几种常见函数的导数

几 种 常 见 函 数 的 导 数 一、复习1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式导数,导数源于实践,又服务于实践.2.求函数的导数的方法是: );()()1( xfxxfy 求函数的增量 ;)()( :)2( x xfxxfxy 的增量的比值求函数的增量与自变量.lim)()3( 0 xyxfy x 求极限，得导函数 说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x= x0处的函数值,即 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。 )( 0 xf )(xf0|)()( 0 xxxfxf 4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x 0,f(x0)的切线的斜率。)( 0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()( 000 xxxfxfy 二、新课几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1: .)(0为常数CC 公式2: .)()( 1 Qnnxx nn 公式3: .xx cos)(sin 公式4: xx sin)(cos 三、例题选讲例1:求过曲线y=cosx上点P( )且与过这点的切线垂 直的直线方程. 21,3 .23sin|,sin,cos 3 xyxyxy x 解：；的斜率为点且与切线垂直的直线从而过，处的切线斜率为故曲线在点3223)21,3(P P .0233232 ),3(3221 yx xy即所求的直线方程为注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线. O A xM Py例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度.解:时刻t时,因为角速度1rad/s, 所以 .radttPOA 1 ;radtPOAMPO ;sin10sin tMPOOPOM 故点M的运动方程为:y=10sint. .cos10)sin10( ttyv 故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10costcm/s. 例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由.解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.;cos|,cos)(sin 0 0 xyxxy xx 得由;sin|,sin)(cos 00 xyxxy xx 得由由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.练习1:曲线y=sinx在点P( )处的切线的倾斜角为 _. 22,422arctan 例4:已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且 距离等于 ,求直线m的方程.31xy10 ;3)()1(,1 4333 xxxyxy解：.043),1(31 ,3|)1,1( 1 yxxy ykP x即从而切线方程为处的切线的斜率为曲线在设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得: ;146,10|4|10 13 |)4(| 2 bbbb或故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0. 四、小结与作业1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) (c为常 数;(2) ;(3) ;(4) 0c)()( 1 Rxx xx cos)(sin .sin)(cos xx 2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式.3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题.4.作业:p.233234课后强化训练.