串联电路的谐振

9.8 串 联 电 路 的 谐 振谐 振 (resonance)是 正 弦 电 路 在 特 定 条 件 下 所 产 生 的 一种 特 殊 物 理 现 象 ， 谐 振 现 象 在 无 线 电 和 电 工 技 术 中 得 到 广 泛应 用 ， 对 电 路 中 谐 振 现 象 的 研 究 有 重 要 的 实 际 意 义 。 含 有 R、 L、 C的 一 端 口 电 路 ， 在 特 定 条 件 下 出 现端 口 电 压 、 电 流 同 相 位 的 现 象 时 ， 称 电 路 发 生 了 谐 振 。1. 谐 振 的 定 义R,L,C电路 U I RZIU 发 生谐 振 XR XXRCLRZ CLj )(j)1(j I R j L+_ Cj 1 U2. 串 联 谐 振 的 条 件谐振角频率 (resonant angular frequency)LC 10 谐振频率 (resonant frequency) LCf 2 1 0 时，电路发生谐振。当 1 0 00 CLX 谐 振 条 件仅 与 电 路 参 数 有 关 串联电路实现谐振的方式：（1） L C 不变，改变 。（ 2） 电 源 频 率 不 变 ， 改 变 L 或 C ( 常 改 变 C )。 0由 电 路 本 身 的 参 数 决 定 ， 一 个 R L C 串 联 电 路 只能 有 一 个 对 应 的 0 , 当 外 加 频 率 等 于 谐 振 频 率 时 ， 电路 发 生 谐 振 。3. RLC串 联 电 路 谐 振 时 的 特 点. ).1( 同相与 IU入 端 阻 抗 Z为 纯 电 阻 ， 即 Z=R。电 路 中 阻 抗 值 |Z|最 小。电 流 I达 到 最 大 值 I0=U/R (U一定)。 X( )|Z( )| XL( )XC( )R 0 Z ( )O I R j L+_ Cj 1 U + +_ _RU LU CU 相当于短路。LCUU CL ,0 (2) LC上的 电 压 大 小 相 等 ， 相 位 相 反 ， 串 联 总 电 压 为 零 ，也 称 电 压 谐 振 ， 即 UUR 上，电源电压全部加在电阻LU CU RU I UjQRULjILjUL UjQRULjCIjUC QUUU CL RCLRRLQ 1 0 特 性 阻 抗品 质 因 数当 0L=1/(0C )R 时， UL= UC U 例某收音机 L=0.3mH，R=10，为收到中央电台560kHz信号，求（1）调谐电容C值；（2）如输入电压为1.5V求谐振电流和此时的电容电压。ARUI 15.0105.1 )2( 0 pFLfC 269) 2( 1 )1( 2 +_ LCRu解VVXIU CC 5.1 5.1580 URLQUUo 0Cr (3) 谐 振 时 的 功 率P=UIcosUIRI02=U2/R，电 源 向 电 路 输 送 电 阻 消 耗 的 功 率 ， 电 阻 功 率 达 最 大 。0sin CL QQUIQ 2 00200200 1 , LIICQLIQ CL 电 源 不 向 电 路 输 送 无 功 。 电感 中 的 无 功 与 电 容 中 的 无 功大 小 相 等 ， 互 相 补 偿 ， 彼 此进 行 能 量 交 换 。 +_ PQL C R (4) 谐 振 时 的 能 量 关 系 tLICuw CC cos2121 022m2 tICLtCIuC 0mo00m cos)90 sin( tLILiw L sin2121 022m2 tUu 0m sin设tItRUi 0m0m sin sin 则电场能量磁场能量（ 1） 电 感 和 电 容 能 量 按 正 弦 规 律 变 化 ， 最 大 值 相 等 W Lm=WCm。L、 C的 电 场 能 量 和 磁 场 能 量 作 周 期 振 荡性 的 能 量 交 换 ， 而 不 与 电 源 进 行 能 量 交 换 。表明 （ 2） 总 能 量 是 常 量 ， 不 随 时 间 变 化 ， 正 好 等 于 最 大 值 。22m2m 2121 LICULIwww CCL 总电感、电容储能的总值与品质因数的关系：耗的能量谐振时一周期内电路消总储能谐振时电路中电磁场的 2 2 020 20202000 TRILIRILIRLQ Q是 反 映 谐 振 回 路 中 电 磁 振 荡 程 度 的 量 ， 品 质 因 数 越 大 ，总 的 能 量 就 越 大 ， 维 持 一 定 量 的 振 荡 所 消 耗 的 能 量 愈 小 ， 振 荡 程 度 就 越 剧 烈 。 则 振 荡 电 路 的 “ 品 质 ” 愈 好 。 一 般 讲在 要 求 发 生 谐 振 的 回 路 中 总 希 望 尽 可 能 提 高 Q值 。 4. RLC串 联 谐 振 电 路 的 谐 振 曲 线 和 选 择 性（ 1） 阻 抗 的 频 率 特 性 RXRXXRCL CL 111 tgtg1tg) ( )(|)(|)1(j ZCLRZ 222222 )()1(|)(| XRXXRCLRZ CL 谐振曲线 物 理 量 与 频 率 关 系 的 图 形 称 谐 振 曲 线 ，研 究 谐 振 曲 线 可 以 加 深 对 谐 振 现 象 的 认 识 。幅 频特 性相 频特 性 2. 电 流 谐 振 曲 线幅值关系：I( )与 |Y( )|相似。UYCLR UI |)(|)1()( 22 ( ) 0 O/2/2阻抗相频特性X( )|Z( )| XL( )XC( )R 0 Z ( )O阻抗幅频特性 0 O |Y( )|I( )I( )U/R从 电 流 谐 振 曲 线 看 到 ， 谐 振 时 电 流 达 到 最 大 ， 当 偏离 0时 ， 电 流 从 最 大 值 U/R降 下 来 。 即 ， 串 联 谐 振 电 路 对不 同 频 率 的 信 号 有 不 同 的 响 应 ， 对 谐 振 信 号 最 突 出 (表 现 为电 流 最 大 )， 而 对 远 离 谐 振 频 率 的 信 号 加 以 抑 制 (电 流 小 )。这 种 对 不 同 输 入 信 号 的 选 择 能 力 称 为 “ 选 择 性 ” 。l 选择性 (selectivity) 电 流 谐 振 曲 线 为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以0和I(0)，即000 )()( )()( , III II l 通 用 谐 振 曲 线 2220 )1(1 1)1(/ |/)( )( RCRLCLR RRU ZUI I 20020000 )(1 1)1(1 1 QQRCRL 220 )1(1 1)( QII Q越 大 ， 谐 振 曲 线 越 尖 。 当 稍 微 偏 离 谐 振 点 时 ， 曲 线 就急 剧 下 降 ， 电 路 对 非 谐 振 频 率 下 的 电 流 具 有 较 强 的 抑 制 能 力 ，所 以 选 择 性 好 。 因 此 ， Q是 反 映 谐 振 电 路 性 质 的 一 个 重 要 指标 。 Q=10Q=1Q=0.51 210 )(II0.7070 通 用 谐 振 曲 线 . , ,707.02/1/ 210 II和对应横坐标分别为交于两点与每一谐振曲线处作一水平线在 . , , 12022011 12 称为通频带BW (Band Width)可以证明：.1 12 012 Q I/I0=0.707以分贝(dB)表示：20log10I/I0=20lg0.707= 3 dB.所以， 1， 2称为3分贝频率。Q=1 0 21I0.707I00 根 据 声 学 研 究 ， 如 信 号 功 率 不 低 于 原 有 最 大 值 一 半 ，人 的 听 觉 辨 别 不 出 ， 这 是 定 义 通 频 带 的 实 践 依 据 。 例 +_ LCRu10 一 信 号 源 与 R、 L、 C电 路 串 联 ，要 求 f0=104Hz， f=100Hz，R=15， 请 设 计 一 个 线 性 电 路 。解10010010 400 ffQ mHRQL 8.39102 15100 40 pFL 63601C 2 0 例 一 接 收 器 的 电 路 参 数 为 ：L=250H, R=20, C=150pF(调好), U1=U2= U3 =10V, 0=5.5106 rad/s, f0=820 kHz.+_+_+ LCRu1u2u3_f (kHz)北京台中央台北京经济台 L 820 640 1026X 1290 1660 10340 660 5771290 1000 1611I 0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (A)C1 I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (A) %04.301 II小得多收到北京台820kHz的节目。820640 1200I(f ) f (kHz)0 %46.302 II （3） UL( )与 UC( )的 频 率 特 性 2222 22 )1( )1()( Q QU CLRC UCIUC 2222 22)11(1 )1(|)( Q QU CLR LUZULLIUL UUC(Cm)QU Cm Lm 0 UL( )UC( )U( ) 1UL( ) ：当=0，UL()=0；00，电流开始减小，但速度不快， XL继续增大，UL 仍有增大的趋势，但在某个下UL()达到最大值，然后减小。 ，X L， UL()=U。类似可讨论UC()。 根据数学分析，当 =Cm时，UC()获最大值；当 =Lm时，UL()获最大值。且UC(Cm)=UL(Lm)。)2/1 ( Q条件是Q越高， Lm和Cm 越靠近0 Lm Cm = 0 020m 211 Qc 02 20m 122 QQL QUQQUUU LLcC 2mm 411)()( 例 一 接 收 器 的 电 路 参 数 为 ： U=10V =5103 rad/s, 调 C使 电 路 中 的 电 流最 大 ， Imax=200mA，测 得 电 容 电 压为 600V，求 R、L、C及Q+_ LCRu V解 501020010 30IUR 6010600 UUQQUU CC mHRQL 60105 6050 30 FL 67.61C 2 0 1. G、C、L 并 联 电 路对偶：R L C 串联G C L 并联LC 1 0 )1(j CLRZ )1(j LCGY 9.9 并 联 电 路 的 谐 振+_S I G C LU LC 1 0 谐 振 角 频 率 R L C 串联G C L 并联|Z| 0OR 0 OI( )U/R 0 OU( )IS/GLU CU UUR I CI LI SG II U |Y| 0OG R L C 串联G C L 并联电压谐振电流谐振UL( 0)=UC ( 0)=QU IL(0) =IC(0) =QIS LCGGLGCQ 1100 CLRRCRLQ 1100 推导过程如下：由定义得 LRGC 00 22212 GUTCUQ Cm GCf02 2. 电 感 线 圈 与 电 容 器 的 并 联 谐 振 实 际 的 电 感 线 圈 总 是 存 在 电 阻 ， 因 此 当 电 感 线 圈 与 电容 器 并 联 时 ， 电 路 如 图 ： BG j LRCY j1j )(j)( 2222 LR LCLR R 谐振时 B=0，即0)( 202 00 LR LC 20 )(1 LRLC CLR （ 1） 谐 振 条 件 此 电 路 发 生 谐 振 是 有 条 件 的 ， 在 电 路 参 数 一 定 时 ， 满 足可以发生谐振时即 , ,0)(1 2 CLRLRLC 一 般 线 圈 电 阻 RL，则 等 效 导 纳 为 ：LC 1 0 )1(j)()(j)( 22222 LCLRLR LCLR RY 等 效 电 路谐 振 角 频 率 Ge C L RLGR ee 20 )(1 (b) 电 流 一 定 时 ， 总 电 压 达 最 大 值 ： RCLIZIU 000 (c) 支 路 电 流 是 总 电 流 的 Q倍 ， 设 R1时 ， 并 联 部分 呈 容 性 ， 在 某 一 角 频 率 2下 可 与 L3发 生 串 联 谐 振 。 对(b)电路L1、C2并联，在低频时呈感性。在某一角频率1下可与C3发生串联谐振。1时，随着频率增加，并联部分可由感性变为容性，在某一角频率2下发生并联谐振。定量分析：(a) 1 )( j 1 jj 1j )j 1(jj)( 212 312313 212 1321 213 CL LLCLL CL LLCL CLLZ 当Z( )=0，即分子为零，有：0)( 31223132 LLCLL (a)L1L3 C2 可解得：)( 02舍去 )( 231 312串联谐振CLL LL 当Y( )=0，即分母为零，有：012121 CL )( 1 211并联谐振CL 可见， 1 2。(a)L1 L3 C2 1 X( )O 2Z ( )=jX( )阻 抗 的 频 率 特 性 21 )1( )(1j 1 j j 1j 1 j j 1 j j 1)( 2123 3212 212 1321 2131 CLC CCL CLLCCL CLCZ (b)分别令分子、分母为零，可得：串联谐振)( 1 3211 CCL 并联谐振 212 1CL (b)L1 C2 C3 1 X( )O 2阻 抗的 频率 特性 例激 励 u1(t)，包 含 两 个 频 率 1、2分 量 (11 ，滤 去 高 频 ， 得 到 低 频。C R2 C3 L1+_u1(t) +_u2(t)