直线及其方程

第 九 讲 直 线 及 其 方 程 第 一 章 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何第 四 节 直 线 及 其 方 程本 节 教 学 要 求 ： 理 解 直 线 的 方 向 向 量 的 概 念 。 熟 悉 直 线 的 点 向 式 方 程 、 两 点 式 方 程 、 标 准 方 程 、 参 数 方 程 和 一 般 方 程 以 及 它 们 间 的 转 化 。 熟 悉 直 线 间 的 夹 角 、 点 到 直 线 的 距 离 的 计 算 。 掌 握 直 线 共 面 的 条 件 。 理 解 直 线 与 平 面 相 交 的 关 系 。 了 解 平 面 束 方 程 及 其 应 用 。 一 . 直 线 的 方 向 向 量第 四 节 直 线 及 其 方 程二 . 直 线 的 方 程三 . 与 直 线 有 关 的 几 个 问 题四 . 平 面 束 方 程 一 . 直 线 的 方 向 向 量Lss , 平行的任一非零向量与已知直线L ,记为量均称为该直线的方向向 ) , ,(。pnms ) , , (不全为零pnm , , 的方向向量。也是则的方向向量是直线若LsRLs ,/ , 1 1 的方向向量。也是则的方向向量是直线若LsLLLs 直 线 的 方 向 数 ) , ,( 的坐标的任何一个方向向量直线pnmsL , ,的一组方向数。称为直线Lpnm , 。它们相互间成比例关系有无穷多组方向数直线L 直 线 的 方 向 余 弦 ) , ,( pnmsL 的任何一个方向向量直线 ,的方向余弦。称为直线的方向余弦L cos 222 pnm m cos 222 pnm n cos 222 pnm p 直线的方向余弦也可作 为它的一组方向数。 )cos ,cos ,(cos。s 或 )cos ,cos ,cos(。 s 二 . 直 线 的 方 程 1.直 线 的 一 般 方 程2. 直 线 的 两 点 式 方 程3. 直 线 的 参 数 方 程4. 直 线 的 标 准 方 程 )(一般方程1. 直 线 的 一 般 方 程 )( , 3的两张平面的交线或重合任何不相互平行空间中R 为一条直线。 ,0 : 1111 1 DzCyBxA ,0 : 22221 DzCyBxA , 21的所确定的直线和则由例其中相应的系数不成比L方程为 : 21 和设有平面 直线相交的两平面确定一条 ,01111 DzCyBxA 02222。 DzCyBxA 1n2n 21 nns 例 ) ( 。轴的交线与坐标面表示坐标面xxzxyOx yz 0z 0y ,0z 0。y :L L , , jsks kjs 。i L2. 直 线 的 标 准 方 程 ),( ) , ,( 0000 zyxMpnms和点已知一非零向量 0的方程。为方向向量的直线且以求过点LsM 0M Ms ),( zyxML上任取一点在，故也在直线上而 0M ,/0 sMM 从而 .000 pzznyymxx )(标准方程直 线 的 标 准 方 程 （ 对 称 式 方 程 ） ),( 0000方向向量过点zyxML0M ),( zyxMs ) , ,(的方程为的直线Lpnms 000。pzznyymxx 0 ,0 , 0 , 0 , , , 0。则例如。相应的分子为则视其者中有为若在标准方程中 xxm pnm )(参数式3. 直 线 的 参 数 式 方 程 ),( 0000方向向量所以过点zyxML0M ),( zyxMs ) , ,(的方程为的直线Lpnms , 0 tmxx , 0 tnyy , 0 tpzz ) ( Rt , 0 tmxx , 0 tnyy , 0 tpzz 000 tpzznyymxx )(两点式4. 直 线 的 两 点 式 方 程 两点确定一条直线为直线的方向向量。则和点若直线过点 ) , ,( , ),( ),( 12121221 22221111 zzyyxxMM zyxMzyxM , 得到该直线的方程为由直线的标准方程 12 112 112 1。zz zzyy yyxx xx )(一般方程 ,01111 DzCyBxA 02222。 DzCyBxA )(标准方程 000。pzznyymxx )(两点式 12 112 112 1。zz zzyy yyxx xx )(参数式 , 0 tmxx , 0 tnyy , 0 tpzz ) ( Rt 例 , 032 : )2,0 ,1 ( 垂直且与平面过点直线 zyxML , , 一般方程。参数方程的标准方程求直线L解 )3 ,1 ,2( , 。故可取因为 nsL , )2 ,0 ,1 ( 的故直线又直线过点LM :标准方程 3 212 1。 zyx :参数方程 , 21 tx , ty , 32 tz 。Rt :一般方程 ,12 1 yx。3 21 zy 即 , 012 yx , 023 zy 对称方程 例 解 , )1 ,0 ,0( jiML 且平行于向量过点直线 )( 。对称方程的标准方程求直线L , ,/ 可取方向向量所以因为jiL )0 ,1 ,1 (。 jis , )1 ,0 ,0( 的标准方程为故直线又直线过点LM 0 11 1 。 zyx 0 1 。或者写为 zyx 例解 : L求直线 0532 zyx 0223 zyx 的标准方程。 )2 ,1 ,3 ( , )1 ,3 ,2 ( 21。为两个平面的法向量分别 nn , , : , 21 nsnssL 满足其方向向量为两平面的交线直线 故取 ). 11 , 7 , 5( 213 132 21 kjinns , 0 , 得到方程组不妨令上的一点为求直线zL , 532 yx , 23 yx , 1 , 1 yx )0 ,1 ,1 ( 。过点ML 例解 : L求直线 0532 zyx 0223 zyx 的标准方程。 )2 ,1 ,3 ( , )1 ,3 ,2 ( 21。为两个平面的法向量分别 nn , , : , 21 nsnssL 满足其方向向量为两平面的交线直线 故取 ), 11 , 7 , 5( 213 132 21 kjinns , 0 , 得到方程组不妨令上的一点为求直线zL , 532 yx , 23 yx , 1 , 1 yx )0 ,1 ,1 ( 。过点ML 的标准方程为L 117 15 1。zyx 三 . 与 直 线 有 关 的 几 个 问 题 .1两直线间的夹角 .2直线与平面间的夹角 .3直线共面的条件 .4点到直线的距离 在 处 理 与 平 面 有 关 个 问 题 时 ， 我 们 运 用 法 向 量 将问 题 归 结 为 相 应 的 向 量 问 题 来 处 理 。 类 似 地 ， 可 以 将直 线 间 的 问 题 归 结 为 它 们 的 方 向 向 量 间 的 相 应 问 题 来处 理 。 而 直 线 与 平 面 间 的 平 行 、 垂 直 、 夹 角 等 问 题 则可 利 用 它 们 的 方 向 向 量 和 法 向 量 来 处 理 。 这 样 就 可 将一 个 新 问 题 归 结 为 已 经 熟 悉 的 问 题 来 研 究 。 .1两直线间的夹角义定 , 角。称为这两条直线间的夹夹角两直线的方向向量间的 , , 2211则的方向向量为直线的方向向量为设直线sLsL , , , 2121 ssLL | | ,cos 21 2121。ss ssLL , 0 21。 LL 的条件两直线相互平行和垂直 设有直线 , : 1 11 11 11 pzzn yymxxL , : 2 22 22 22 pzzn yymxxL 则 0 / / 212121 ssssLL 0 212121 ssssLL 0 212121。 ppnnmm , 212121 ppnnmm 例解 : ) 5 ,2 ,3( 1LM且与直线求过点 34 zx 152 zyx 平行的 的方程。直线L 11为的方向向量直线sL )1,3,4()1,3,4( 512 401 1。 kjis ) 1 ,3 ,4( , , ,/ 11。即取可取所以因为 sssLL 的方程为故所求直线L 1 53 24 3。 zyx .2直线与平面间的夹角义定 , 2 的角影直线间所夹的小于直线与它在平面上的投 角。称为直线与平面间的夹 L ; 2 , 则规定若L 0 ,/ 。则规定若L L n L Ln s , 在直线与平面的交点处 和直线的作平面的法向量n , 记方向向量s , , ns 2 , 。则 ns , sin)2 ( cos , sin)2 ( cos 而 | ,cos| | cos| |)2 ( cos| sin ns ) 20 ( , | | |。 ns ns 定 理 1 ) ) , ,( ( : 000 pnmspzznyymxxL 设直线 ) , ,( ( 0 : 的交角与平面CBAnDCzByAx , 则为 ) 20 ( , | | |sin。 ns ns 例解 2 432 : zyxL求直线 062 : 的夹角。与平面 zyx , , ) 1 ,1 ,2( , ) 2 ,1 ,1 ( 所以因为 ns , 211)1(2211 |12)1(121| |sin 222222 ns ns 6 。的夹角与平面故直线 L 的条件直线与平面平行和垂直 ,) ) , ,( ( : 000 pnmspzznyymxxL 设有直线 ,) ) , ,( ( 0 : 则平面CBAnDCzByAx 0 / nsnsL 0 / nsnsL 0 。 CpBnAm , pCnBmA Lsn Lsn 1L 2L 1M 2M1s 2s .3直线共面的条件 ,) ) , ,( ,),( 111111111 pnmszyxML 方向向量为过点设直线 ) ) , ,( ,),( 222222222。方向向量为过点直线pnmszyxML , 21则引入向量MM , , 212121共面共面与 MMssLL 0)( 2121 MMss 0 222 111 121212 pnm pnm zzyyxx 定 理 2 ) ) , ,( ,),( 11111111的直线方向向量为过点pnmszyxM ) ) , ,( ,),( 222222221的直方向向量为与过点pnmszyxML 2共面的充要条件为线L 0 )( 222 111 1212122121。 pnm pnm zzyyxxMMss :由直线共面可知 空间中两条直线相交 行。且它们的方向向量不平 , 两条直线共面 例 解 2 13 1 : ,)3 ,1 ,2( 10 zyxLML 且与直线过点设直线 , 的方程。求直线垂直相交L ) , ,( 。的方向向量为设直线pnmsL , , , 11故有共面与所以垂直相交与由于LLLL , 02 123 0311)1(2 pnmpnm 023 。及 pnm , , , 满足方程组从而pnm , 02 pnm 023。 pnm 怎 么 解 ?!即可解令 1 p 41 , 21。 nm , ,满足方程组pnm , 02 pnm 023。 pnm , , , )1 ,2 ,3( , )1 ,2 ,1 ( 故取则令bsasba )4 ,1 ,2( 2)8 ,2 ,4( 123 121 。 kjibas 的方程为直线L 4 3112 2。 zyx )3 ,1 ,2( 0ML过点 求法。通过例题来说明交点的 .4坐标直线与平面相交的交点 例 解 5 34 22 1 : )10 ,3 ,4( 21 zyxLMM关于直线与点设点 , 2的坐标。求点对称ML 1M 2M M , , 1 MLM其交点为作平面过点 21的线段的中点。和为连接点且MMM , , 所以因为L )5 ,4 ,2(。 sn , )10 ,3 ,4( 1故它的方程为过点又平面M 070542。 zyx 点的坐标。程来求直线与平面的交我们利用直线的参数方 5 34 22 1 : 的参数方程为直线 zyxL , 1 2 tx , 2 4 ty 3 5。 tz ) , ( , 上也在上交点既在得的方程中将它代入平面 L , 070)3 5( 5)2 4( 4)1 2( 2 ttt , 从而 1554422 70352412。 t 070542: zyx 的交点的坐标为与平面故直线L , 3112 x , 6214 y , 8315 z )8 ,6 ,3( 。即M , ) , ,( )10 ,3 ,4( )8 ,6 ,3( 22221故的中点与是由于点zyxMMM , 2108 , 236 , 243 222 zyx 6) 9, (2, , 2。所求点为从而M 交点坐标计算方法。归纳直线与平面相交的 :交点坐标的方法计算直线与平面相交的 .1的参数方程写出直线L , 0 xtmx , 0ytny 0。ztpz .2的方程中的方程代入平面将L 0) ()() ( 000。 DztpCytnBxtmA , 0 .3时当 CpBnAm 唯一一个交点。 / , 0 , 0 000且无交点。时当LDCzByAxCpBnAm , 0 , 0 000上。位于时当LDCzByAxCpBnAm , 000 CpBnAm DCzByAxt 定 理 3 , ) , ,( , ),( 0000 pnmszyxML 方向向量通过点设直线 ) , ,( 的距离为到直线则空间中任意一点LzyxM | |d 0。s sMM Ls0M M d :如图所示 d底边长平行四边形的面积。 | | 0 s sMM .5点到直线的距离 例 解 : ) 1 ,1 ,2( LM到直线求点 012 zyx 032 zyx d 。的距离 直线的方向向量 )4 ,2 ,0( 121 121 。 kjis , 0 得方程组令y , 1zx , 3zx )2 ,0 ,1( 0。上一点解之得ML。故 546420 6)12()2(| |d 222 2220 s sMM , )6 ,12 ,2( 420 113 0 kjisMM L1 2四 . 平 面 束 方 程 : L设直线 , 0 11111 DzCyBxA 0 22222 。 DzCyBxA 的平面将有无穷多个。则通过直线Lk 的方程？如何表示平面k ) , 2 , 1 ( k : L设直线 , 0 11111 DzCyBxA 0 22222 。 DzCyBxA : L以下的平面均通过直线0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA 0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA ) ( R , 0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA 0 1111 。 DzCyBxA 。即直线L 1。它不包含 : L设直线 , 0 11111 DzCyBxA 0 22222 。 DzCyBxA : L以下的平面均通过直线0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA 0)( )( 22221111 DzCyBxADzCyBxA ) ( R 0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA。该式不含平面 2。该式不含平面 1一 般 情 形 义定 : L设直线 , 01111 DzCyBxA , 02222 DzCyBxA 则称)2( 0)( )( 22221111 DzCyBxADzCyBxA )1( 0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA 和 , , 。其中的平面束方程为过直线RL 0 )1( 1111 。不包含平面方程 DzCyBxA 0 )2( 2222 。不包含平面方程 DzCyBxA注 意 例 解 : L求通过直线 0 zyx 01 zyx )1,1 ,1 ( 的平面方程。和点M 的平面束方程为通过直线L 0)1( )(。 zyxzyx , , )1,1 ,1 ( 有所以因为平面过点M , 0)1)1(11( )1(11( , 2 3 得所求平面方程为将它代入平面束方程后。即 035。 zyx 例 解 : L求通过直线 02 yx 06324 zyx 4 222 zyx且与球面 相切的平面方程。 的平面束方程为通过直线L , 0)2( )6324( yxzyx 063)2()24( 。即为 zyx , 2d )0 ,0 ,0( ,即到平面的距离故球心因为平面与球面相切O , 3)2()2(4 |6030)2(0)24(| 2 222 , 2 所求平面方程将它代入平面束方程得解此方程得 2。z 球 心 到 直 线 L 的距 离 为 2 ， 故 所求 平 面 是 唯 一 的 。 例 解 : L求直线 042 zyx 0923 zyx 014 : 上的投影直线。在平面 zyx , 11的交线与则垂直的平面且与平面求出过直线L 上的投影直线。在平面即为直线L 的平面束方程为过直线L , 0)923( )42( zyxzyx 09)21()4()32( 。即为 zyx 0117373117 :1。 zyx 为从而所求投影直线方程0117373117 zyx 014 zyx , 得条件由平面相互垂直的充要 , 0)21(1)4()1()32(4 , 11 13 1的方程代入平面束方程得平面解此方程得 09)21()4()32( zyx 014 : zyx