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第五节曲线与方程考考纲纲考情考情广广东东五年五年0 0考高考指数考高考指数:1.1.了解方程的曲了解方程的曲线线与曲与曲线线的方程的的方程的对应对应关系关系2.2.了解解析几何的基本思想和利用坐了解解析几何的基本思想和利用坐标标法研究几何法研究几何问问题题的基本方法的基本方法3.3.能能够够根据所根据所给给条件条件选择选择适当的方法求曲适当的方法求曲线线的的轨轨迹方迹方程程五年五年考考题题无无单单独命独命题题考情考情播播报报1.1.求曲求曲线线的的轨轨迹或迹或轨轨迹方程是近几年高考命迹方程是近几年高考命题题的一个的一个方向方向2.2.常以常以圆圆、椭圆椭圆、双曲、双曲线线、抛物、抛物线为载线为载体体,有有时时会与向会与向量交量交汇汇考考查查.考考查查定定义义法、相关点法、参数法等求法、相关点法、参数法等求轨轨迹迹的方法的方法3.3.题题型大多数以解答型大多数以解答题为题为主主,属中高档属中高档题题【知识梳理知识梳理】1.1.曲线与方程的定义曲线与方程的定义一般地一般地,在直角坐标系中在直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线C C上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x,yf(x,y)=0)=0的实数解建立如下的对应关系的实数解建立如下的对应关系:这个方程这个方程曲线上曲线上那么那么,这个方程叫做曲线的方程这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线这条曲线叫做方程的曲线.2.2.求动点的轨迹方程的基本步骤求动点的轨迹方程的基本步骤任意任意x,yx,y所求方程所求方程【考点自测考点自测】1.(1.(思考思考)给给出下列命出下列命题题:f(xf(x0 0,y,y0 0)=0)=0是点是点P(xP(x0 0,y,y0 0)在曲在曲线线f(x,yf(x,y)=0)=0上的充要条件上的充要条件;方程方程x x2 2+xy=x+xy=x的曲的曲线线是一个点和一条直是一个点和一条直线线;到两条互相垂直的直到两条互相垂直的直线线距离相等的点的距离相等的点的轨轨迹方程是迹方程是x x2 2=y=y2 2;方程方程y=y=与与x=yx=y2 2表示同一曲表示同一曲线线.其中其中错误错误的是的是()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选B.B.正确正确.由由f(xf(x0 0,y,y0 0)=0)=0可知点可知点P(xP(x0 0,y,y0 0)在曲线在曲线f(x,yf(x,y)=0)=0上上,又又P(xP(x0 0,y,y0 0)在曲线在曲线f(x,yf(x,y)=0)=0上时上时,有有f(xf(x0 0,y,y0 0)=0,)=0,所以所以f(xf(x0 0,y,y0 0)=0)=0是是P(xP(x0 0,y,y0 0)在曲线在曲线f(x,yf(x,y)=0)=0上的充要条件上的充要条件.错误错误.方程变为方程变为x(x+y-1)=0,x(x+y-1)=0,所以所以x=0 x=0或或x+y-1=0,x+y-1=0,故方程表示直线故方程表示直线x=0 x=0或直线或直线x+y-1=0.x+y-1=0.错误错误.当以两条互相垂直的直线为当以两条互相垂直的直线为x x轴、轴、y y轴时轴时,是是x x2 2=y=y2 2,否否则不正确则不正确.错误错误.因为方程因为方程y=y=表示的曲线只是方程表示的曲线只是方程x=yx=y2 2表示曲线的表示曲线的一部分一部分,故其不正确故其不正确.2.2.若若动动点点P P到定点到定点F(1,-1)F(1,-1)的距离与到直的距离与到直线线l:x-1=0:x-1=0的距离相等的距离相等,则动则动点点P P的的轨轨迹是迹是()A.A.椭圆椭圆 B.B.双曲双曲线线 C.C.抛物抛物线线 D.D.直直线线【解析解析】选选D.D.因为定点因为定点F(1,-1)F(1,-1)在直线在直线l:x-1=0:x-1=0上上,所以轨迹为过所以轨迹为过F(1,-1)F(1,-1)与直线与直线l垂直的一条直线垂直的一条直线,故选故选D.D.3.3.实实数数变变量量m,nm,n满满足足m m2 2+n+n2 2=1,=1,则则坐坐标标(m+n,mnm+n,mn)表示的点的表示的点的轨轨迹是迹是()A.A.抛物抛物线线 B.B.椭圆椭圆C.C.双曲双曲线线的一支的一支 D.D.抛物抛物线线的一部分的一部分【解析解析】选选D.D.设设x=x=m+n,ym+n,y=mnmn,则则x x2 2=(m+n)=(m+n)2 2=m=m2 2+n+n2 2+2mn=1+2y,+2mn=1+2y,且且由于由于m,nm,n的取值都有限制的取值都有限制,因此变量因此变量x x的取值也有限制的取值也有限制,所以点所以点(m+n,mnm+n,mn)的轨迹为抛物线的一部分的轨迹为抛物线的一部分,故选故选D.D.4.4.方程方程x x2 2+xy=0+xy=0表示的曲表示的曲线线是是.【解析解析】因为因为x x2 2+xy=0,+xy=0,所以所以x(x+yx(x+y)=0,)=0,所以所以x=0 x=0或或x+yx+y=0,=0,所以方程所以方程x x2 2+xy=0+xy=0表示两条直线表示两条直线.答案答案:两条直线两条直线5.5.若方程若方程axax2 2byby4 4的曲线经过点的曲线经过点A(0,2)A(0,2)和和 则则a a ，b b .【解析解析】因为曲线经过点因为曲线经过点A(0,2)A(0,2)和和所以所以解得：解得：a a16-8 ,b16-8 ,b2.2.答案：答案：16-8 216-8 2考点考点1 1 定义法求点的轨迹方程定义法求点的轨迹方程【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014北京模北京模拟拟)ABC)ABC的的顶顶点点A(-5,0),A(-5,0),B(5,0),ABCB(5,0),ABC的内切的内切圆圆圆圆心在直心在直线线x=3x=3上上,则顶则顶点点C C的的轨轨迹方程是迹方程是.(2)(2)已知已知圆圆C C与两与两圆圆x x2 2+(y+4)+(y+4)2 2=1,x=1,x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1外切外切,圆圆C C的的圆圆心心轨轨迹方程迹方程为为L,L,设设L L上的点与点上的点与点M(x,yM(x,y)的距离的最小的距离的最小值为值为m,m,点点F(0,1)F(0,1)与点与点M(x,yM(x,y)的距离的距离为为n.n.求求圆圆C C的的圆圆心心轨轨迹迹L L的方程的方程;求求满满足条件足条件m=nm=n的点的点M M的的轨轨迹迹Q Q的方程的方程.【解题视点解题视点】(1)(1)根据题设条件根据题设条件,寻找动点寻找动点C C与两定点与两定点A,BA,B距离的距离的差满足的等量关系差满足的等量关系|CA|-|CB|=6,|CA|-|CB|=6,由双曲线的定义得出所求轨迹由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分为双曲线的一部分,再求其方程再求其方程.(2)(2)将圆将圆C C与另外两圆都相外切与另外两圆都相外切,转化为圆心距与两圆半径和转化为圆心距与两圆半径和之间的关系之间的关系.m=n.m=n说明到定点的距离与到定直线的距离相等说明到定点的距离与到定直线的距离相等.【规范解答规范解答】(1)(1)如图如图,|AD|=|AE|=8,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以所以|CA|-|CB|=8-2=6.|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线的定义根据双曲线的定义,所求轨迹是以所求轨迹是以A,BA,B为焦点为焦点,实轴长为实轴长为6 6的双曲的双曲线的右支线的右支,方程为方程为 =1(x3).=1(x3).答案答案:=1(x3)=1(x3)(2)(2)两圆半径都为两圆半径都为1,1,两圆圆心分别为两圆圆心分别为C C1 1(0,-4),C(0,-4),C2 2(0,2),(0,2),由题由题意得意得|CC|CC1 1|=|CC|=|CC2 2|,|,可知圆心可知圆心C C的轨迹是线段的轨迹是线段C C1 1C C2 2的垂直平分线的垂直平分线,C,C1 1C C2 2的中点为的中点为(0,-1),(0,-1),直线直线C C1 1C C2 2的斜率不存在的斜率不存在,故圆心故圆心C C的轨迹的轨迹是线段是线段C C1 1C C2 2的垂直平分线的垂直平分线,其方程为其方程为y=-1,y=-1,即圆即圆C C的圆心轨迹的圆心轨迹L L的的方程为方程为y=-1.y=-1.因为因为m=n,m=n,所以所以M(x,yM(x,y)到直线到直线y=-1y=-1的距离与到点的距离与到点F(0,1)F(0,1)的距离的距离相等相等,故点故点M M的轨迹的轨迹Q Q是以是以y=-1y=-1为准线为准线,点点F(0,1)F(0,1)为焦点为焦点,顶点在顶点在原点的抛物线原点的抛物线,而而 =1,=1,即即p=2,p=2,所以所以,轨迹轨迹Q Q的方程是的方程是x x2 2=4y.=4y.【易错警示易错警示】准确把握双曲线的定义准确把握双曲线的定义在本例在本例(1)(1)中易出现中易出现 1 1的错误结果，其原因是对双的错误结果，其原因是对双曲线的定义理解错误或没有注意到顶点曲线的定义理解错误或没有注意到顶点C C始终在始终在x x3 3的右侧的右侧.【规律方法规律方法】定义法求轨迹方程的适用条件及关键定义法求轨迹方程的适用条件及关键(1)(1)适用条件适用条件动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义线、抛物线的定义.(2)(2)关键关键定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义.提醒提醒:弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键.【变变式式训练训练】(2014(2014北京模北京模拟拟)一一圆圆形形纸纸片的片的圆圆心心为为点点O,O,点点Q Q是是圆圆内异于点内异于点O O的一定点的一定点,点点A A是是圆圆周上一点周上一点.把把纸纸片折叠片折叠,使点使点A A与与Q Q重合重合,然后展平然后展平纸纸片片,折痕与折痕与OAOA交于交于P P点点.当点当点A A运运动时动时点点P P的的轨轨迹迹是是()A.A.圆圆B.B.椭圆椭圆C.C.双曲双曲线线D.D.抛物抛物线线【解析解析】选选B.B.由条件知由条件知|PA|=|PQ|,|PA|=|PQ|,则则|PO|+|PQ|=|PO|+|PA|=R(R|OQ|),|PO|+|PQ|=|PO|+|PA|=R(R|OQ|),所以点所以点P P的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆.【加固加固训练训练】1.(20141.(2014榆榆林模林模拟拟)若点若点P P到直到直线线x=-1x=-1的距离比它到点的距离比它到点(2,0)(2,0)的的距离小距离小1,1,则则点点P P的的轨轨迹迹为为()A.A.圆圆 B.B.椭圆椭圆 C.C.双曲双曲线线 D.D.抛物抛物线线【解析解析】选选D.D.依题意依题意,点点P P到直线到直线x=-2x=-2的距离等于它到点的距离等于它到点(2,0)(2,0)的距离的距离,故点故点P P的轨迹是抛物线的轨迹是抛物线.2.2.已知定点已知定点F F1 1(-2,0),F(-2,0),F2 2(2,0),N(2,0),N是是圆圆O:xO:x2 2+y+y2 2=1=1上任意一点上任意一点,点点F F1 1关于点关于点N N的的对对称点称点为为M,M,线线段段F F1 1M M的中垂的中垂线线与直与直线线F F2 2M M相交于点相交于点P,P,则则点点P P的的轨轨迹是迹是()A.A.椭圆椭圆 B.B.双曲双曲线线 C.C.抛物抛物线线 D.D.圆圆【解析解析】选选B.B.设设N(a,b),M(x,yN(a,b),M(x,y),),则则 代入圆代入圆O O的的方程得点方程得点M M的轨迹方程是的轨迹方程是(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=2=22 2,此时此时|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=|=|PM|-|PF|PM|-|PF2 2|=|MF|=|MF2 2|=2,2|F|=2,20)(a0)，且满足条件，且满足条件sin C-sin Bsin C-sin B sin Asin A，则动点，则动点A A的轨迹方程是的轨迹方程是 .【解析解析】由正弦定理，得由正弦定理，得 (R(R为外接圆半径为外接圆半径)，所以所以|AB|-|AC|AB|-|AC|BC|BC|，且为双曲线右支，且为双曲线右支.答案答案：(x0 (x0且且y0)y0)5.5.点点P P是圆是圆C C：(x(x2)2)2 2y y2 24 4上的动点，定点上的动点，定点F(2,0)F(2,0)，线段，线段PFPF的垂直平分线与直线的垂直平分线与直线CPCP的交点为的交点为Q Q，则点，则点Q Q的轨迹方程的轨迹方程是是 .【解析解析】依题意有依题意有|QP|QP|QF|QF|，则，则|QF|-|QC|QF|-|QC|CP|CP|2 2，又，又|CF|CF|4 42 2，故点，故点Q Q的轨迹是以的轨迹是以C,FC,F为焦点的双曲线的一支，为焦点的双曲线的一支，a a1 1，c c2 2，得，得b b2 23 3，故所求轨迹方程为，故所求轨迹方程为 1(x1(x0).0).答案：答案：1(x1(x0)0)考点考点2 2 直接法求点的轨迹方程直接法求点的轨迹方程 【考情考情】直接法求直接法求轨轨迹方程是求迹方程是求轨轨迹方程的一个重要方法迹方程的一个重要方法,也是也是高考命高考命题题的一个的一个热热点内容点内容,该该部分大多数是以解答部分大多数是以解答题题的形式出的形式出现现,考考查查求求轨轨迹方程的方法迹方程的方法,曲曲线线与方程的定与方程的定义义,基本运算能力等基本运算能力等.高频考点高频考点通关通关【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014广州模广州模拟拟)已知已知M(-2,0),N(2,0),M(-2,0),N(2,0),则则以以MNMN为为斜斜边边的直角三角形的直角的直角三角形的直角顶顶点点P P的的轨轨迹方程迹方程为为()A.xA.x2 2+y+y2 2=2 B.x=2 B.x2 2+y+y2 2=4=4C.xC.x2 2+y+y2 2=2(x=2(x2)D.x2)D.x2 2+y+y2 2=4(x=4(x2)2)(2)(2013(2)(2013四川高考四川高考)已知椭圆已知椭圆C C：(ab0)(ab0)的两个焦的两个焦点分别为点分别为F F1 1(1,0),F1,0),F2 2(1,0)(1,0)，且椭圆，且椭圆C C经过点经过点求椭圆求椭圆C C的离心率的离心率.设过点设过点A(0,2)A(0,2)的直线的直线l与椭圆与椭圆C C交于交于M M，N N两点，点两点，点Q Q是线段是线段MNMN上的点，且上的点，且 求点求点Q Q的轨迹方程的轨迹方程.【解题视点解题视点】(1)(1)利用勾股定理得等量关系利用勾股定理得等量关系,坐标化得方程坐标化得方程,根根据三角形限定条件据三角形限定条件.(2)(2)依据焦点坐标依据焦点坐标,可求出可求出c c的值的值;由椭圆的定义可求出由椭圆的定义可求出2a2a的值的值.可设点可设点Q Q的坐标为的坐标为(x,yx,y),),依据题设中的等式求解依据题设中的等式求解.【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.设设P(xP(x，y)y)，则，则|PM|PM|2 2|PN|PN|2 2|MN|MN|2 2，所，所以以x x2 2y y2 24(x4(x2).2).(2)(2)由椭圆定义知，由椭圆定义知，2a=|PF2a=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=|=所以所以a=.a=.又由已知又由已知,c=1,c=1,所以椭圆所以椭圆C C的离心率的离心率由由知，椭圆知，椭圆C C的方程为的方程为设点设点Q Q的坐标为的坐标为(x,yx,y).).(i)(i)当直线当直线l与与x x轴垂直时，直线轴垂直时，直线l与椭圆与椭圆C C交于交于(0(0，1)1)，(0(0，-1)-1)两点，两点，此时点此时点Q Q的坐标为的坐标为 (ii)(ii)当直线当直线l与与x x轴不垂直时，设直线轴不垂直时，设直线l的方程为的方程为y=kx+2.y=kx+2.因为因为M,NM,N在直线在直线l上，可设点上，可设点M M，N N的坐标分别为的坐标分别为(x(x1 1,kx,kx1 1+2),+2),(x(x2 2,kx,kx2 2+2)+2)，则，则|AM|AM|2 2=(1+k=(1+k2 2)x)x1 12 2,|AN|AN|2 2=(1+k=(1+k2 2)x)x2 22 2.又又|AQ|AQ|2 2=x=x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=(1+k=(1+k2 2)x)x2 2.由由=(8k)=(8k)2 2-4-4(2k(2k2 2+1)+1)6 60,0,得得k k2 2由由(*)(*)可知，可知，代入代入(*)(*)中并化简，得中并化简，得因为点因为点Q Q在直线在直线y=kx+2y=kx+2上，所以上，所以 代入代入(*)(*)中中并化简，得并化简，得10(y-2)10(y-2)2 2-3x-3x2 2=18.=18.由由(*)(*)及及k k2 2 可知可知0 0 x x2 2故故由题意，由题意，Q(x,yQ(x,y)在椭圆在椭圆C C内，所以内，所以-1y1,-1y1,又由又由10(y-2)10(y-2)2 2=18+3x=18+3x2 2有有(y-2)(y-2)2 2 且且-1y1,-1y1,则则yy所以，点所以，点Q Q的轨迹方程为的轨迹方程为10(y-2)10(y-2)2 2-3x-3x2 2=18=18，【通关通关锦锦囊囊】高考指数高考指数重点重点题题型型破解策略破解策略已知已知动动点点满满足足的等式的等式,求点求点的的轨轨迹方程迹方程设设出出动动点的坐点的坐标标,依据依据题设题设中中的等式及其他知的等式及其他知识识,得出方程得出方程即可即可题设题设中没有中没有明确明确给给出等量出等量关系关系,求求轨轨迹迹方程方程设设出出动动点的坐点的坐标标,依据依据题设题设中中的条件的条件寻寻找等量关系找等量关系,得出方得出方程程,然后判断其然后判断其轨轨迹迹【关注题型关注题型】已知已知动动点点满满足足的等式的等式,判断其判断其轨轨迹迹(或或图图形形)把等式把等式转转化化为为熟知的方程熟知的方程即可判断即可判断,或或举举特例用排除特例用排除法求解法求解【特别提醒特别提醒】在解决直线与圆锥曲线有关的问题时在解决直线与圆锥曲线有关的问题时,要注意变要注意变量的取值范围量的取值范围,否则易出现增根否则易出现增根.【通关通关题组题组】1.(20141.(2014武威模武威模拟拟)有一有一动圆动圆P P恒恒过过定点定点F(a,0)(a0)F(a,0)(a0)且与且与y y轴轴相交于点相交于点A,B,A,B,若若ABPABP为为正三角形正三角形,则则点点P P的的轨轨迹迹为为()A.A.椭圆椭圆B.B.双曲双曲线线C.C.抛物抛物线线D.D.圆圆【解析解析】选选B.B.设设P(x,yP(x,y),),动圆动圆P P的半径为的半径为R,R,由于由于ABPABP为正三为正三角形角形,所以所以P P到到y y轴的距离轴的距离 而而R=|PF|=R=|PF|=所以所以 化简得化简得 即点即点P P的轨迹为双曲线的轨迹为双曲线.2.(20142.(2014韶关模韶关模拟拟)在平面直角坐在平面直角坐标标系系xOyxOy中中,已知点已知点A(-,0),B(,0),EA(-,0),B(,0),E为动为动点点,且直且直线线EAEA与直与直线线EBEB的斜率的斜率之之积为积为(1)(1)求求动动点点E E的的轨轨迹迹C C的方程的方程.(2)(2)设过设过点点F(1,0)F(1,0)的直的直线线l与曲与曲线线C C相交于不同的两点相交于不同的两点M,N,M,N,若点若点P P在在y y轴轴上上,且且|PM|=|PN|,|PM|=|PN|,求点求点P P的的纵纵坐坐标标的取的取值值范范围围.【解析解析】(1)(1)设动点设动点E E的坐标为的坐标为(x,y),x(x,y),x ,依题意可依题意可知知整理得整理得所以动点所以动点E E的轨迹的轨迹C C的方程为的方程为(2)(2)当直线当直线l的斜率不存在时，满足条件的点的斜率不存在时，满足条件的点P P的纵坐标为的纵坐标为0,0,当直线当直线l的斜率存在时，设直线的斜率存在时，设直线l的方程为的方程为y=k(x-1).y=k(x-1).将将y=k(x-1)y=k(x-1)代入代入 并整理得，并整理得，(2k(2k2 2+1)x+1)x2 2-4k-4k2 2x+2kx+2k2 2-2=0,=8k-2=0,=8k2 2+80,+80,设设M(xM(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1+x+x2 2=设设MNMN的中点为的中点为Q Q，则，则所以所以由题意可知由题意可知k0,k0,又直线又直线MNMN的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为令令x=0 x=0，解得，解得当当k0k0时，因为时，因为当当k0k0(a0且且a1)a1)成等差数列成等差数列,那么点那么点P(x,yP(x,y)在平面直角在平面直角坐坐标标系内的系内的轨轨迹是迹是()A.A.一段一段圆圆弧弧 B.B.椭圆椭圆的一部分的一部分C.C.双曲双曲线线的一部分的一部分 D.D.抛物抛物线线的一部分的一部分【解析解析】选选C.C.由题意可得由题意可得两边平方后整理可得两边平方后整理可得又又y-x0,2-2x0,-2x0,y-x0,2-2x0,-2x0,可知选可知选C.C.考点考点3 3 相关点相关点(代入代入)法、参数法求轨迹方程法、参数法求轨迹方程【典例典例3 3】(1)(2014(1)(2014廊坊模廊坊模拟拟)已知点已知点A(-2,0),B(3,0),A(-2,0),B(3,0),动动点点P(x,yP(x,y)满满足足 =x=x2 2-6,-6,则动则动点点P P的的轨轨迹是迹是.(2)(2013(2)(2013福建高考福建高考)如如图图,在正方形在正方形OABCOABC中中,O,O为为坐坐标标原点原点,点点A A的坐的坐标为标为,点点C C的坐的坐标标为为,分分别别将将线线段段OAOA和和ABAB十等分十等分,分点分分点分别记别记为为A A1 1,A,A2 2,A,A9 9和和B B1 1,B,B2 2,B,B9 9,连连接接OBOBi i,过过A Ai i作作x x轴轴的垂的垂线线与与OBOBi i交于点交于点P Pi i(iN(iN*,1i9).,1i9).求求证证:点点P Pi i(iN(iN*,1i9),1i9)都在同一条抛物都在同一条抛物线线上上,并求抛物并求抛物线线E E的的方程方程;过过点点C C作直作直线线l与抛物与抛物线线E E交于不同的两点交于不同的两点M,N,M,N,若若OCMOCM与与OCNOCN的面的面积积之比之比为为41,41,求直求直线线l的方程的方程.【解题视点解题视点】(1)(1)可由可由 =x=x2 2-6-6及及P,A,BP,A,B三点的坐标直接写三点的坐标直接写出方程出方程,进而得出轨迹进而得出轨迹.(2)(2)注意注意P Pi i是直线是直线OBOBi i与过与过A Ai i(iN(iN*,1i9),1i9)且与且与x x轴垂直的轴垂直的直线的交点直线的交点,适当选择一个参数即可适当选择一个参数即可;将面积相等转化为点将面积相等转化为点的坐标之间的关系即可求解的坐标之间的关系即可求解.【规范解答规范解答】(1)(1)因为动点因为动点P(x,yP(x,y)满足满足 =x=x2 2-6,-6,所以所以(-2-x,-y)(-2-x,-y)(3-x,-y)=x(3-x,-y)=x2 2-6,-6,化简化简,得得y y2 2=x,=x,所以轨迹为抛物线所以轨迹为抛物线.答案答案:抛物线抛物线(2)(2)方法一方法一:依题意依题意,过过A Ai i(iN(iN*,1i9),1i9)且与且与x x轴垂直的轴垂直的直线方程为直线方程为x=x=i,Bi,Bi i的坐标为的坐标为(10,i),(10,i),所以直线所以直线OBOBi i的方程为的方程为y=x.y=x.设设P Pi i的坐标为的坐标为(x,yx,y),),由由得得y=xy=x2 2,即即x x2 2=10y.=10y.所以点所以点P Pi i(iN(iN*,1i9),1i9)都在同一条抛物线上都在同一条抛物线上,且抛物线且抛物线E E的的方程为方程为x x2 2=10y.=10y.方法二方法二:点点P Pi i(iN(iN*,1i9),1i9)都在抛物线都在抛物线E:xE:x2 2=10y=10y上上.证明如下证明如下:过过A Ai i(iN(iN*,1i9),1i9)且与且与x x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为x=x=i,Bi,Bi i的坐标为的坐标为(10,i),(10,i),所以直线所以直线OBOBi i的方程为的方程为y=x.y=x.由由 解得解得P Pi i的坐标为的坐标为因为点因为点P Pi i的坐标都满足方程的坐标都满足方程x x2 2=10y,=10y,所以点所以点P Pi i(iN(iN*,1i9),1i9)都在同一条抛物线上都在同一条抛物线上,且抛物线且抛物线E E的的方程为方程为x x2 2=10y.=10y.依题意依题意,直线直线l的斜率存在的斜率存在,设直线设直线l的方程为的方程为y=kx+10.y=kx+10.由由 得得x x2 2-10kx-100=0.-10kx-100=0.此时此时=100k=100k2 2+4000,+4000,直线直线l与抛物线与抛物线E E恒有两个不同的交点恒有两个不同的交点M,N.M,N.设设M(xM(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),),则则因为因为S SOCMOCM=4S=4SOCNOCN,所以所以|x|x1 1|=4|x|=4|x2 2|.|.又因为又因为x x1 1x x2 20,0,所以所以x x1 1=-4x=-4x2 2,分别代入分别代入和和,得得 解得解得k=k=.所以直线所以直线l的方程为的方程为y=y=x+10,x+10,即即3x-2y+20=03x-2y+20=0或或3x+2y-20=0.3x+2y-20=0.【易错警示易错警示】本例本例(1)(1)易出现易出现y y2 2=x=x的结论的结论,其原因是没有注意点其原因是没有注意点的轨迹与轨迹方程是不同的的轨迹与轨迹方程是不同的.【规律方法规律方法】1.1.相关点相关点(代入代入)法求轨迹方程的适用条件法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式,但形成轨迹的但形成轨迹的动点与另外一动点有联系动点与另外一动点有联系,而这一动点在某一已知曲线上而这一动点在某一已知曲线上.2.2.参数法求轨迹方程的适用条件参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式,也没有明显的也没有明显的相关点相关点,但却较易发现但却较易发现(或经过分析可发现或经过分析可发现)这个动点的运动与这个动点的运动与某一个量或某两个变量某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等角、斜率、比值、截距等)有关有关.【变变式式训练训练】(2014(2014烟台模烟台模拟拟)已知点已知点P P是直是直线线2x-y+3=02x-y+3=0上的一上的一个个动动点点,定点定点M(-1,2),QM(-1,2),Q是是线线段段PMPM延延长线长线上的一点上的一点,且且|PM|=|MQ|,|PM|=|MQ|,则则点点Q Q的的轨轨迹方程是迹方程是()A.2x+y+1=0A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 D.2x-y+5=0【解析解析】选选D.D.由题意知由题意知,M,M为为PQPQ的中点的中点,设设Q(x,yQ(x,y),),则则P P为为(-2-x,4-y),(-2-x,4-y),代入代入2x-y+3=0,2x-y+3=0,得得2x-y+5=0.2x-y+5=0.【加固加固训练训练】1.1.与与x,yx,y轴轴交点的交点的连线连线的中点的的中点的轨轨迹方程是迹方程是.【解析解析】设直线设直线 与与x,yx,y轴交点为轴交点为A(a,0),A(a,0),B(0,2-a),ABB(0,2-a),AB中点为中点为M(x,yM(x,y),),则则 消去消去a,a,得得x+yx+y=1,=1,因为因为a0,a2,a0,a2,所以所以x0,x1.x0,x1.答案答案:x+yx+y=1(x0,x1)=1(x0,x1)2.(20142.(2014银银川模川模拟拟)平面直角坐平面直角坐标标系中系中,已知两点已知两点A(3,1),A(3,1),B(-1,3),B(-1,3),若点若点C C满满足足 (O(O为为原点原点),),其中其中1 1,2 2R,R,且且1 1+2 2=1,=1,则则点点C C的的轨轨迹方程迹方程为为.【解析解析】设设C(x,yC(x,y),),则则 =(=(x,yx,y),=(3,1),=(-1,3).),=(3,1),=(-1,3).又又1 1+2 2=1,=1,所以所以x+2y-5=0.x+2y-5=0.答案答案:x+2y-5=0 x+2y-5=03.(20143.(2014湛江模湛江模拟拟)设设M,NM,N为为抛物抛物线线C:yC:y=x=x2 2上的两个上的两个动动点点,过过M,NM,N分分别别作抛物作抛物线线C C的切的切线线l1 1,l2 2,与与x x轴轴分分别别交于交于A,BA,B两点两点,且且l1 1与与l2 2相交相交于点于点P,P,若若|AB|=1.|AB|=1.(1)(1)求点求点P P的的轨轨迹方程迹方程.(2)(2)求求证证:MNP:MNP的面的面积为积为一个定一个定值值,并求出并求出这这个定个定值值.【解析解析】(1)(1)设设M(m,mM(m,m2 2),N(n,n),N(n,n2 2),),则依题意知则依题意知,切线切线l1 1,l2 2的方程的方程分别为分别为y=2mx-my=2mx-m2 2,y=2nx-n,y=2nx-n2 2,则则 设设P(x,yP(x,y),),因为因为|AB|=1,|AB|=1,所以所以|n-mn-m|=2,|=2,即即(m+n)(m+n)2 2-4mn=4,-4mn=4,将将代入上式代入上式,得得y=xy=x2 2-1.-1.所以点所以点P P的轨迹方程为的轨迹方程为y=xy=x2 2-1.-1.(2)(2)设直线设直线MNMN的方程为的方程为y=y=kx+bkx+b.联立方程联立方程 消去消去y,y,得得x x2 2-kx-b=0.-kx-b=0.因为因为M(m,mM(m,m2 2),N(n,n),N(n,n2 2),),所以所以m+nm+n=k,mnk,mn=-b.=-b.点点P P到直线到直线MNMN的距离的距离|MN|=|MN|=|m-nm-n|,|,所以所以S SMNPMNP=|MN|MN|=|m-nm-n|=(m-n)(m-n)2 2|m-n|=2.|m-n|=2.即即MNPMNP的面积为定值的面积为定值2.2.【规范解答规范解答1515】与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题【典例典例】(12(12分分)(2013)(2013新新课标课标全国卷全国卷)已知已知圆圆M:(x+1)M:(x+1)2 2+y+y2 2=1,=1,圆圆N:(x-1)N:(x-1)2 2+y+y2 2=9,=9,动圆动圆P P与与圆圆M M外切并且与外切并且与圆圆N N内切内切,圆圆心心P P的的轨轨迹迹为为曲曲线线C.C.(1)(1)求求C C的方程的方程.(2)(2)l是与是与圆圆P,P,圆圆M M都相切的一条直都相切的一条直线线,l与曲与曲线线C C交于交于A,BA,B两点两点,当当圆圆P P的半径最的半径最长时长时,求求|AB|.|AB|.【审题审题】分析信息分析信息,形成思路形成思路信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1)动圆动圆P P与圆与圆M M外切外切并且与圆并且与圆N N内切内切可借助于两圆外切、内切可借助于两圆外切、内切,则则两圆圆心距与两圆半径和或差两圆圆心距与两圆半径和或差之间的关系之间的关系,寻找等式寻找等式,得出方得出方程程(2)(2)l与曲线与曲线C C交于交于A,BA,B两点两点利用直线与圆锥曲线相交这一利用直线与圆锥曲线相交这一条件条件,可求得弦长可求得弦长【解题解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成由已知得圆由已知得圆M M的圆心为的圆心为M(-1,0)M(-1,0)，半径，半径r r1 1=1=1，圆，圆N N的圆心为的圆心为N(1,0)N(1,0)，半径，半径r r2 2=3.=3.设圆设圆P P的圆心为的圆心为P(x,yP(x,y),),半径为半径为R.R.(1)(1)动圆动圆P P与圆与圆M M外切并且与圆外切并且与圆N N内切，内切，所以所以|PM|+|PN|=|PM|+|PN|=(R+r(R+r1 1)+(r)+(r2 2-R)=r-R)=r1 1+r+r2 2=4=4.由椭圆定义可知，曲线由椭圆定义可知，曲线C C是以是以M M，N N为左、右焦点，长半轴长为为左、右焦点，长半轴长为2,2,短半轴长为短半轴长为 的椭圆的椭圆(左顶点除外左顶点除外)，其方程为其方程为 (x-2)(x-2).4 4分分(2)(2)对于曲线对于曲线C C上任意一点上任意一点P(x,yP(x,y),),由于由于|PM|-|PN|=2R-22|PM|-|PN|=2R-22，所，所以以R2R2，当且仅当圆，当且仅当圆P P的圆心为的圆心为(2,0)(2,0)时，时，R=2R=2，所以当圆，所以当圆P P的半的半径最长时，其方程为径最长时，其方程为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4.=4.6 6分分若若l的倾斜角为的倾斜角为9090，则，则l与与y y轴重合，可得轴重合，可得|AB|=|AB|=7 7分分若若l的倾斜角不为的倾斜角不为9090，由，由r r1 1RR，知，知l不平行于不平行于x x轴，设轴，设l与与x x轴轴的交点为的交点为Q Q，则则 可求得可求得Q(-4,0)Q(-4,0)，所以可设，所以可设l：y=k(x+4)y=k(x+4)，由由l与圆与圆M M相切得相切得解得解得 8 8分分当当 并整理得并整理得7x7x2 2+8x-8=0+8x-8=0，解得解得所以所以 1010分分当当 时，由图形的对称性可知时，由图形的对称性可知|AB|=|AB|=1111分分综上，综上，.1212分分【点题点题】失分警示失分警示,规避误区规避误区失分点失分点防范措施防范措施处对圆与圆相内切、外切处对圆与圆相内切、外切,利用圆心距与两圆半径的关利用圆心距与两圆半径的关系掌握不准导致失分系掌握不准导致失分准确掌握两圆的位置关系与两准确掌握两圆的位置关系与两圆的圆心距与两圆半径之间的圆的圆心距与两圆半径之间的关系关系处忽视题设中的条件处忽视题设中的条件,未对未对不合题意的点去掉不合题意的点去掉,从而导致从而导致失分失分求曲线的轨迹或轨迹方程时求曲线的轨迹或轨迹方程时,一定要注意同解变形一定要注意同解变形,再者注再者注意题设中的几何图形意题设中的几何图形,该去除该去除的点一定要去掉的点一定要去掉失分点失分点防范措施防范措施处忽略讨论切线的斜率存处忽略讨论切线的斜率存在与不存在导致失分在与不存在导致失分在涉及直线的斜率时在涉及直线的斜率时,一定要一定要考虑直线的斜率存在与不存在考虑直线的斜率存在与不存在两种情况两种情况处未对分类讨论的结果进处未对分类讨论的结果进行整合导致解题过程不完整行整合导致解题过程不完整而失分而失分解题时凡是涉及分类讨论的解题时凡是涉及分类讨论的,一定要将各类结果进行整合一定要将各类结果进行整合【变题变题】变变式式训练训练,能力迁移能力迁移等腰三角形等腰三角形ABCABC中中,若一腰的两个端点分若一腰的两个端点分别为别为A(4,2),A(4,2),B(-2,0),AB(-2,0),A为顶为顶点点,求另一腰的一个端点求另一腰的一个端点C C的的轨轨迹方程迹方程.【解析解析】设点设点C C的坐标为的坐标为(x,yx,y),),因为因为ABCABC为等腰三角形为等腰三角形,且且A A为为顶点顶点.所以所以AB=AC.AB=AC.又因为又因为所以所以所以所以(x-4)(x-4)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=40.=40.又因为点又因为点C C不能与不能与B B重合重合,也不能使也不能使A,B,CA,B,C三点共线三点共线.所以所以x-2x-2且且x10.x10.所以点所以点C C的轨迹方程为的轨迹方程为(x-4)(x-4)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=40(x-2=40(x-2且且x10).x10).
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