数学分析傅立叶级数

12.3 函 数 的 Fourier级 数 展 开 Fourier级 数 的 收 敛 定 理定 义 （ 分 段 光 滑 函 数 ）若 函 数 f的 导 函 数 在 a,b连 续 ， 则 称 f在 a,b光 滑 ；若 f在 a,b上 至 多 有 有 限 个 第 一 类 间 断 ， 且 其 导 函 数 除 有 限个 点 外 都 存 在 且 连 续 ， 且 在 有 限 个 点 上 导 函 数 的 在 左 右 极限 存 在 ， 称 f在 a,b按 段 光 滑 .定 理 3 若 f是 以 为 周 期 函 数 ， 在 a,b上 分 段 光 滑 ， 则在 a,b上 ， f的 傅 立 叶 级 数 收 敛 于 的 左 右 极 限 的 平 均值 0 1( 0) ( 0) ( cos sin )2 2 n nnaf x f x a nx b nx ,n na b 为 f的 傅 立 叶 级 数 系 数 t ttu 0,1 0,1)( 级 数 ？将 它 展 成 Fourier o tu 11一 、 以 为 周 期 的 函 数 的 Fourier级 数 展 开2解 1 )12sin()12( 4)( n tnntu 级 数 为 ：相 应 的 Fourier)(tu 处 ，的 不 连 续 点在 ),2,1,0()( kkttu 2 11级 数 收 敛 于 ,0 ),(, tu收 敛 到在 连 续 点 处 1 )12sin()12( 4)( n tnntu ),2,0;( tt所 以 函 数 的 傅 氏 展 开 式 为 ：和 函 数 图 像 为 o tu 1 1 注 意 :对 于 非 周 期 函 数 ,如 果 函 数 只 在区 间 上 有 定 义 ,并 且 满 足 收 敛 定理 条 件 ,也 可 展 开 成 傅 氏 级 数 . )(xf, 作 法 : ),()()()2( xfxFT周 期 延 拓 )0()0(21 ff端 点 处 收 敛 于 解 所 给 函 数 满 足 定 理 条 件 . xy0 22 为 周 期 的 函 数 ，上 的 以为延 拓 2),()( xf ),(xF记 为 nxdxxfan cos)(1 1)1(22 nn dxxFa )(10 00 1)(1 xdxdxx ,于 是 dxxf )(1 ,2,1,2,0 ,2,1,12,)12( 4 2 kkn kknk nxdxxfbn sin)(1 00 sin1sin)(1 nxdxxnxdxx 1 2 )12cos()12( 142)( n xnnxF )( x所 以 ),3,2,1( n )( x 1 2 )12cos()12( 142)( n xnnxf ,特 别 的 利 用 傅 氏 展 开 式 求 级 数 的 和 ,)12cos()12( 142)( 1 2 n xnnxf ,0)0(,0 fx 时当 222 513118 ,4131211 222 设 ),8(51311 2221 ,614121 2222 ,4131211 2223 ,44 212 ,243 212 21 ,62 13 2 .122 二 、 正 弦 级 数 与 余 弦 级 数1. 奇 函 数 和 偶 函 数 的 傅 里 叶 级 数定 理 证 明 ,)()1( 是 奇 函 数设 xf nxdxxfan cos)(1 0 ),3,2,1,0( n奇 函 数 0 sin)(2 nxdxxf ),3,2,1( n同 理 可 证 (2)定 义 如 果 )(xf 为 奇 函 数 ,傅 氏 级 数 nxbn n sin1称 为 正 弦 级 数 . 如 果 )(xf 为 偶 函 数 , 傅 氏 级 数 nxaa n n cos2 10 称 为 余 弦 级 数 . nxdxxfbn sin)(1 偶 函 数 解 所 给 函 数 满 足 定 理 条 件 , ,),2,1,0()12( 处 不 连 续在 点 kkx 2 )0()0( ff级 数 收 敛 于 ,0 ),()12( xfkxx 处 收 敛 于在 连 续 点 ,2)()12( 为 周 期 的 奇 函 数是 以时 xfkx 0 sin)(2 nxdxxfbn 0 sin2 nxdxx 02 sincos2 nnxn nxx nncos2 ,)1(2 1 nn ),2,1( n )3sin312sin21(sin2)( xxxxf .sin)1(2 1 1 n n nxn ),3,;( xx ),2,1,0(,0 nan 2 2 3 3 xy0和函数图像 2. 函 数 展 开 成 正 弦 级 数 或 余 弦 级 数).( 2,0)(xF xf函 数 为 周 期 的延 拓 成 以上定 义 在设 ,0)( 0)()( xxg xxfxF令 ),()2( xFxF 且常 用 如 下 两 种 情 况 .偶 延 拓奇 延 拓 奇 延 拓 : )()( xfxg 0)( 00 0)()( xxf x xxfxF则 xy0 的 傅 氏 正 弦 级 数)(xf 1 sin)( n n nxbxf )0( x 偶 延 拓 : )()( xfxg 0)( 0)()( xxf xxfxF则 的 傅 氏 余 弦 级 数)(xf 10 cos2)( n n nxaaxf )0( x xy0 解 (1)求 正 弦 级 数 . ,)( 进 行 奇 延 拓对 xf 0 sin)(2 nxdxxfbn 0 sin)1(2 nxdxx)coscos1(2 nnn ,6,4,22 ,5,3,122 nn nn 当 当 3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx )0( x 5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(2 xxxxxy 1 xy (2)求 余 弦 级 数 . ,)( 进 行 偶 延 拓对 xf 00 )1(2 dxxa ,2 0 cos)1(2 nxdxxan )1(cos22 nn ,5,3,14 ,6,4,202 nn n当当 5cos513cos31(cos4121 22 xxxx )0( x 1 xy )7cos715cos513cos31(cos412 222 xxxxy 三 、 以 2l为 周 期 的 傅 氏 级 数 ltxtlx 或 ) ()( ltftF 则定 理 的 条 件满 足如 果 , )( DinitF 其 中 ,2,1,0,cos)(1 nntdttFan ,2,1,0,sin)(1 nntdttFbn )sincos(2)( 10 n nn ntbntaatF lln ndxlxnxfla ,2,1,0,cos)(1 lln ndxlxnxflb ,2,1,0,sin)(1 )sincos(2 10 n nn lxnblxnaaxf 便 有换 回 ,x ,)()1( 为 奇 函 数如 果 xf 则 有 ,sin)( 1 n n lxnbxf ,sin)(2 0 dxlxnxflb ln 其 中 系 数 ),2,1( n,)()2( 为 偶 函 数如 果 xf 则 有 ,cos2)( 10 n n lxnaaxf dxlxnxfla ln 0 cos)(2 其 中 系 数 ),2,1,0( n k2 xy 20 44解 20020 21021 kdxdxa ,k 20 2cos21 xdxnk ,0 20 2sin21 xdxnkbn )cos1( nnk,6,4,20 ,5,3,12 nnnk 当当 )25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf ),4,2,0;( xxna ),2,1( n 解 ,10 xz作 变 量 代 换 155 x ,55 z)10()( zfxf ),(zFz ,)55()( 的 定 义补 充 函 数 zzzF ,5)5( F令 )10()( TzF 作 周 期 延 拓然 后 将 ,收 敛 定 理 的 条 件这 拓 广 的 周 期 函 数 满 足 ).()5,5( zF内 收 敛 于且 展 开 式 在 x)(zFy5 50 1510),2,1,0(,0 nan 50 2sin)(52 dzznzbn ,10)1( nn ),2,1( n ,5sin)1(10)( 1 n n znnzF )55( z 1 )10(5sin)1(1010 n n xnnx .5sin)1(10 1 n n xnn )155( x 另 解 155 5cos)10(51 dxxnxan 155 5sin)10(51 dxxnxbn 155155 5cos515cos2 dxxnxdxxn ,0 1550 )10(51 dxxa ,0 ,10)1( nn ),2,1( n 1 5sin)1(1010)( n n xnnxxf故 )155( x ),2,1( n