三 ： 根 据 函 数 式 F的 含 义 ， 直 接 填 表 。 函 数 F=AB+BC表 示 的 含 义 为 ：1） 当 A和 B同 时 为 “ 1” （ 即 AB=1） 时 ， F=1 2） 当 B和 C同 时 为 “ 1” （ 即 BC=1） 时 ， F=13） 当 不 满 足 上 面 两 种 情 况 时 ， F=0 A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1 方 法 三 是 一 种 较 好 的方 法 ， 要 熟 练 掌 握 。 A B C F1 F2 F0 0 0 0 0 10 0 1 0 1 10 1 0 1 1 00 1 1 1 0 11 0 0 1 0 11 0 1 1 1 01 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1例 : F=(AB) (BC)令 : F1=(AB) ; F2=(BC) F=F1F2（ 2） 由 真 值 表 写 逻 辑 函 数 式 根 据 最 小 项 的 性 质 ， 用 观 察 法 ， 可 直 接 从 真 值 表 写 出函 数 的 最 小 项 之 和 表 达 式 。例 ： 已 知 函 数 F的 真 值 表 如 下 ， 求 逻 辑 函 数 表 达 式 。A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 1 解 ： 由 真 值 表 可 见 ， 当 ABC取 010、 100、 110、 111时 ， F为 “ 1” 。 所 以 ， F由 4个 最 小 项 组 成 ： F（ A， B， C） =m（ 2， 4, 6， 7）A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 1=ABC+ABC+ABC+ABC 8.2.6 逻 辑 函 数 的 化 简化 简 的 意 义 : 节 省 元 器 件 ,降 低 电 路 成 本 ; 提 高 电 路 可 靠 性 ; 减 少 连 线 ,制 作 方 便 .逻 辑 函 数 的 几 种 常 用 表 达 式 : F(A,B,C) =AB+AC 与 或 式=(A+C)(A+B) 或 与 式=ABAC 与 非 与 非 式=A+C+A+B 或 非 或 非 式=AB+AC 与 或 非 式最 简 与 或 表 达 式 的 标 准 ：1） 所 得 与 或 表 达 式 中 ， 乘 积 项 （ 与 项 ） 数 目 最 少 ；2） 每 个 乘 积 项 中 所 含 的 变 量 数 最 少 。 （ 包 含 律 ）（ 两 次 求 反 ） 逻 辑 函 数 常 用 的 化 简 方 法 有 ： 公 式 法 、 卡 诺 图 法 和 列表 法 。 本 课 程 要 求 掌 握 公 式 法 和 卡 诺 图 法 。1. 公 式 化 简 法 针 对 某 一 逻 辑 式 ,反 复 运 用 逻 辑 代 数 公 式 消 去 多 余 的 乘积 项 和 每 个 乘 积 项 中 多 余 的 因 子 ,使 函 数 式 符 合 最 简 标 准 . 化 简 中 常 用 方 法 : (1) 并 项 法在 化 简 中注 意代 入 规 则的 使 用(2)吸 收 法 利 用 公 式 A+AB=A 利 用 公 式 AB+AB=A例 : F=ABC+ABC+ABC+ABC=（ B+B） AC+（ B+B） AC=A+BC =(A+BC)+(A+BC)B+AC+D例 ： F=A+ABC B+AC+D+BC 反 演 律=AC+AC=C (3) 消 项 法 例 ： F=ABCD+AE+BE+CDE=ABCD+(A+B)E+CDE=ABCD+ABE+CDE=ABCD+(A+B)E=ABCD+AE+BE利 用 公 式 AB+AC+BC=AB+AC CBCAABY CBAAB )( CABAB CABCDBAABCDBABAY )( BAABCDBABA BACDBA CDBA CDBABA (4) 消 因 子 法 利 用 公 式 A+AB=A+B (5) 配 项 法例 : F=AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=(AB+ABC)+(AC+ABC)=AB+AC利 用 公 式 A+A=1 ； A 1=A； A A=0 ; A+0=A等 对 比 较 复 杂 的 函 数 式 ， 要 求 熟 练 掌 握 上 述 方 法 ， 才 能把 函 数 化 成 最 简 。2. 卡 诺 图 化 简 法 该 方 法 是 将 逻 辑 函 数 用 一 种 称 为 “ 卡 诺 图 ” 的 图 形 来表 示 ,然 后 在 卡 诺 图 上 进 行 函 数 的 化 简 的 方 法 .1)卡 诺 图 的 构 成 化 简 逻 辑 式 EFBADCCAABDAADY 练 习 ： 8.10（ 2） 卡 诺 图 是 一 种 包 含 一 些 小 方 块 的 几 何 图 形 ,图 中 每 个 小方 块 称 为 一 个 单 元 ,每 个 单 元 对 应 一 个 最 小 项 . 最 小 项 在卡 诺 图 中 的 位 置 不 是 任 意 的 ,它 必 须 满 足 相 邻 性 规 则 .卡 诺图 中 的 相 邻 有 两 层 含 义 : 几 何 相 邻 性 ,即 几 何 位 置 上 相 邻 ,也 就 是 左 右 紧 挨 着 或 者 上 下 相 接 ; 对 称 相 邻 性 ,即 图 形 中 对 称 位 置 的 单 元 是 相 邻 的 . 卡 诺 图A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3 AA B BAB BAAB AB AB 1010 m0 m1 m2 m3 mi二变量图 ABC01 00 01 11 10ABCm0 ABCm1 ABCm2ABCm3ABCm4 ABCm5 ABCm6ABCm7 相 邻 性 规 则 m1 m3 m2m7相 邻 性 规 则 m2 m0 m1 （ 对 称 ） m4 循 环 码三变量图 ABCD00011110 00 01 11 100 1 3 24 5 7 6 8 9 11 1012 13 15 14 相 邻 性 规 则 m3m5 m7 m6 m15 四变量图 ABCDE00011110 000 001 011 0100 1 3 2 8 9 11 1024 25 27 26 110 111 101 1006 7 5 414 15 13 12 22 23 21 2030 31 29 2816 17 19 182） 逻 辑 函 数 的 卡 诺 图 表 示 法五变量图 用 卡 诺 图 表 示 逻 辑 函 数 ， 只 是 把 各 组 变 量 值 所 对 应 的逻 辑 函 数 F的 值 ， 填 在 对 应 的 小 方 格 中 。（ 其 实 卡 诺 图 是 真 值 表 的 另 一 种 画 法 ）ABC01 00 01 11 10m 3m5 m70 0 00 011 1例 ： F（ A， B， C） =ABC+ABC+ABC 用 卡 诺 图 表 示 为 ： 已知一般表达式画函数卡诺图 解 ： (1) 将 逻 辑 式 转 化 为 与 或 式(2) 作 变 量 卡 诺 图 找 出 各 与 项 所 对 应 的 最 小项 方 格 填 1， 其 余 不 填 。 例 已 知 ， 试 画 出 Y 的 卡 诺 图 。)( BDCABDAY ABDAY )( BDC CBDAB CD00011110 00 01 11 10 (3) 根 据 与 或 式 填 图 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 对 应 最 小 项 为同 时 满 足 A = 1， B = 1 的 方 格 。 ABDA BCD 对 应 最 小 项 为 同 时 满 足 B = 1， C = 0， D = 1的 方 格AD 对 应 最 小 项 为 同 时 满 足 A = 0， D = 的 方 格 。 例 : 画 出 F(A,B,C,D)=ABCD+BCD+AC+A用 卡 诺 图 表 示 为 :ABCD00011110 00 01 11 101 1 0 01 1 0 01 1 1 11 1 1 1 3) 在 卡 诺 图 上 合 并 最 小 项 的 规 则 当 卡 诺 图 中 有 最 小 项 相 邻 时 （ 即 ： 有 标 1的 方 格 相 邻 )，可 利 用 最 小 项 相 邻 的 性 质 ， 对 最 小 项 合 并 。 规 则 为 ：（ 1） 卡 诺 图 上 任 何