几种常见概率分布

第 五 章 常 见 概 率 分 布 律难 度 级 ： 第 一 节 二 项 分 布第 二 节 泊 松 分 布第 三 节 正 态 分 布第 四 节 其 他 概 率 分 布 律 内 容 提 要 教 学 重 点 ：1. 正 态 分 布 、 二 项 分 布 、 泊 松 分 布 的 概 率 计 算 方 法 及 应 用 ；2. 正 态 分 布 标 准 化 的 方 法3. 正 态 分 布 表 、 t值 表 的 用 法教 学 要 求 ：掌 握 正 态 分 布 、 二 项 分 布 、 泊 松 分 布 的 概率 计 算 方 法 及 应 用 一 、 贝 努 利 试 验 及 其 概 率 公 式（ 一 ） 独 立 试 验 和 贝 努 利 试 验 对 于 n次 独 立 的 试 验 ， 如 果每 次 试 验 结 果 出 现 且 只 出 现 对 立 事 件 与 之 一 ; 在 每 次 试 验 中 出 现 A的 概 率 是 常 数 p（ 0p0,q0,p+q=1） ,则 称 随 机 变 量 X服 从 参 数为 n和 p的 二 项 分 布 ， 记 为 n.,k,qp)k(P knkknn C 210= n.,k,qp)k(P)kX(P knkknnn C 210= )p,n(Bx （ 二 ） 二 项 分 布 的 性 质 二 项 分 布 是 一 种 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 ，由 n和 p两 个 参 数 决 定 ， 参 数 n称 为 离 散 参 数 ， 只 能取 正 整 数 ； p是 连 续 参 数 ， 取 值 为 0与 1之 间 的 任 何数 值 。 二 项 分 布 具 有 概 率 分 布 的 一 切 性 质 ， 即 ： （ k=0,1,2,n） 二 项 分 布 的 概 率 之 和 等 于 1， 即 ：0(k)P=k)=P(X n 10 =+= = nnk knkkn )pq(qpC m0=k knkknn qpC=m)(kP=m)P(X nm=k k-nkknn qpC=m)(kP=m)P(X )( )()( 21- 212121 mmqpC mkmPmXmP mmk knkkn n 三 、 二 项 分 布 的 平 均 数 与 标 准 差 统 计 学 证 明 ， 服 从 二 项 分 布 B(n,p)的 随 机 变 量 之平 均 数 、 标 准 差 与 参 数 n、 p有 如 下 关 系 ： 当 试 验 结 果 以 事 件 A发 生 次 数 k表 示 时 当 试 验 结 果 以 事 件 A发 生 的 频 率 k n表 示 时 ， 也 称 率 的 标 准 误 。 p npq= np= /n(pq)= p=pp 四 、 二 项 分 布 的 概 率 计 算 及 其 应 用 条 件（ 一 ） 概 率 计 算 直 接 利 用 二 项 概 率 公 式例 6 有 一 批 种 蛋 ， 其 孵 化 率 为 0.85， 今 在 该 批种 蛋 中 任 选 6枚 进 行 孵 化 ， 试 给 出 孵 化 出 小 鸡 的 各种 可 能 情 况 的 概 率 。 这 个 问 题 属 于 贝 努 里 模 型 (?)， 其 中 ， 孵 化 6枚 种 蛋 孵 出 的 小 鸡 数x服 从 二 项 分 布 .其 中 x的 可 能 取 值 为 0， 1，2， 3， 4， 5， 6。 6=n0.15=0.85-1=q0.85,=p )85.0,6(B 0000113901501508500 660066 .).().().(C)(P = 00038728015085061508501 51161166 .).().().().(C)(P = 005486480150850151508502 42262266 .).().().().(C)(P = 041453440150850201508503 33363366 .).().().().(C)(P = 176177110150850151508504 244644 66 .).().().().(C)(P = 39933478015085061508505 15565566 .).().().().(C)(P = 3771495208501508506 6066666 .).().().(C)(P = 思 考 ： 求 至 少 孵 出 3只 小 鸡 的 概 率 是 多 少 ？ 孵 出 的 小 鸡 数 在 2-5只 之 间 的 概 率 是 多 大 ？ 其 中 ： 【 例 4.10】 设 在 家 畜 中 感 染 某 种 疾 病 的 概 率 为 20 ， 现 有 两 种 疫 苗 ， 用 疫 苗 A 注 射 了 15头 家 畜 后无 一 感 染 ， 用 疫 苗 B 注 射 15头 家 畜 后 有 1头 感 染。 设 各 头 家 畜 没 有 相 互 传 染 疾 病 的 可 能 ， 问 ： 应该 如 何 评 价 这 两 种 疫 苗 ? 假 设 疫 苗 A完 全 无 效 ， 那 么 注 射 后 的 家 畜 感 染 的概 率 仍 为 20 ， 则 15 头 家 畜 中 染 病 头 数 x=0的 概率 为 0352.080.020.0)0( 150015 Cxp 同 理 ， 如 果 疫 苗 B完 全 无 效 ， 则 15头 家 畜 中最 多 有 1头 感 染 的 概 率 为 由 计 算 可 知 ， 注 射 A 疫 苗 无 效 的 概 率 为0.0352， 比 B疫 苗 无 效 的 概 率 0.1671小 得 多 。 因此 ， 可 以 认 为 A疫 苗 是 有 效 的 ， 但 不 能 认 为 B疫 苗 也 是 有 效 的 。 1671.08.02.08.02.0)1( 141115150015 CCxp （ 二 ） 应 用 条 件 （ 三 个 ） n个 观 察 单 位 的 观 察 结 果 互 相 独 立 ; 各 观 察 单 位 只 具 有 互 相 对 立 的 一 种 结 果 ， 如阳 性 或 阴 性 ， 生 存 或 死 亡 等 ， 属 于 二 项 分 类资 料 。 已 知 发 生 某 一 结 果 (如 死 亡 ) 的 概 率 为 p， 其对 立 结 果 的 概 率 则 为 1-P=q， 实 际 中 要 求 p 是从 大 量 观 察 中 获 得 的 比 较 稳 定 的 数 值 。 要 观 察 到 这 类 事 件 ， 样 本 含 量 n必 须 很 大 。 在 生物 、 医 学 研 究 中 ， 服 从 泊 松 分 布 的 随 机 变 量 是 常见 的 。 此 外 ， 由 于 泊 松 分 布 是 描 述 小 概 率 事 件 的 ，因 而 二 项 分 布 中 当 p很 小 n很 大 时 ， 可 用 泊 松 分 布 泊 松 分 布 是 用 来 描 述 和 分 析 稀 有 事 件 即 小 概 率 事 件分 布 规 律 的 函 数 。 在 生 物 、 医 学 研 究 中 ， 服 从 波 松 分 布 的 随 机 变 量 是常 见 的 。 如 ， 一 定 种 群 中 某 种 患 病 率 很 低 的 非 传 染 性疾 病 患 病 数 或 死 亡 数 ， 种 群 中 遗 传 的 畸 形 怪 胎 数 ， 每升 饮 水 中 大 肠 杆 菌 数 ， 计 数 器 小 方 格 中 血 球 数 ， 单 位空 间 中 某 些 野 生 动 物 或 昆 虫 数 等 ， 都 是 服 从 波 松 分 布 的 。 一 、 泊 松 分 布 的 意 义（ 一 ） 定 义 若 随 机 变 量 X(X=k)只 取 零 和 正 整 数 值 ，且 其 概 率 分 布 为 则 称 X服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 记 为 XP( )。（ 二 ） 特 征 = 2= 2.7182=e0;0,1,=k e k!=k)=P(X k 【 例 4.13】 调 查 某 种 猪 场 闭 锁 育 种 群 仔 猪 畸 形数 ， 共 记 录 200窝 ， 畸 形 仔 猪 数 的 分 布 情 况 如表 4-3所 示 。 试 判 断 畸 形 仔 猪 数 是 否 服 从 波 松分 布 。 表 4-3 畸 形 仔 猪 数 统 计 分 布 样 本 均 数 和 方 差 S2计 算 结 果 如 下 ： =fk/n =(120 0+62 1 +15 2+2 3+1 4)/200 S 2 =0.51 x =0.51， S2=0.52,这 两 个 数 是 相 当 接 近 的 ， 因 此可 以 认 为 畸 形 仔 猪 数 服 从 波 松 分 布 。 xx 52.0 1200 200/)10241322151620120( 1 /)( 222222 222 n nfkfks 是 波 松 分 布 所 依 赖 的 唯 一 参 数 。 值 愈 小分 布 愈 偏 倚 ， 随 着 的 增 大 ， 分 布 趋 于 对 称 。 当= 20时 分 布 接 近 于 正 态 分 布 ； 当 =50时 ， 可 以认 为 波 松 分 布 呈 正 态 分 布 。 所 以 在 实 际 工 作 中 ，当 20时 就 可 以 用 正 态 分 布 来 近 似 地 处 理 波 松 分布 的 问 题 。 二 、 波 松 分 布 的 概 率 计 算 由 (4-23)式 可 知 ， 波 松 分 布 的 概 率 计 算 ， 依赖 于 参 数 的 确 定 ， 只 要 参 数 确 定 了 ， 把 k=0， 1， 2， 代 入 (4-23)式 即 可 求 得 各 项 的 概 率 。 但 是在 大 多 数 服 从 波 松 分 布 的 实 例 中 ， 分 布 参 数 往 往是 未 知 的 ， 只 能 从 所 观 察 的 随 机 样 本 中 计 算 出 相应 的 样 本 平 均 数 作 为 的 估 计 值 ， 将 其 代 替 (4-23)式 中 的 ， 计 算 出 k = 0， 1， 2， 时 的 各 项概 率 。 如 【 例 4.13】 中 已 判 断 畸 形 仔 猪 数 服 从 波松 分 布 ， 并 已 算 出 样 本 平 均 数 =0.51。 将 0.51代替 公 式 （ 4-23） 中 的 得 ： (k=0,1,2,) 因 为 e-0.51=1.6653， 所 以 畸 形 仔 猪 数 各 项 的概 率 为 ： P(x=0)=0.510 (0! 1.6653)=0.6005 P(x=1)=0.511 (1! 1.6653)=0.3063 P(x=2)=0.512 (2! 1.6653)=0.0781 51.0!51.0)( ekkxP k P(x=3)=0.513 (3! 1.6653)=0.0133P(x=4)=0.514 (4! 1.6653)=0.0017 把 上 面 各 项 概 率 乘 以 总 观 察 窝 数 (n=200)即 得 各项 按 波 松 分 布 的 理 论 窝 数 。 波 松 分 布 与 相 应 的 频率 分 布 列 于 表 4-4中 。 0001.09999.01)(1)4( 40 k kxpxP 表 4-4 畸 形 仔 猪 数 的 波 松 分 布 将 实 际 计 算 得 的 频 率 与 根 据 =0.51的 泊 松 分布 计 算 的 概 率 相 比 较 ， 发 现 畸 形 仔 猪 的 频 率分 布 与 =0.51 的 波 松 分 布 是 吻 合 得 很 好 的 。这 进 一 步 说 明 了 畸 形 仔 猪 数 是 服 从 波 松 分 布 的。 【 例 4.14】 为 监 测 饮 用 水 的 污 染 情 况 ， 现 检 验 某社 区 每 毫 升 饮 用 水 中 细 菌 数 ， 共 得 400个 记 录 如 下： 试 分 析 饮 用 水 中 细 菌 数 的 分 布 是 否 服 从 波 松 分 布。 若 服 从 ， 按 波 松 分 布 计 算 每 毫 升 水 中 细 菌 数 的 概率 及 理 论 次 数 并 将 頻 率 分 布 与 波 松 分 布 作 直 观 比 较。 经 计 算 得 每 毫 升 水 中 平 均 细 菌 数 =0.500,方 差 S2=0.496。 两 者 很 接 近 ， 故 可 认 为 每 毫 升水 中 细 菌 数 服 从 波 松 分 布 。 以 =0.500代 替 （4-23） 式 中 的 ， 得 (k=0,1,2)计 算 结 果 如 表 45所 示 。 x 5.0!5.0)( ekkxP k xx 表 45 细 菌 数 的 波 松 分 布 可 见 细 菌 数 的 频 率 分 布 与 =0.5的 波 松 分 布 是 相当 吻 合 的 ， 进 一 步 说 明 用 波 松 分 布 描 述 单 位 容 积 (或 面 积 )中 细 菌 数 的 分 布 是 适 宜 的 。 注 意 ， 二 项 分 布 的 应 用 条 件 也 是 波 松 分 布 的应 用 条 件 。 比 如 二 项 分 布 要 求 n 次 试 验 是 相 互 独立 的 ， 这 也 是 波 松 分 布 的 要 求 。 然 而 一 些 具 有 传染 性 的 罕 见 疾 病 的 发 病 数 ， 因 为 首 例 发 生 之 后 可成 为 传 染 源 ， 会 影 响 到 后 续 病 例 的 发 生 ， 所 以 不符 合 波 松 分 布 的 应 用 条 件 。 对 于 在 单 位 时 间 、 单位 面 积 或 单 位 容 积 内 ， 所 观 察 的 事 物 由 于 某 些 原因 分 布 不 随 机 时 ， 如 细 菌 在 牛 奶 中 成 集 落 存 在 时， 亦 不 呈 波 松 分 布 。 一 、 正 态 分 布 的 定 义 及 其 特 征（ 一 ） 定 义 若 连 续 性 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 密 度函 数 为 ： 其 中 ， 为 平 均 数 ， 2 为 方 差 ， 则 称 随 机 变量 服 从 正 态 分 布 ,记 为 (, 2).相 应 的 概 率分 布 函 数 为 0,+x,e2 1=f(x) 2 22 )(x x 2 )(x 2 2e2 1=F(x) （ 二 ） 特 征正 态 分 布 密 度 曲 线 是 以 = 为 对 称 轴 的 单 峰 、 对 称 的 悬钟 形 ；f(x)在 =处 达 到 极 大 值 ,极 大 值 为f(x)是 非 负 数 ， 以 x轴 为 渐进 线 ； 正 态 分 布密 度 函 数 曲 线 2 1=f ）（ 正 态 分 布 有 两 个 参 数 ， 即 平均 数 和 标 准 差 。 是 位 置 参数 ， 是 变 异 度 参 数 。分 布 密 度 曲 线 与 横 轴 所 夹 的面 积 为 1， 即 ： 正 态 分 布密 度 函 数 曲 线 1=dxe2 1=)+xP 2 22 )(x+ （ 相 同 而 不 同 的 三 个 正 态 总 体 相 同 而 不 同 的 三 个 正 态 总 体 （ 一 ） 定 义 称 =0, 2=1的 正 态 分 布 为 标 准 正 态 分 布 。标 准 正 态 分 布 的 概 率 密 度 函 数 及 分 布 函 数 如 下 ： 若 随 机 变 量 服 从 标 准 正 态 分 布 ， 记 作 (0, 1) 22 de2 1=(),e2 1）( 22二 、 标 准 正 态 分 布 standard normal distribution （ 二 ） 标 准 化 的 方 法 对 于 任 何 一 个 服 从 正 态 分 布 ( , 2)的 随机 变 量 ， 都 可 以 通 过 标 准 化 变 换 ： u=( - )/ 即 减 平 均 数 后 再 除 以 标 准 差 ， 将 其 变 换为 服 从 标 准 正 态 分 布 的 随 机 变 量 。 对 不 同 的 及 P(Uu)值 编 成 函 数 表 ， 称 为 正态 分 布 表 ， 从 中 可 以 查 到 任 意 一 个 区 间 内 曲 线 下的 面 积 ， 即 为 概 率 。 三 、 正 态 分 布 的 概 率 计 算（ 一 ） 标 准 正 态 分 布 的 概 率 计 设 u服 从 标 准 正 态分 布 ， 则 落 在 1, 2内 的 概 率 due21=)uuP(u 21 2uu 2u21 due21-due21= 1 22 2 u 2uu 2u )(u)(u= 12可由附表 查)(u与)(u而 12 0.99=2.58)u2.58P( 0.95=1.96)u1.96P( 0.9973=3)u3P( 0.9545=2)u2P( 0.6826=1)u1P( 0.99=)2.58+x2.58P( 0.95=)1.96+x1.96P( 0.9973=)3+x3P( 0.9545=)2+x2P( 0.6826=)+xP( 应熟记的几种标准正态分布概率 （ 二 ） 一 般 正 态 分 布 的 概 率 计 算 将 区 间 的 上 下 限 标 准 化 ： 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 落 在 1, 2 内 的 概 率 ， 等 于 服 从 标 准 正 态 分 布的 随 机 变 量 u落 在 的 概 率 。查 标 准 正 态 分 布 表 /x,/x 21 【 例 4.6】 已 知 u N(0， 1)， 试 求 ： (1) P(u -1.64) ? (2) P (u2.58)=? (3) P ( u 2.56)=? (4) P(0.34u 1.53) =? 利 用 (4-12)式 ， 查 附 表 2得 ： (1) P(u -1.64)=0.05050 (2) P (u2.58)=(-2.58)=0.024940 (3) P ( u 2.56) =2(-2.56)=2 0.005234 =0.010468 (4) P (0.34u 1.53) =(1.53)-(0.34) =0.93669-0.6331=0.30389 例 若 服 从 =30.26, 2 =5.102的 正 态分 布 ， 试 求 P(21.64 x 32.98)。 令 u=( -30.26)/5.10,则 u服 从 标 准 正 态 分布 ， 故 0.6564= 1.69)(0.53)= 0.53)91.6P(= )5.1030.2632.985.1030.26x5.1030.2621.64P(= 32.98)xP(21.64 高 梁 品 种 三 尺 三 的 株 高 服 从 正 态 分 布 N(156.2,4.822),求 ：（ 1） X164cm的 概 率 ； （ 3） X在 152 162cm的 概 率 。解 ： （ 1） 根 据 P(X164)= -(164-156.2)/4.82= (-1.62) =0.05262 = 1- (164-156.2)/4.82=1-0.94738 =0.05262(3)P(152XP(x=)1.96P(x=)2.58P(x)k-P(x=)kP(x 标 准 正 态 双 侧 分 位 数 的 查 法 ： 附 表 3 标 准 正 态 分 布 为双侧临界值 u为双侧概率，其中 0u)uuP(= )1,0(Nu 临 界 值下 侧 临 界 值上 侧 临 界 值 侧 的双侧表示u或u 的表示u 的表示u ）（双2 正 态 分 布密 度 函 数 曲 线 前 面 讨 论 的 三 个 重 要 的 概 率 分 布 中 ， 前 两 个属 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 ， 后 一 个 属 连 续 型随 机 变 量 的 概 率 分 布 。 三 者 间 的 关 系 如 下 ： 对 于 二 项 分 布 ， 在 n,p0， 且 n p =(较小 常 数 )情 况 下 ， 二 项 分 布 趋 于 波 松 布 。 在 这 种场 合 ， 波 松 分 布 中 的 参 数 用 二 项 分 布 的 n p代 之； 在 n, p0.5时 ， 二 项 分 布 趋 于 正 态 分 布 。在 这 种 场 合 ， 正 态 分 布 中 的 、 2用 二 项 分 布 的 n p、 n p q代 之 。 在 实 际 计 算 中 ， 当 p 0.1且 n 很 大时 ， 二 项 分 布 可 由 波 松 分 布 近 似 ； 当 p 0.1且 n很 大 时 ， 二 项 分 布 可 由 正 态 分 布 近 似 。 对 于 波 松 分 布 ， 当 时 ， 波 松 分 布 以 正态 分 布 为 极 限 。 在 实 际 计 算 中 ， 当 20 (也有 人 认 为 6)时 ， 用 波 松 分 布 中 的 代 替 正 态分 布 中 的 及 2 ， 即 可 由 后 者 对 前 者 进 行 近 似计 算 。 中 心 极 限 定 理 中 心 极 限 定 理 告 诉 我 们 ： 不 论 x变 量 是 连 续 型还 是 离 散 型 ， 也 无 论 x服 从 何 种 分 布 ， 一 般 只要 n 30， 就 可 认 为 的 分 布 是 正 态 的 。 若 x的 分 布 不 很 偏 倚 ， 在 n 20时 ， x 的 分 布 就 近似 于 正 态 分 布 了 。 x