信号分析与处理初步

第 4章 信 号 分 析 与 处 理 初 步 总 述 信 号 分 析 与 处 理 是 在 介 绍 信 号 基 本 特 征和 时 频 域 基 本 分 析 方 法 的 基 础 上 ， 学 习 连 续 信号 和 离 散 信 号 的 傅 立 叶 变 换 、 快 速 傅 立 叶 变 换 ，针 对 图 象 等 二 维 信 号 ， 讲 述 二 维 傅 立 叶 变 换 和余 弦 变 换 。 讲 述 现 代 信 号 处 理 领 域 的 时 频 分 析和 小 波 变 换 。 结 合 实 际 ， 介 绍 滤 波 器 设 计 、 时频 分 析 、 小 波 变 换 在 信 号 处 理 中 的 典 型 应 用 。 复杂程度1. 信 号 的 实 例 和 描 述 心 电 图 实 例音 乐 信 号 展 开 后 显 示 的 wav 波 形图 像 银 河 系 中国石化股票K 线图 2 信 号 的 分 类 连 续 时 间 信 号 和 离 散 时 间 信 号连 续 时 间 信 号 :信 号 的 自 变 量 取 值 连 续 可 变离 散 时 间 信 号 :自 变 量 只 能 在 离 散 的 点 上 取 值 图 4.2 连 续 时 间 信 号 一 例 :心 电 图 信 号 R P T Q S)(tx 0 (b) 图 4.3 离 散 时 间 信 号 的 例 子 ：（ a） 日 销 售 额 统 计 ；（ b） 正 弦 函 数 采 样 后 序 列 1百 万 0 1 2 3 4 5 6 7 (a) )(1 nx n n)(2 nx 周 期 信 号 和 非 周 期 信 号 周 期 信 号 的 例 子,2,1,0 )()( ,2,1,0 )()( m nxmNnxm txmTtx 图 4.4 周 期 信 号 (a)(txT o T t -4 -2 0 2 4 6 (b) n)(nx 正 弦 序 列 为 周 期 函 数 的 条 件对 于 一 个 连 续 时 间 函 数 ， 总 有 下 式 成 立 ：)(coscos 00 Ttt 对 于 离 散 正 弦 序 列 ， 未 必 有 整 数 N使 下 式 成 立 ： )(coscos 00 Nnn ,20 kN 02 kN只 有 当 为 有 理 数 时 ，为 n的 周 期 函 数 。 周 期 信 号 和 非 周 期 信 号 注 意 ： 连 续 正 弦 信 号 一 定 是 周 期 信 号 ， 而 正 弦 序 列不 一 定 是 周 期 序 列 。 两 连 续 周 期 信 号 之 和 不 一 定 是 周 期 信 号 ， 而两 周 期 序 列 之 和 一 定 是 周 期 序 列 。 确 定 性 信 号 和 随 机 信 号确 定 性 信 号 : 变 化 规 律 可 以 用 一 个 确 定 的 连 续 或 离 散 函 数 表 示 。随 机 信 号 : 若 信 号 不 能 用 确 切 的 函 数 描 述 ， 在 任 意 时 刻 的 取 值 都 具 有 不 确 定 性 ， 只 可 能 知道 其 统 计 特 性 ， 如 某 时 刻 取 某 一 数 值 的 概率 ， 称 这 类 信 号 为 随 机 信 号 。 电 子 系 统 中的 起 伏 热 噪 声 、 雷 电 干 扰 信 号 就 是 两 种 典型 的 随 机 信 号 。 能 量 信 号 和 功 率 信 号连 续 时 间 信 号 的 能 量 定 义 为 ：离 散 时 间 信 号 的 能 量 定 义 为 ： dttxdttxE TTT 22 |)(|)(|lim nN NnN nxnxE 22 |)(|)(|lim dtxdttxE TT 22 |)(|)(| 有 限 区 间 或 上 的 信 号 能 量 定 义 为 ：21,tt 21,nndttxE tt 21 2|)(| 2 1 2|)(|n nn nxE连 续 时 间 信 号 和 离 散 时 间 信 号 的 平 均 功 率 分 别定 义 为 ： dttxTP T TT 2|)(|21lim NNnN nxNP 2|)(|12 1lim 能 量 为 有 限 值 的 信 号 为 能 量 信 号 , 能 量 信 号 的 功 率 为 零 (一 般 非 周 期 信 号 属 于 能量 有 限 信 号 )功 率 为 有 限 值 的 信 号 为 功 率 信 号 ,功 率 信 号 具 有 有 限 的 平 均 功 率 和 无 限 的 能 量 .0, PE 0, PE PE , 一 维 信 号 和 多 维 信 号 从 数 学 表 达 式 来 看 ， 信 号 可 以 表 示 为 一 个 或多 个 变 量 的 函 数 ， 称 为 一 维 或 多 维 函 数 。 语 音 信 号 可 表 示 为 声 压 随 时 间 变 化 的 函 数 ，这 是 一 维 信 号 。 而 一 张 黑 白 图 像 每 个 点 (像 素 )具有 不 同 的 光 强 度 ， 任 一 点 又 是 二 维 平 面 坐 标 中 两个 变 量 的 函 数 ， 这 是 二 维 信 号 。 还 有 更 多 维 变 量的 函 数 的 信 号 。 n 基 本 分 类 ： 连 续 时 间 信 号 和 离 散 时 间 信 号 ； 周 期 信 号 和 非 周 期 信 号 ； 确 定 性 信 号 和 随 机 信 号 ； 一 维 信 号 与 多 维 信 号 。n 并 非 所 有 的 分 类 都 是 完 备 的 。n 至 少 理 论 上 有 既 不 属 于 能 量 信 号 ,也 不 属 于 功 率 信号 的 信 号 。小 结 ： n 根 据 不 同 的 角 度 有 不 同 的 分 类 如 频 谱 集 中 在 平 均 频 率 相 对 小 的 频 带 内 的 信 号 称窄 带 信 号 ,否 则 为 宽 带 信 号 ;信 号 的 持 续 时 间 很 短 ,称 为 短 脉 冲 或 射 频 脉 冲 . n 平 稳 信 号 和 非 平 稳 信 号 :瞬 时 频 率 为 确 定 值 的 信 号称 为 平 稳 信 号 3 信 号 的 主 要 特 征n 信 号 的 幅 度n 信 号 的 时 间 和 频 率 描 述n 信 号 的 时 宽 和 带 宽 计 算n 信 号 的 瞬 时 频 率 n 信 号 幅 度 A -A )cos()( 0 ttx A to正 弦 信 号 图 4.5 实 指 数 信 号 (b) to tCetx )( 0 (a) to tCetx )(0 信 号 的 时 间 和 频 率 描 述n 时 间 描 述 ： 对 一 个 给 定 的 信 号 有 许 多 种 描 述 方 法 :函 数 表 达 式 、 数 据 序 列 、 图 形 和 图 表 等 ， 这 种 描述 大 多 和 时 间 有 关 。 如 持 续 时 间 长 短 、 周 期 等n 频 率 描 述 ： 变 化 着 的 频 率 也 是 最 基 本 的 特 征 之 一 ，如 日 落 时 美 丽 的 晚 霞 、 优 美 动 听 的 音 调 及 日 常 中的 频 率 现 象 。时 间 和 频 率 是 描 述 信 号 的 两 个 最 基 本 的 物 理 量 图 4.6不 同 频 率 时 的 离 散 时 间 正 弦 序 列 o n1)0cos()( nnx o n)4cos()( nnx o n)2cos()( nnx o n)cos()( nnx o n)23cos()( nnx o n)47cos()( nnx o n)2cos()( nnx o n)49cos()( nnx ttxjX tj de)()( n 信 号 是 变 化 的 。 一 是 指 幅 度 随 时 间 的 变 化 ， 二 是频 率 随 时 间 的 变 化 。 频 率 不 变 的 是 单 频 率 信 号 ，方 波 、 三 角 波 是 多 频 率 信 号 。n 傅 立 叶 于 1807年 提 出 了 傅 立 叶 级 数 的 概 念 ， 即 任一 周 期 信 号 可 分 解 为 复 正 弦 信 号 的 叠 加 ， 通 过 傅立 叶 变 换 ， 给 出 了 非 周 期 信 号 分 解 的 概 念 。 de)(21)( tjjXtx n 多 频 率 信 号 的 叠 加 0 1.91 3.82 5.73 7.64 -2 0 2 t ( ms ) x a ( t ) 0 1.91 3.82 5.73 7.64 -2 0 2 t ( ms ) x b ( t ) 0 1.91 3.82 5.73 7.64 -2 0 2 t ( ms ) x a+b ( t ) 0 1.91 3.82 5.73 7.64 -2 0 2 nT ( ms ) x a+b ( nT )(tx a )(txb )(tx ba图 4.7(a) (b) (c)叠 加 后 (d)离 散 信 号 周 期 信 号 的 频 谱 24 2 3 4 535 )(taS1 to图 4.9 采 样 函 数图 4.8 0 5 10 15 20 0 0.5 1 k ( k1 ) ck / (2A/T) 0 5 10 15 20 0 pi k ( k1 ) k 0 5 10 15 20 0 0.5 1 k ( k1 ) c1k / (2A/T) (a)幅 频 特 性 (b)相 频 特 性 (c)幅 相 特 性 图 4.10周 期 脉 冲 信 号 的 频 谱 周 期 信 号 频 谱 的 特 点1 基 本 特 点 离 散 性 和 谐 波 性2 常 见 周 期 信 号 频 谱 的 衰 减 性 和 无 限 带 宽 特 点3 时 域 中 的 跳 变 会 产 生 丰 富 的 高 频 分 量4 频 谱 包 络 线5 “主 瓣 ” 宽 度 ,“旁 瓣 ” 宽 度 ;6 谱 线 条 数 7 脉 宽 一 定 ,周 期 增 大 ,零 点 不 变 ,谱 线 变 密8 周 期 一 定 ,脉 宽 减 小 ,谱 线 疏 密 不 变 ,零 点 外 扩 2B1fB n 周 期 、 脉 宽 引 起 频 谱 的 变 化 -2T -T 0 T 2T 0 A t x ( t ) T = 8, = 2 . . -10 -5 0 5 10 0 0.125 0.25 k ( k1 ) |XT ( k1 )| / A -T 0 T 0 A t x ( t ) T = 16, = 2 . . -20 -10 0 10 20 0 0.125 0.25 k ( k1 ) |XT ( k1 )| / A -2T -T 0 T 2T 0 A t x ( t ) T = 8, = 1 . . -10 -5 0 5 10 0 0.125 0.25 k ( k1 ) |XT ( k1 )| / A图 4.11周 期 、 脉 宽 引 起 频 谱 的 变 化 n 周 期 信 号 过 渡 到 非 周 期 信 号 的 频 谱 -T 0 T 0 A t x T ( t ) . . -10 0 10 0 0.5 1 k ( k 1 ) |X T ( k 1 )| / (A/T) 0 0 A t x( t ) 0 0 0.5 1 X( ) / (A)图 4.12周 期 脉 冲 信 号 及 其 频 谱 及 单 个 脉 冲 信 号 及 其 频 谱 n 信 号 的 时 宽 和 带 宽 计 算现 实 中 常 常 是 复 杂 的 时 间 信 号 ， 幸 好 简 单 信 号 存 在 ， 所 以研 究 简 单 信 号 的 特 征 ， 才 能 更 好 理 解 复 杂 信 号n 时 间 波 形 的 特 征 ：时 间 中 心时 间 宽 度持 续 时 间 n 信 号 的 时 间 特 征 计 算时 间 中 心 （ 时 间 均 值 ） ： 1 22 xEdttxtEtt 20 )(1 时 宽 （ 方 差 ） ： dttxttEtt 2202 )()(1 一 般 假 设 为 归 一 化 (标 准 化 )函 数 则dttxttt 20 )( 222202 )()( ttdttxtttt 由 时 间 均 值 和 方 差 可 以 知 道 信 号 集 中 在 什 么 地 方 ， 并是 否 集 中 在 均 值 周 围 。 如 果 方 差 小 ， 信 号 大 部 分 集 中 在 时间 中 心 周 围 ， 且 会 迅 速 衰 减 ， 持 续 时 间 短 ， 反 之 相 反 。 n信 号 的 频 率 特 征 ：频 率 中 心频 带 宽 度1822年 ,傅 立 叶 提 出 了 频 谱 分 解 的 概 念 .通 过 傅 立 叶 变换 ,原 来 比 较 抽 象 的 频 率 概 念 具 体 化 了 . 带 宽 :占 信 号 整 个 能 量 某 百 分 比 的 频 率 范 围 称为 频 带 宽 度 .分 析 得 知 :持 续 信 号 越 小 或 时 间 信 号 越 集 中 ,带宽 越 大 ,反 之 . n 信 号 的 频 率 特 征 ： dtetxjX tj )()(傅 里 叶 正 变 换 : )()()()( )( IRj jXXejXjX 经 过 一 百 多 年 的 发 展 ,傅 立 叶 分 析 不 仅 成 为 了 一 个 重 要的 数 学 分 支 ， 且 成 为 信 号 分 析 与 处 理 的 重 要 工 具 .至 尽 ,任 何一 本 信 号 与 系 统 、 信 号 处 理 等 书 籍 都 能 看 到 傅 立 叶 的 论 述 ，可 见 其 在 信 息 科 学 中 的 作 用 。帕 斯 瓦 尔 方 程 式 : djXdttxE 22 )(21)( 傅 立 叶 变 换 的 局 限 性 ：n 傅 里 叶 变 换 的 幅 度 谱 、 能 量 谱 ： 在 信 号 总 的 持 续 时间 内 存 在 那 些 频 率 ， 但 并 没 有 告 诉 这 些 频 率 在 什 么 时间 存 在 ？ (相 位 ？ )n 大 概 知 道 信 号 的 快 速 变 化 或 尖 峰 与 较 高 频 率 相 对 应 ，但 更 想 确 切 知 道 信 号 在 某 个 特 定 时 刻 （ 或 一 个 短 的 时间 范 围 ） 该 信 号 对 应 的 频 率 是 多 少 ？n 为 得 到 某 一 个 频 率 处 的 傅 立 叶 变 换 ， 需 要 整 个 时 间 域的 信 息 ， 反 之 一 样 。n 傅 立 叶 变 换 缺 乏 时 间 频 率 定 位 功 能 n 信 号 的 频 率 特 征 计 算频 率 中 心 ： dX 20 )( 带 宽 （ 方 差 ） ： 22 2202 )()( dX 由 均 值 和 方 差 可 以 知 道 信 号 能 量 集 中 在 什 么 频 率 范 围 ，并 是 否 集 中 在 均 值 周 围 。 如 果 方 差 小 ， 信 号 大 部 分 集 中 在中 心 周 围 ， 且 会 迅 速 衰 减 ， 反 之 相 反 。 n 信 号 的 时 宽 带 宽 积 （ Time-bandwidth product) 信 号 的 持 续 时 间 越 短 ， 带 宽 越 大 ， 反 之 。定 义 ： 为 时 间 带 宽 积 ， 与 量 子 物 理 学 的 测 不 准 原 理 相 类 似 ， 持 续 时 间 和 带 宽 不 能 同 时 为 任 意 小 。41 tn 不 确 定 原 理 不 确 定 原 理 是 傅 立 叶 变 换 对 的 基 本 表 述 ,是 物 理 、化 学 领 域 最 伟 大 的 发 现 成 就 之 一 .表 明 ： 人 们 不 可 能 构造 一 个 时 宽 和 带 宽 都 任 意 小 的 信 号 。 t n 紧 支 撑 若 信 号 的 持 续 时 间 有 限 ， 称 其 为 紧 支 撑（ compact support)， 对 频 率 域 ， 也 有 类 似 的 称 呼 。 1)( tn 无 限 短 持 续 信 号 具 有 无 限 大 的 带 宽 n 时 间 无 限 长 信 号 具 有 无 限 短 的 带 宽 )(1 n 什 么 信 号 具 有 最 小 时 宽 带 宽 积 ？ 可 以 证 明 高 斯 窗 函 数 具 有 这 个 性 质 。 可 计 算 出 224/1/)( tetx 高 斯 信 号 的 时 域 和 频 域 都 具 有 对 称 原 点 的 高 斯 特 性4/1 2,21 0,0,1 00 tt tE n 时 频 分 辨 率 分 辨 率 (resolution)是 信 号 处 理 的 基 本 概 念 ， 定 义为 对 信 号 能 做 出 辨 别 时 时 域 或 频 域 的 最 小 间 隔 (又 称 最小 分 辨 细 胞 ) 时 间 分 辨 率 ： 通 过 一 个 时 域 窗 可 以 观 测 信 号 的 时 间 宽 度 频 率 分 辨 率 ： 通 过 一 个 频 域 窗 可 以 观 测 信 号 的 频 率 宽 度 希 望 既 能 得 到 好 的 时 间 分 辨 率 ， 又 能 得 到 好 的 频 率 分辨 率 ， 但 由 不 确 定 原 理 知 道 ， 两 者 不 能 同 时 达 到 最 好 。 可 以 根 据 信 号 的 特 点 或 信 号 处 理 的 任 务 选 取 不 同 的 时间 、 频 率 分 辨 率 ， 当 时 域 发 生 快 变 时 ， 希 望 时 间 分 辨 率 高 ，反 之 一 样 。 n 傅 立 叶 变 换 的 局 限 三 可 以 看 出 用 傅 立 叶 变 换 分 析 信 号 的 频 率 特 性 时 ， 具 有最 好 的 频 率 分 辨 率 ， 却 有 最 坏 的 时 间 分 辨 率 。 傅 立 叶 反 变换 的 情 况 正 好 相 反 。 )(2 sincos )()( 0 0000 tj tj tje tjte dtetxjX 如 果 是 矩 形 窗 ， 对 信 号 起 到 了 截 短 作 用 ， 时 窗 取 得 越窄 ， 频 谱 的 主 瓣 越 宽 ， 导 致 频 率 分 辨 率 下 降 。 所 以 傅 立 叶变 换 无 法 根 据 信 号 的 特 点 自 动 调 节 时 频 分 辨 率 ， 这 是 傅 立叶 分 析 的 第 三 大 不 足 。 n 信 号 的 瞬 时 频 率 正 弦 信 号 是 最 常 见 的 信 号 ， 推 广 到 调 制 信 号 )()( )()( )(cos()()( )(tt etAtx ttAtxi tj 信 号 的 瞬 时 频 率 （ instantaneous frequency） ： 瞬时 频 率 为 相 位 的 导 数 。 或 称 做 每 一 时 刻 的 频 率 。 瞬 时 频 率 作 为 一 种 经 验 现 象 每 天 都 能 感 觉 到 ， 如 变化 的 色 彩 、 变 化 的 音 调 等 ， 平 稳 信 号 和 非 平 稳 信号 以 此 划 分 。 n 平 稳 信 号 ： 不 论 是 单 频 率 信 号 还 是 多 频 率 信 号 ， 信 号 的 瞬时 频 率 不 随 时 间 变 化 ， 这 样 信 号 的 傅 立 叶 变 换 与 时 间 无 关 ，为 单 变 量 函 数 。 因 此 傅 立 叶 变 换 只 适 用 于 平 稳 信 号 ；n 非 平 稳 信 号 ： 频 率 随 时 间 变 化 的 信 号 为 非 平 稳 信 号 。 现 实世 界 中 绝 大 多 数 信 号 属 于 非 平 稳 信 号 2)( tjetx 瞬 时 频 率 ： tti 2)(瞬 时 频 率 正 比 于 时 间 ， 随 着 时 间 的 增 大 ， 信 号 的 震 荡 越 来 越快 ， 称 为 线 性 频 率 调 制 信 号 。 但 傅 立 叶 变 换 反 映 不 出 信 号频 率 随 时 间 线 性 增 长 的 特 点 。 4.4 信 号 分 析 与 处 理 系 统 框 图n 模 拟 信 号 通 过 抗 混 叠 滤 波 器 ,将 输 入 信 号 的 最 高 频 率 限 制 在 一 定 范 围 ,以 免 采 样 时 发 生 频 谱 混 叠 ；n A/D转 换 器 完 成 信 号 的 采 样 、 量 化 、 编 码 。 将 模 拟 信 号 转 换 成 离 散 的数 字 信 号 ； n 数 字 信 号 处 理 (计 算 机 、 单 片 机 、 DSP、 专 用 数 字 信 号 处 理 设 备 ） 对信 号 进 行 分 析 处 理 ；n 如 果 需 要 再 通 过 D/A转 换 ， 转 换 为 模 拟 信 号 ， 进 行 平 滑 滤 波 。如 音 乐 录 制 技 术 是 端 到 端 的 模 拟 形 式 ， 数 字 CD处 理 的 是 数 字 信 号抗 混叠滤 波器 A/D 数 字 信号 处 理器 D/A 输 出滤 波器 信 号 分 析 ：n 通 过 解 析 或 测 试 方 法 找 出 不 同 信 号 的 特 征 ， 了 解其 特 性 ， 掌 握 随 时 间 和 频 率 变 化 的 规 律 ；n 将 复 杂 波 形 信 号 分 解 为 若 干 简 单 信 号 的 和 ；n 用 有 限 的 一 组 参 量 表 示 信 号 ；n 通 过 对 信 号 特 征 等 深 入 分 析 ， 得 到 系 统 特 性 ， 如运 行 情 况 、 故 障 信 息 等 n 信 号 处 理 ； 对 信 号 变 换 、 加 工 、 放 大 、 提 取 特 征 、传 输 、 存 储 ， 达 到 一 定 目 的 ， 如 去 噪 、 压 缩 、 还原 等n 一 维 信 号 处 理 ： 主 要 包 括 傅 立 叶 变 换 、 拉 普 拉 斯变 换 、 谱 分 析 、 滤 波 等n 二 维 信 号 处 理 ； 图 象 处 理 如 小 波 变 换 、 离 散 余 弦变 换n 多 维 信 号 处 理 ： 传 感 器 阵 列 处 理 、 多 维 数 字 滤 波 、多 维 快 速 算 法特 点 是 软 硬 件 集 成 ， 专 用 信 号 处 理 芯 片 ， DSP 典 型 应 用 ：n 信 号 处 理 ； 数 字 滤 波 、 快 速 傅 立 叶 变 换 、 相 关 计 算 、 谱 分析 、 卷 积 、 加 窗 分 析n 通 信 ； 调 制 解 调 、 压 缩 编 码 、 扩 频 通 信 、 多 路 复 用n 音 频 信 号 ； 语 音 编 码 、 合 成 、 语 音 识 别 、 传 输n 视 频 /图 象 处 理 ： 视 频 压 缩 与 传 输 、 图 象 识 别 、 分 类 、n 生 物 医 学 ： CT扫 描 、 心 脑 电 图 处 理 、 核 磁 共 振n 网 络 信 息 处 理 ： 入 侵 检 测 、 安 全 审 计 、 智 能 防 御n 故 障 诊 断 ： 多 传 感 器 数 据 处 理 、 特 征 提 取 、 信 息 融 合n 军 事 应 用 ： 雷 达 、 声 纳 信 号 处 理 、 导 弹 探 测 与 制 导