数字信号处理整数性滤波器

第十章 整数型滤波器 人 造 关 节 零极点对消基础上的简单整系数滤波器在单位圆上等间隔分布N个零点， 则构成“梳状滤波器”。 如果在z=1 处再设置一个极点， 对消该处的零点， 则构成低通滤波器， 其系统函数和频率响应函数分别为 1 ( 1) /21( ) 11 sin( /2)( ) 1 sin( /2)NLp j Nj j NLp jzH z z e NH e ee (10.1a） (10.1b) 图 10.1 低通滤波器零、 极点分布及幅频特性(N=10) (a) (10.1a)式的零、 极点分布图； (b) (10.1b)式的幅频特性Imz Rez(a) 0H(e j ) 0510 0.1 0.2 0.50.3 0.4(b)2 /10 /2 基于同样的思想， 在z=-1 处设置一个极点对消该处的零点， 则构成高通滤波器， 其系统函数及频率响应函数分别为 1 ( 1) /2 /21( ) 11 sin( /2)( ) 1 cos( /2)NHP j Nj j NHP jzH z z e NH e ee (10.2a) (10.2b) 图 10.2 高通滤波器零、 极点分布及幅频特性 (a) (10.2a)式零、 极点分布； (b) 幅频特性0H(e j ) 0510 0.1 0.2 0.50.3 0.4(b)Imz Rez(a) 2 /10 /2 假设我们要求带通滤波器的中心频率为0， 0 0 ， 应当在z=ej0和z= e-j0处设置一对共轭极点， 则带通滤波器的系统函数和频响函数为 0 01 1 1 20( 2) /2 /2 01 1( ) (1 )(1 ) 1 2cos( )sin( /2)( ) cos cosN NBP j jj j NBP z zH z e z e z z zNH e e (10.3a) (10.3b) 图 10.3 带通滤波器零、 极点分布及幅频特性(N=12, 0=/6) (a) (10.3a)式的零、 极点分布； (b) 幅频特性曲线0H(e j ) 07 0.1 0.2 0.50.3 0.4(b)Imz Rez(a) /6 654321 /2 例如， 取理想全通滤波器频响为 HAP(e j)=ce -jm, m为正整数， c为常数 要从HBP(ej)中减去带通滤波器HBP (ej)时， 二者的相位特性必须一致。 为此， HBP(z)取为如下形式(若取(8.3.11a)式， 存在一常数相移/2)： 0 01 1 201 1( ) (1 )(1 ) 1 2cosN NBP j jz zH z e z e z z (8.3.12a) 相应的频响函数为( 2) /2 0cos( /2)( ) cos cosj j NBP NH e e (8.3.12b) 取HAP(ej)中的m=N/2-1即可满足相位特性一致条件， 带阻滤波器的系统函数和频响函数分别为( 1)2 1 2 0 ( 2) /201( ) ( ) ( ) 1 2cos( )cos( /2)( ) ( ) ( ) cos cosN NBS AP BPj j j j NBS AP BP zH z H z H z Cz z zNH e H e H e C e (8.3.13a) (8.3.13b) 11( ) ( )1 N kLP zH z z (8.3.14) 例 8.3.1 设计一个简单整系数低通滤波器， 要求f60 Hz时， 衰减不大于 3 dB， 阻带最大衰减s=40 dB， 采样频率fs=1200 Hz。 解 由(8.3.9b)和(8.3.14)式知道sin( /2)( ) sin( /2) k jLP NH e (8.3.15)式中有两个未知数N和k。 由已知条件可知： 通带边界频率fp=60 Hz， ap=3 dB， 相应的数字滤波器的 3 dB通带边界频率为12 2 60 1200 10 p pf T rad 为了书写简单， 令0 0 0 ( ) sin( /20)( ) sin( /20)sin(3 /2)( ) sin(3 /2 )sin( /20) 3, sin( )0.156 23 320lg 20lg( sin( ) ) 20lg( sin( )2 2Psj kLP kjLP PkjLP sk k P s kks s H e N HNH e HH e HNNH H NHa N NH N N (8.3.16) (8.3.17) (8.3.18) 当N较大时， sin(3/2N)3/2N， 所以， 可用 3/2N代替sin(3/2N)， 得到: 320 lg 13.46240 2.9713.46 13.463s sa k kakk 频响的主瓣宽度由N确定， 当p给定时， p与主瓣宽度有关。 所以， 为了求得N值， 应利用下式： 0 sin( /2)20lg 20lg sin( /2)sin20lg 20 lgsin kpp p pp NHa H Nx xa kx x 当p很小时， sin(p/2) p /2， 并令N p /2=x， 则 因为在p处sinx/x恒为正， 所以有/202 4 2 /20 sin 10sin 1 3! 5!1 103! p p k k xx x x xxx 将sinx/x展开成台劳级数：仅取前两项近似得 代入p=3 dB, k=3, 解出x=0.8078, N=5.14， 取N=6， 所求低通滤波器系统函数为 6 311( ) ( )1LP zH z z (8.3.19) 可求出|HLP(ej0)|=216， 如果希望|HLP(ej0)|=1, 则取6 311( )1( ) 216LP zzH z 例 8.3.2 在信号采集时， 往往会受到 50 Hz电源频率干扰， 现希望设计一个整系数 50 Hz陷波器， 滤除 50 Hz干扰。 要求陷波器阻带尽量窄， 最好在 50 Hz2 Hz以内， 而通带应尽量平坦。 给定采样频率f s=400 Hz， 试设计该陷波器。 解 由前述可知， 这类整系数陷波器要用一个全通滤波器减去一个带通滤波器实现。 所以， 该题的关键是设计一个满足要求的带通滤波器。 如前述， 带通滤波器的系统函数应取(8.3.12a)式的形式： 1 201( ) ( )1 2cos( )N kBP zH z z z (8.3.20) /4 1 /4 1 3 /4 1 3 1 4(1 )(1 )(1 )(1 ) 1j j j je z e z e z e z z 由于第一个极点z=ej/4一定是HBP(z)的一个零点， 所以将其代入(8.3.20)式分子中， 应有 4 (2 1)41 01 ,j Nj N j lee e l 为整数所以， N/4=2l+1, N=4(2l+1), 即N应是 4 的奇数倍， 即 4(2 1)441( ) 1 cos2(2 1) ( ) cos2lBP j j lBP zH z z lH e e (8.3.21a) (8.3.21b) 其频响函数为 24(2 1) 196 24 2 192242 4 2 4 22 19221 (1 )( ) ( ) (2 1) (1 ) 2041(1 )cos 196( ) 1 2041cos 2 llBS lj jBS z zH z z zl z zH e e (8.3.24a) (8.3.24b) 图 8.3.5 50 Hz数字陷波器幅频特性 (a) l=50, k=1; (b) l=24, k=1; (c) l=24, k=2